Miscarea intre plane paralele

Miscarea intre plane paralele

Miscarea viscometrica intre plane paralele, prezentata in capitolul 2, este o miscare plana (miscarea are loc numai in planul (x₁, x₂) fiind independenta de axa Ox ), unidirectionala cu viteza v(x₂) = v₁(x₂) (v . figurile 2 . 6_a si 11 . 1) . Ecuatiile (11 . 6) devin

, (11 . 7)₁

, (11 . 7)₂

(11 . 7)₃

unde (din ecuatia de continuitate), iar efortul tangential corespunzator relatiei constitutive (11 . 1) este dat de expresia

. (11 . 8)

Din analiza sistemului (11 . 7) se observa ca presiunea este o functie de forma

(11 . 9)

cu

(11 . 10)

si

. (11 . 11)

In (11 . 10) constantele k_1,2 au urmatoarele semnificatii: k₁ = k reprezinta gradientul de presiune in lungul directiei de miscare (k este o constanta negativa deoarece miscarea are loc de la presiune mai mare la presiune mai mica), iar k₂ reprezinta valoarea presiunii la x₁ = 0 . Din (11 . 11) rezulta ca presiunea are o variatie de tip hidrostatic pe directia normala miscarii ce are loc pe linii de curent paralele (v . relatia (5 . 9)) .

Distributia de viteze se obtine integrand de doua ori relatia (11 . 7)₁

, (11 . 12)

unde constantele de integrare C₁ si C₂ se obtin din conditiile la limita:

, pentru

si (11 . 13)

, pentru .

x

h

x

x

V1

V2

Fig . 11 . 1 . Distributia de viteze in miscarea plan-paralela .

In final rezulta expresia, v . figura 11 . 1,

. (11 . 14)

Se observa ca distributia de viteze (11 . 14) se compune aditiv dintr-o parabola si o dreapta . Distributia parabolica de viteza este generata de miscarea Poiseuille (datorita prezentei gradientului de presiune), iar distributia liniara este caracteristica miscarii de antrenare Couette ce are loc intre plane paralele .

Din (11 . 8) si (11 . 14) rezulta distributia efortului tangential, respectiv o distributie liniara pentru miscarea Poiseuille si o valoare constanta in cazul miscarii Couette intre plane paralele .

Tot o miscare plan-paralela este curgerea permanenta, cu suprafata libera, pe un plan inclinat, a unei pelicule ("film") de fluid vascos de grosime constanta . Miscarea este in acest caz generata de forta masica de greutate; ecuatia (11 . 7)₁, unde gradientul de presiune este inlocuit de componenta fortei specifice de greutate proiectata pe directia planului, devine

(11 . 15)

cu solutia

, (11 . 16)

unde s-au considerat conditiile la limita

, , (11 . 17)

, . (11 . 18)

In relatiile (11 . 15) si (11 . 16) este unghiul de inclinare al planului si h grosimea stratului de fluid (v . figura 11 . 2) .

g