Creeaza.com - informatii profesionale despre


Cunostinta va deschide lumea intelepciunii - Referate profesionale unice



Acasa » referate » fizica
ECUATIILE DE ECHILIBRU LA INTERFATA

ECUATIILE DE ECHILIBRU LA INTERFATA



 ECUATIILE DE ECHILIBRU LA INTERFATA

1. Introducere

Ecuatiile de echilibru (conservare) stabilite in capitolul 5 presupun continuitatea proprietatilor fizice asociate domeniului spatial D. Anumite aplicatii, de exemplu propagarea unei unde intr-un mediu continuu, necesita formularea ecuatiilor de echilibru pe o suprafata singulara ce se deplaseaza in mediul respectiv. Suprafata, aflata in miscare relativa fata de fluid, va determina astfel o discontinuitate a marimilor ce sunt continute in ecuatiile de echilibru; deci in formularea acestor ecuatii trebuie sa se tina seama de „saltul“ (discontinutatea) marimilor respective.

Se considera o suprafata singulara  ce se propaga cu viteza w intr-un mediu continuu D (v. figura 1).  La un moment fix, suprafata singulara (presupusa neteda, deci in fiecare punct al ei se defineste o normala unica) imparte domeniul D in doua domenii distincte, respectiv


,     .                                     (1)

Campul , ce defineste o proprietate fizica in D asociata mediului continuu (densitate, viteza, tensiune), va suferi un salt intre cel doua fete ale suprafetei,

                                                                                (2)

unde cus-a notat valoarea lui  in .

2. Conditiile de salt pentru o suprafata singulara

In stabilirea ecuatiilor de echilibru se pleaca de la formularea integrala a principiilor generale (v. capitolul 5), respectiv formulele de transport (Reynolds) si formula lui Gauss. In cazul existentei suprafetei singulare  in domeniul D, ecuatia de transport (5.11) pentru marimea  capata expresia

            ,            (3)

echivalenta cu

            ,      (4)

unde s-a folosit formula lui Gauss (5.5) si (5.6) in forma

            .                                             (5)

Fig. 1. Mediu continuu parcurs de o suprafata singulara  cu viteza w; saltul vitezei mediului pe cele doua fete ale suprafetei este .

In (3) si (5) reprezinta normala la suprafata singulara , sensul pozitiv fiind de la  catre . Relatiile (3) si (5) se stabilesc plecand de la formele integrale initiale scrise separat pentru domeniile  si , domenii unde  este continua (pentru detalii a se consulta bibliografia[1]).

Formele integrale ale principiilor generale se pot enuta generic prin relatia

                                  (6)

unde  si reprezinta productia si aportul (din exterior) de proprietate  in D iar  este fluxul de proprietate prin (v. tabelul 1).

                                                                                                     Tabelul 1  

Marimile generice corespunzatoare principiilor generale

Principiu

                      Marime

Conservarii masei

(1.2), (5.12)

0

0

0

Conservarii impulsului

(5.14), (5.15)

0

T

Conservarii energiei

(5.21)

 

0

Tv q

Folosind (4) si (5) in (6) se obtine

                                   (7)

Considerand domeniul D un disc de volum infinitezimal in jurul suprafetei  (v. figura 2), in limita  relatia de echilibru (7) este echivalenta cu

                                                           (8)

unde  reprezinta o eventuala productie a proprietatii  pe suprafata  (se va considera nul daca nu se fac precizari exprese).

Relatia (8) reprezinta conditia generala de salt“ a marimii  pe suprafata singulara . Pentru fiecare principiu general, in functie de marimile  si  corespunzatoare (v. tabelul 1), rezulta cate o conditie de salt (v. tabelul 2).



                                                                                                        Tabelul 2

Conditiile de salt asociate principiilor generale

Principiu

   

Conditia de salt

Conservarii

masei

0

;                (9)

Conservarii

impulsului

T

;                          (10)

Conservarii

energiei

Tv q

(11)

In (10) si (11)  defineste tensiunea pe interfata.

O suprafata singulara pentru care  si  este o suprafata materiala, deoarece saltul de viteza intr-un fluid incompresibil, in cazul in care exista, nu poate fi decat tangential la, straturile de fluid putand aluneca“ cu viteze diferite fata de (v. figura 3).

Pentru o  suprafata materiala conditia (9) este satifacuta prin definitie, respectiv M = 0 in (9), echivalent cu

            .                                                                                 (12)

Fig. 3.  Suprafata singulara  este o suprafata materiala; conditia  (12)  este  indeplinita  chiar  daca  vitezele  fluidului in

lungul suprafetei sunt diferite in cele doua domenii.

Fie ecuatia suprafetei materiale  cu

;                                                                    (13)

conditia (12), independenta de variatia densitatii, impune ca viteza normala a suprafetei sa fie egala cu viteza fluidului normala la suprafata respectiva, ceea ce este echivalent cu restrictia

            .                                                                         (14)

Deci, derivata materiala (3.3) a unei suprafete materiale este prin definitie zero, orice particula de fluid atasata la un moment dat de suprafata ramanand in tot timpul miscarii pe suprafata respectiva.

De asemenea, pe o suprafata materiala diferenta de tensiune pe interfata este nula

            ,                                                                                       (15)

iar puterea mecanica a tensiunii pe interfata se transforma in caldura (catre )

            .                                                                              (16)

Exemple de suprafate materiale in campul curgerii sunt frontierele solide la care fluidul adera, suprafetele de separatie dintre doua fluide imiscibile prin care nu se realizeza un transfer de masa, respectiv suprafetele de curent dintr-un fluid omogen, definite de conditia(v. capitolul 2).

3. Aplicatii

Una dintre cele mai comune aplicatii ale conditiilor de salt (9) – (11) este calculul vitezei undei de soc transmisa intr-un fluid ideal de miscarea unui piston ce se deplaseaza cu viteza constanta u. In acest exemplu, unda este reprezentata de o suprafata singulara ce separa fluidul aflat in miscare cu viteza  si fluidul aflat in repaus , viteza undei fiind         (v. figura 4).

  Fig. 4.  Deplasarea unei unde de soc intr-un fluid ideal datorita miscarii unui piston.

Din conditia (9), echivalenta cu relatia

            ,                                           (17)

se obtine

            .                                                                     (18)

Conditia de salt (10) proiectata pe directia normalei n devine

            ,                      (19)

respectiv

            .                                                        (20)

Din (18) si (20) se obtine legatura dintre cresterea de presiune datorata undei de soc, , viteza undei si viteza de deplasare a pistonului,

            .                                                                              (21)

Daca se cunoaste expresia energiei interne in mediul fluid, respectiv functia de material , din (11) se poate obtine in principiu valoarea vitezei undei de soc , unde c este viteza sunetului (celeritatea) si  sunt constante de material (pentru , deci , se poate arata ca  (pentru detalii se poate consulta lucrarea mentionata la nota de subsol 1 din capitolul 1, v. si relatia (6.24)).

Aplicatiile mai interesante apar cand se studiaza miscarea a doua fluide aflate in contact. Daca restrictia (9) este admisa in majoritatea cazurilor, in (8) , atunci conditia cinematica de aderenta a fluidelor



                                                                                            (22)

se poate considera valabila pentru toate miscarile studiate (acest lucru nu inseamna ca nu pot exista fizic cazuri ca cel prezentat in figura 3, respectiv fluide care nu adera la suprafetele care definesc domeniul curgerii).

Generalizarea conditiei (10), respectiv a relatiei (15), trebuie insa privita cu precautie. Daca suprafata singulara  nu este materiala  sau , diferenta tensiunilor din fluid ce actioneaza pe interfata nu mai este nula. Acesta este de exemplu cazul suprafetelor care separa doua faze (gaz-lichid) sau doua lichide imiscibile in miscare. In ambele aplicatii diferenta eforturilor normale ce actioneaza pe  este echilibrata de eforturi generate de proprietati specifice ale fluidelor ce se manifesta numai pe interfata: (i) tensiunea superficiala (v. relatia (4.19)) sau gradientul tensiunii superficiale pe interfata; (ii) elasticitatea de interfata (in cazul fluidelor viscoelastice) sau (iii) a viscozitatii si elasticitatii de interfata (cazul fluidelor imiscibile, respectiv al lichidelor in care se gasesc surfactanti sau particule deformabile, v. capitolul 1). 

In cazul , neglijand termenul cinetic in (11), se obtine un rezultant important

            .                                                                   (23)

Deci, in lipsa transferului termic si considerand saltul de temperatura nul, , diferenta dintre energia interna a celor doua fluide (faze) aflate in contact genereaza o putere mecanica la interfata. Conditia de salt pe interfata devine importanta in acest caz si relativ la principiul entropiei (5.25); cu  si  se obtine

            ,                                                             (15)

unde  defineste productia de entropie la interfata.

Problemele devin cu mult mai dificile in cazul in care nu se cunoaste forma interfetei, asa numitele probleme cu suprafata libera. Majoritatea aplicatiilor practice de interes sunt in aceasta categorie: evolutia picaturilor in aer si a bulelor in lichid, transportul lichidelor suprapuse, jeturi libere, hidrodinamica filmelor subtiri). In cazurile mentionate, pe langa rezolvarea ecuatiilor de echilibru pentru fiecare fluid in parte si respectarea conditiilor de salt mentionate, trebuie sa se aiba in vedere ca relatiile (13) si (14) devin relatii de inchidere, functia  fiind aprioric necunoscuta.

Dificultatile de calcul sunt majore, cu atat mai mult cu cat curgerile din aceasta categorie devin rapid instabile (impunerea unor ipoteze simplificatoare, cum ar fi cele de fluid ideal, lipsa tensiunii superficiale, miscare izocora si permanenta, neglijarea viscozitatii si elasticitatii de interfata, devine in acest caz o necesitate pentru obtinerea unor rezultate teoretice si numerice[2]). Studiile experimentale capata astfel importanta deosebita pentru rezolvarea unor probleme tehnice specifice, de exemplu: (i) forma suprafetei libere generate de rotatia corpurilor[3]; (ii) evolutia interfetei petrol-apa in conducte sub presiune[4]; (iii) stabilitatea curgerii jeturilor libere[5]; (iv) evolutia bulei cavitationale in vecinatatea peretilor[6]; (v) impactul picaturilor pe suprafete solide[7] (v. figura 5); (vi) stabilitatea picaturilor la iesire din orificii[8] (v. figurile 6 si 7).

b

 

a

 

Fig. 5.        Impactul unei picaturi de fluid viscoelastic pe o suprafata solida. Proprietatile fluidului (viscozitatea Pas, timpul de relaxare s, densitatea kg/m3, tensiunea superficiala N/m), diametrul echivalent al picaturii la impact d = 2,33 mm, viteza de impact Vi = 2,66 m/s:      a – impactul picaturii pe suprafata solida (timpul dintre doua imagini succesive ms); b – evolutia picaturii dupa impact (intervalul de timp dintre imagini  ms)  (experiment  efectuat  in   Laboratorul   de   hidrodinamica,  Prof.  C.

Tropea, T. U. Darmstadt, Germania).

Text Box: Aer la presiune    atmosferica                                    

Fig. 6.  Picatura de sapun lichid  in echilibru, la iesirea   dintr-un    orificiu   cu   diametrul    2   mm   =  1040  kg / m3,

tensiunea superficiala 0,0277 N/m).


Fig. 7. Evolutia unei picaturi de sapun lichid la iesirea in atmosfera    dintr-un orificiu cu diametrul interior de 2 mm (experiment  efectuat    in   Laboratorul   de   hidrodinamica,

Prof. H. Hampe, T. U. Darmstadt, Germania).



[1] Chadwick, P., Continuum mechanics – concise theory and problems, George Allen & Unwin Ltd., London, p. 114, 1976

   Ionescu, Gh. D., Mecanica fluidelor si masini hidraulice, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, p. 125, 1983

   Hutter, K., Fluid – und Thermodynamik, Springer Verlag, Berlin, p. 356, 1995

   Scriven, L. E., Dynamics of a fluid interface, equations of motion for Newtonian surface fluids, Chem. Eng. Sci. 12, p. 98, 1960

[2] Georgescu, Sanda Carmen, Evolutia unei bule: formarea la nivelul unui orificiu si spargerea la traversarea unei suprafete libere, Teza de doctorat, U.P.Bucuresti –      I. N. P. Grenoble, 1999

[3] Beavers, G. S., Experiments on free surface phenomena, J. Non-Newtonian Fluid Mech., 5, 323 – 352, 1979

[4] Joseph, D. D., Chen, K. P., Renardy, Y. Y., Core – annular flows, Annu. Rev. Fluid Mech., 29, 65 – 90, 1997

[5] Yarin, Al., L., Free liquid jets and films: hydrodynamics and rheology, Longman, 1993

[6] Brujan, E-Al., Nahen, K., Schmidt, P., Vogel, A., Dynamics of laser – induced cavitation bubbles near an elastic boundary, J. Fluid Mech., 433, 251 281, 2001

[7] Weiss, D. A., Yarin, Al. L., Single drop impact onto liquid films: neck distorsion, jetting, tiny bubble entrainment, and crown formation, J. Fluid Mech., 385, 229 – 254, 1999

[8] Schulkes, R. M. S. M., The evolution and bifurcation of a pendant drop, J. Fluid Mech., 278, 83 – 100, 1994








Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE Clasa: I Matematica - Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 30, fara trecere peste ordin
 Proiect didactic Grupa: mijlocie - Consolidarea mersului in echilibru pe o linie trasata pe sol (30 cm)
 Redresor electronic automat pentru incarcarea bateriilor auto - proiect atestat
 Proiectarea instalatiilor de alimentare ale motoarelor cu aprindere prin scanteie cu carburator

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 Proiect diploma Finante Banci - REALIZAREA INSPECTIEI FISCALE LA O SOCIETATE COMERCIALA
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 CONTABILITATEA FINANCIARA TESTE GRILA LICENTA
 LUCRARE DE LICENTA - FACULTATEA DE EDUCATIE FIZICA SI SPORT
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 Proiect atestat informatica- Tehnician operator tehnica de calcul - Unitati de Stocare
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia




HIBRIDIZAREA ORBITALIOR ATOMICI AI CH4
MICROSCOPUL
Analiza Fourier a miscarii oscilatorii
Legea de racire a corpurilor
Ce este chimia fizica?
Legea a doua a termodinamicii – doua cicluri concurentiale
Exemple de aplicare ale teoremelor de variatie sau conservare a energiei
CURGEREA TURBULENTA


Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu