Academia de Studii Economice

BAZELE CIBERNETICII

- Proiect -

Facultatea de Cibernetica,

Statistica si Informatica Economica

Problema

Se da un model cibernetic in forma continua in care se urmaresc variabilele venit y si rata dobanzii r.

Relatiile de dinamica sunt:

I)

II)

unde

D este cererea de produse si D(t) = a₁₁ y(t) + a₁₂ r(t) + G ;

M^D este cererea de bani si M^D(t) = a₂₁ y(t) + a₂₂ r(t) ;

M^S este oferta de bani, presupusa a fi fixata ;

G reprezinta cheltuielile guvernamentale.

Se cere:

a) Sa se scrie relatiile de dinamica in forma matriceala avind ca variabile de stare (endogene) pe y si r iar ca variabile de comanda (exogene) pe G (cheltuielile guvernamentale) si M^S (oferta de bani);

b) Pentru valorile date

a = 0 b = 0,5

a₁₁ = 0 a₁₂ = -3

a₂₁ = 0,25 a₂₂ = -1

sa se studieze stabilitatea sistemului;

c) Daca G = 400, M^S = 450 sa se afle o traiectorie de echilibru pentru sistemul diferentiar.

Are aceasta traiectorie o comportare oscilanta periodica (ciclica)?

Rezolvare

a) Notam si .

Inlocuind in relatiile de dinamica functiile cererea de produse si cererea de bani, acestea devin:

Deci, sub forma matriceala sistemul se poate scrie astfel:

Notam:

Cu noile notatii sistemul se poate scrie: .

Sistemul este stationar deoarece matriciile A si B nu depind de timp.

b) Consideratii teoretice. Studiul stabilitatii unui sistem liniar continuu.

Definitie: Stabilitatea este acel caracter general al sistemului prin care se reflecta mentinerea unei proportii relativ stabile intre componentele sistemului.

Dupa capacitatea de sinteza a sistemului studiat avem doua feluri de stabilitate:

stabilitate globala atunci cand covergenta sistemului spre traiectoria de echilibru nu depinde de alegerea solutiei initiale;

stabilitate locala atunci cand covergenta sistemului spre traiectoria de echilibru depinde de alegerea solutiei initiale.

Analiza stabilitatii:

Fie sistemul

Partea omogena are solutia . Aceasta este componenta proprie a traiectoriei de evolutie, notata .(pentru avem , unde k este un vector coloana ce se determina pornind de la conditiile initiale)

Traiectoria starii va fi data de expresia:

,

unde x^D(t) este componenta de dirijare, corespunzatoare formei particulare a deciziilor luate.

Sistemul nostru este:

Calculam componenta proprie, care este solutie a ecuatiei omogene

Pentru a putea calcula este necesara descompunerea in forma Jordan a matricei A.

Rezolvam ecuatia:

Notam , unde

Matricea Jordan va fi de forma

Valoriile proprii sunt complex conjugate, deci si vectorii proprii vor fi complecsi conjugati. Pentru determinarea vectoriilor proprii rezolvam ecuatia

, in forma lui Moivre .

s=3.0982

Matricea vectoriilor proprii este: , iar

In descompunerea Jordan, matricea A se scrie:

Acum ecuatia traiectoriei starii se poate scrie:

sau

.

Efectuand inmultiriile si folosind formulele lui Euler, ecuatia traiectoriei starii devine:

unde sint constante (numere).

Ecuatiile traiectoriilor starii venitului si a ratei dobinzii sint:

,

Notam cu

Ecuatii se pot scrie astfel:

Trecem la limita cele doua ecuatii:

deci cele doua traiectorii tind in timp spre traiectoriile de echilibru caracterizate de componenta de dirijare ceea ce inseamna ca sistemul este stabil in timp. Stabilitatea sistemului este globala (convergenta sistemului catre traiectoria de echilibru nu depinde de valorile initiale y(t0) si r(t0)).

c) Consideratii teoretice. Determinarea traiectoriei de echilibru.

Vom porni de la ecuatia matriceala de dinamica a starii de forma:

Componenta proprie a traiectoriei de evolutie a starii sistemelor descrise de ecuatia de mai sus este: , unde k este vector coloana ce se determina pornind de la conditiile initiale.

Deoarece fluxurile de intrare sunt considerate constante, avem

In consecinta, se va cauta o solutie particulara de aceeasi forma , unde d este un vector coloana bidimensional real, deci un vector de constante. Solutia particulara va verifica ecuatia de dinamica a starii, adica:

Dar cum 0, avem , expresie care prin inmultire la stinga cu devine . In concluzie, componenta de dirijare are forma

iar traiectoria starii va fi data de expresia

Am aratat in punctul trecut ca traiectoria starii converge in timp catre componenta de dirijare . Vom determina aceasta componenta.

In cazul nostru

Deci

Rezultatul este

Dupa cum se observa ambele traiectorii de echilibru ale venitului si ratei dobinzii sunt constante in timp, deci nu are o comportare oscilanta periodica.