Creeaza.com - informatii profesionale despre


Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice



Acasa » referate » fizica
Proiectia Gauss-Krüger

Proiectia Gauss-Krüger



Proiectia Gauss-Krüger

Prezentare generala

Proiectia Gauss- Krüger, cunoscuta si sub denumirile “proiectia Gauss”, “reprezentarea conforma Gauss”, sau “proiectia cilindrica transversala Gauss” a fost adoptata in Romania in anul 1951, odata cu adoptarea “ sistemului de coordonate 1942”.

Caracteristicile proiectiei Gauss-Krüger

A  Este o proiectie conforma (unghiurile se reprezinta in planul de proiectie fara deformatii).

A  Pentru reprezentarea elipsoidului in proiectia Gauss, acesta se imparte in fuse de la nord la sud, delimitate de doua meridiane marginale. Orice fus are un meridian axial a carui longitudine l0 trebuie precizata fata de meridianul origine.


A  Fiecare fus are propriul sau sistem de axe de coordonate si se reprezinta separat in planul de proiectie Gauss, respectand urmatoarele conditii de baza:

Ø   reprezentarea plana este conforma;

Ø   meridianul axial al fusului se reprezinta in plan printr-o linie dreapta care se ia ca axa Ox, fiind in acelasi timp si axa de simetrie;

Ø   in orice punct de pe dreapta prin care se reprezinta meridianul axial deformatiile liniare sunt nule.

Figura 1.1.  Fus de 6o in proiectia Gauss

·         Pentru reprezentarea intregului glob sunt necesare 60 de fuse a cate 6o fiecare, numerotate conform unei intelegeri internationale, cu cifre arabe de la 1 la 60. Numerotarea incepe cu 1 meridianul de longitudine 180o si continua spre est, asa cum se vede in figura de mai jos. Meridianul Greenwich separa fusele 30 si 31.

Figura 1.2.  Numerotarea fuselor de 6o in proiectia Gauss

Teritoriul Romaniei este situat in fusele 34 si 35, ale caror meridiane axiale sunt:  si .

·         Aspectul retelei cartografice in proiectia Gauss:

Meridianele se reprezinta prin curbe oarecare cu concavitatea spre meridianul axial, care se reprezinta printr-o dreapta. Aceste curbe sunt simetrice fata de meridianul axial al fusului.

Paralelele se reprezinta prin curbe oarecare cu concavitatile indreptate spre polii respectivi. Ele sunt simetrice fata de segmentul de dreapta prin care se reprezinta ecuatorul.

Figura 1.3.  Aspectul retelei de meridiane si paralele dintr-un fus in proiectia Gauss

·         In proiectia Gauss, in anumite situatii se utilizeaza si coordonate false, si anume coordonata y se modifica cu +500.000 m, pentru ca toate punctele unui fus sa aiba coordonate pozitive.

Figura 1.4.

Text Box:

 Coordonate false in proiectia Gauss

4.6.b. Transformari de coordonate in proiectia Gauss-Krüger

4.6.b.1. Calculul coordonatelor rectangulare plane (x,y) in functie de coordonatele geografice (j,l)

Formulele de calcul pe baza carora se face transformarea coordo­natelor geografice (j,l) in coordonate rectangulare plane (x,y) sunt urmatoarele:

     (Error! No text of specified style in document..24)

                 (Error! No text of specified style in document..25)

unde:       s0,j = lungimea arcului de meridian masurat de la ecuator pana la paralelul de latitudine j;

               l =diferenta de longitudine intre meridianul punctului considerat si meridianul axial al fusului (exprimata in secunde);

N= marea normala;

r=206265

                                                                                       (Error! No text of specified style in document..26)

Formulele de mai sus asigura o precizie de ordinul 0.001 m pentru calculul coordonatelor rectangulare plane x si y.

4.6.b.2. Transformarea coordonatelor rectangulare plane (x,y) in coordonate geografice (j,l)

Fie un punct D in planul proiectiei Gauss de coordonate x,y cunoscute, pentru care se vor calcula coordonatele (j,l) de pe elipsoid. Paralelul de latitudine j al punctului D intersecteaza axa Ox (meridianul axial) in punctul C, iar dreapta dusa prin D, paralela cu Oy, in punctul ajutator D1(x,o) de latitudine j1. Lungimea segmentului OD1 este egala cu lungimea arcului de meridian masurat de la ecuator pana la paralelul de latitudine j1: .

In functie de  se poate calcula prin interpolare valoarea latitudinii j1.

Coordonatele geografice (j,l) se pot calcula acum in functie de latitudinea ajutatoare j1 pe baza urmatoarelor formule:

 ( STYLEREF 1 s Error! No text of specified style in document..27)

                                   (Error! No text of specified style in document..28)

unde:    ,                                                                     (Error! No text of specified style in document..29)

                   N1, t1, h1 se calculeaza pentru latitudinea j1.

Formulele de mai sus asigura o aproximatie de ordinul (10-4¸10-5)” pentru calculul coordonatelor (j,l), ceea ce corespunde abaterilor de maxim ± 1 cm in planul de proiectie.

Figura 1.5. Utilizarea punctului ajutator D1(j1) pentru calcul latitudinii j

Transformarile de coordonate din proiectia Gauss se pot realiza si prin procedee cu coeficienti constanti. Valorile coeficientilor constanti au fost calculate pentru latitudini cuprinse in intervalul 42o¸50o de Vasile Falie si Constantin Strutu in anul 1957.

In continuare se prezinta un exemplu de transformare a coordona­telor geografice in coordonate Gauss precum si transformarea inversa.

Coeficientii constanti sunt scrisi cu caractere ingrosate.


Transformarea coordonatelor geografice (j, l) in coordonate rectangulare plane Gauss (x, y)


Punctul . . . . . . . . . . . . . . .

Trapezul . . . . . . . . . . . . . .

Dx =

f 0 =

+ 1.000 0000

·

0

+ 3 752.145 70

+ 1.403 31

·

l 0 = 

+ 1.000 0000

=

r 0 =

  60 297.703

f 1 =

– 0.195 2998

+ 308 758.958 02

        2.094 28

– 0.220 26

l 2 =

+ 0.018 0364

r 2 =

+         67.706

f 2 =

+ 0.038 1420

+          75.360 64

       17.641 46

– 0.005 25

l 4 =

+ 0.000 3253

r 4 =

              0.000

f 3 =

– 0.007 4491

             0.064 59

+         0.016 07

+ 0.001 35

f 4 =

+ 0.001 4548

             0.059 09

+         0.013 96

0

Dx = [r] =

   60 229.997

xo =

5 096 175.747

S0=–60297.7033844

S2=+3753.8347306

S4=+1.4461164

x = xo + Dx =

5 035 945.750

y =

f 0 =

+ 1.000 0000

·

+ 215 179.420 83

– 2.809 57

– 0.030 70

·

l 1 = 

– 0.134 2996

=

r 1 =

  29 179.639

f 1 =

– 0.195 2998

   10 767.838 26

– 8.054 41

– 0.000 04

l 3 =

– 0.002 4223

r 3 =

+          0.003

f 2 =

+ 0.038 1420

        254.691 96

+ 0.428 62

+ 0.000 69

l 5 =

– 0.000 0437

r 5 =

             0.000

f 3 =

– 0.007 4491

+           4.138 43

+ 0.021 70

0

f 4 =

+ 0.001 4548

+           0.053 60

– 0.000 83

0

y = [r] =

  29 179.636

y' = y + 500 000 =

  470 820.364

S1=+217272.6328085

S3=–1.2203594

S5=–0.0306659

Transformarea coordonatelor rectangulare plane Gauss (x,y) in coordonate geografice (j, l)


 Punctul . . . . . . . . . . . . . . .

Trapezul . . . . . . . . . . . . . .

Dx 0 =

+ 1.000 0000

·

0

– 26.245 7302

+ 0.004 3872

·

y 0 = 

+ 1.000 0000

=

r 0=

– 1 950.8054

Dx 1 =

– 0.602 3000

+ 3 238.772 4270

   0.819 1913

+ 0.000 2442

Y 2 =

+ 0.085 1451

r 2=

        2.1931

Dx 2 =

+ 0.362 7653

        0.256 0280

   0.013 1746

+ 0.000 0090

y 4 =

+ 0.007 2497

r 4=

          0.0000

Dx 3 =

– 0.218 4935

+       0.000 1115

   0.000 2819

+ 0.000 0003

Dx 4 =

+ 0.131 5986

+       0.000 0208

   0.000 0057

0

Dx 5 =

– 0.079 2619

0

   0.000 0001

0

S0=–1950.8054353

S2=–25.7570497

S4=+0.0042433

Dx 0 =

+ 1.000 0000

·

+ 4 647.284 5610

– 0.5972 5451

+ 0.0001 4563

·

y 1 = 

– 0.291 7964

=

r 1=

– 1 343.0108

Dx 1 =

– 0.602 3000

+      75.319 5100

– 0.0351 6938

+ 0.0000 1478

y 3 =

– 0.024 8450

r 3=

+        0.0143

Dx 2 =

+ 0.362 7653

+        1.791 7640

– 0.0014 5632

+ 0.0000 0090

y 5 =

– 0.002 1154

r 5=

          0.0000

Dx 3 =

– 0.218 4935

+        0.035 1694

– 0.0000 4925

+ 0.0000 0004

Dx 4 =

+ 0.131 5986

+        0.000 7282

– 0.0000 0151



0

Dx 5 =

– 0.079 2619

+        0.000 0149

– 0.0000 0004

0

Dx 6 =

+ 0.047 7394

+        0.000 0030

0

0

S1=+4602.5620226

S3=–0.576 5897

S5=+0.0001370


4.6.c. Reducerea directiilor la planul de proiectie Gauss

Reducera directiilor la planul de proiectie, numita si reducerea la coarda, consta in a calcula si aplica directiilor masurate cate o corectie, deoarece imaginile plane din planul de proiectie Gauss ale liniilor geodezice de pe elipsoid nu sunt in general linii drepte, ci sunt curbe, cu concavitatea spre meridianul axial.

 SHAPE  * MERGEFORMAT

Figura 1.6. Imaginea plana a unui triunghi geodezic

Fie doua puncte A(j1,l1) si B(j2,l2) situate pe elipsoid. Imaginile din planul de proiectie Gauss ale acestor puncte le notam 1(x1,y1) si 2(x2,y2). Corectia de reducere a directiei AB la planul de proiectie, notata d12 se calculeaza cu formulele:

Cazul 1: Triangulatiile de ordinul III si IV:

                              (Error! No text of specified style in document..30)

unde:       f = factorul excesului sferic, calculat pentru latitudinea medie a zonei de lucru, cu formula de mai jos:

                                                                                      (Error! No text of specified style in document..31)

R = raza medie de curbura a elipsoidului la latitudinea medie a zonei de lucru;

r” = 206265;

                                                                                 (Error! No text of specified style in document..32)

Formula (4.30) asigura o precizie de ordinul 0”,1. Coordonatele rectangulare plane x si y este suficient sa fie cunoscute cu o aproximatie de ±10 m.

Cazul 2: Triangulatia de ordinul II:

                                                         (Error! No text of specified style in document..33)

Unde:        fm= factorul excesului sferic, calculat pentru latitudinea medie a unui numar mai mare de triunghiuri din reteaua geodezica, cu formula (4.31)

Formula (4.33) asigura o precizie de calcul de 0”,01 pentru calculul corectiilor de reducere a directiilor la planul de proiectie. Coordonatele rectangulare plane x si y este suficient sa fie cunoscute cu o aproximatie de ±1 m.

Cazul 3: Triangulatia de ordinul I:

                                                                                                                    (Error! No text of specified style in document..34)

unde:       Rm = raza medie de curbura a elipsoidului Krasovskii 1940 la latitudinea medie (jm) a laturii 12.

                                                                             (Error! No text of specified style in document..35)

Relatiile (4.34) asigura o precizie de calcul a corectiilor d de ±0”.001 pentru laturi de cel mult 70 km si departarea de meridianul axial y £ 350 km.

Dupa ce au fost calculate corectiile d, cu formula adecvata: (4.30), (4.33) sau (4.34) acestea se aplica directiilor masurate.

Fie (Qm)1,2 directia masurata. Directia redusa la planul de proiectie, (qr)12 se deduce cu ajutorul relatiei:

                                                                         (Error! No text of specified style in document..36)

Corectiile de reducere a directiilor la planul de proiectie se verifica pe triunghiuri, cu ajutorul excesului sferic e aplicand urmatoarea regula: in orice triunghi geodezic, suma corectiilor de reducere la planul de proiectie a celor trei unghiuri trebuie sa fie egala cu excesul sferic al triunghiului respectiv, luat cu semn schimbat. De exemplu, pentru triunghiul 123 din figura 4.8 relatia de verificare este:

                                           (Error! No text of specified style in document..37)

unde :  

               Rm reprezinta raza medie la latitudinea medie a varfurilor triunghiurilor jm

                         fm se numeste factorul excesului sferic

               a, b sunt doua laturi ale triunghiului, iar C este unghiul cuprins intre ele.

4.6.d. Deformatiile in proiectia Gauss

Proiectia Gauss este o proiectie conforma, deci unghiurile se reprezinta in planul de proiectie fara deformatii, dar in general se deformeaza lungimile si ariile.

Lungimile de pe meridianul axial nu se deformeaza. In orice punct care nu este situat pe meridianul axial se produc deformatii pozitive. In lungul unui paralel oarecare de latitudine j, deformatiile liniare cresc aproximativ proportional cu distanta fata de meridianul axial, astfel incat pe meridianele marginale se ating deformatiile maxime (de exemplu pentru latitudinea medie a Romaniei, j=46o, deformatia liniara relativa este D=+66.4 cm/km). Pe orice meridian, deformatia maxima a lungimilor se produce la intersectia cu ecuatorul.

In ceea ce priveste deformatiile areolare, acestea sunt nule pe meridianul axial al fusului, sunt pozitive in toate celelalte puncte si cresc in valoare pe masura ce creste departarea fata de acest meridian.

4.6.e. Reducerea distantelor de pe elipsoid la planul de proiectie Gauss

Necesitatea “reducerii distantelor” la planul de proiectie apare din cauza deformatiilor liniare produse de sistemul de proiectie. Aceasta reducere la planul de proiectie trebuie inteleasa in sensul de reprezentare in planul de proiectie.


Figura 1.7.  Imaginea plana,ab’b, a unei linii geodezice de pe elipsoid

Fie linie geodezica AB pe elipsoid de lungime s, careia ii corespunde curba ab’b de lungime s din planul de proiectie. Fie S lungimea coardei ab.

Pentru distante mai scurte de 30 km se poate face aproximatia:

Daca se cunosc cu aproximatie coordonatele rectangulare ale punctelor a(x1,y1) si b(x2,y2), se poate determina distanta redusa la planul de proiectie Gauss cu ajutorul formulei:

                                                            (Error! No text of specified style in document..38)

unde:      

              

              

Rm se calculeaza pentru latitudinea medie jm a zonei de lucru, sau a laturei respective.

4.6.f. Nomenclatura trapezelor in proiectia Gauss

Hartile si planurile topografice in proiectia Gauss au in general un cadru de tip geografic, format din imaginile plane ale unor arce de meridiane si paralele, care delimiteaza pe elipsoidul de rotatie niste trapeze curbilinii, denumite in mod curent trapeze. Fiecare trapez are o anumita nomenclatura si se reprezinta pe o foaie de harta separata. S-au stabilit urmatoarele scari standard: 1:1.000.000, 1:500.000, 1:200.000, 1:100.000, 1:50.000, 1:25.000, 1:10.000, 1:5.000, 1:2.000, pentru care vor fi date in continuare dimensiunile graduale ale laturilor (Dj, Dl) si nomenclaturile.

Pentru impartirea elipsoidului in trapeze la scara 1:1.000.000 se procedeaza astfel: se traseaza meridiane din 6o in 6o, care delimiteaza fuse, numerotate de la 1 la 60 incepand de la meridianul  spre est (figura 4.4) si paralele din 4o in 4o pornind de la ecuator spre poli (pana la ), care delimiteaza zone notate A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, k, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V (figura 4.10). Zonele din emisfera nordica au in fata litera N, iar cele din emisfera sudica, S. Teritoriul Romaniei este situat in fusele 34 si 35 si in zonele K, L, M.

Nomenclatura unui trapez la scara 1:1.000.000 este formata din litera corespunzatoare zonei si numarul fusului, de exemplu: L-35.

Nomenclaturile trapezelor la scari mai mari se stabilesc pornind de la trapezul 1:1.000.000. Dimensiunile graduale ale laturilor trapezelor si nomenclaturile acestora sunt prezentate in figurile si tabelul de mai jos

 

 
 SHAPE  * MERGEFORMAT

Figura 1.8. Zone de 4o pe elipsoid

Figura 1.9. Nomenclaturile trapezelor la scarile

1:500.000, 1:200.000, 1:100.000

in cadrul unui trapez 1:1.000.000

 
 SHAPE  * MERGEFORMAT

Figura 1.10.  Trapeze la scarile       a): 50.000, 1:25.000, 1:10.000

b): 1:5.000, 1:2.000

Tabel 4.1. Nomenclatura si dimensiunile laturilor trapezelor

Scara

Dj

Dl

Exemple de nomenclaturi

1:1.000.000

4o

6o

L-35

1:500.000

2o

3o

L-35-D

1:200.000

40’

1o

L-35-XXXVI

1:100.000

20’

30’

L-35-144

1:50.000

10’

15’

L-35-144-D

1:25.000

5’

7’30”

L-35-144-D-d

1:10.000

2’30”

3’45”

L-35-144-D-d-4

1:5.000

1’15”

1’52”,5

L-35-144-D-d-4-IV

1:2.000

37”,5

56”,25

L-35-144-D-d-4-IV-4

5.6           Caracteristici generale ale proiectiilor stereografice

Definitie

Proiectiile perspective in care punctul de vedere V se afla pe suprafata sferei, diametral opus fata de polul proiectiei, se numesc stereografice.

Toate proiectiile stereografice sunt conforme, adica figurile infinit mici de pe suprafata sferei se reprezinta in planul de proiectie prin figuri infinit mici asemenea. In consecinta, cercurile de pe suprafata terestra, infinit mici sau finite, se reprezinta in planul de proiectie tot prin cercuri. Deci imaginile paralelelor si meridianelor de pe sfera sunt in general cercuri, sau in unele cazuri sunt drepte.

Proiectiile stereografice se pot clasifica in functie de latitudinea j0 a polului proiectiei Q0 astfel:

·         drepte (polare) pentru ;

·         oblice pentru ;

·         transversale (ecuatoriale) pentru .

Proiectiile stereografice se utilizeaza pentru intocmirea hartilor la scari mici a regiunilor de dimensiuni mici si in special a celor care au linia de hotar in forma rotunda.

Proiectiile drepte sunt utile pentru reprezentarea zonelor polare, cele oblice pentru intocmirea hartilor zonelor aflate la latitudini medii, iar cele transversale se pot aplica pentru zonele ecuatoriale.

Proiectia stereografica a fost utilizata inca din secolul II i.C. de geograful, astronomul si matematicianul grec Hipparchus (circa 190 i. C.–circa 120 i. C.) pentru reprezentarea boltei ceresti.

Formulele generale ale proiectiilor stereografice pentru reprezentarea sferei terestre de raza R sunt urmatoarele:

Coordonate plane polare:

                                                                                 (Error! No text of specified style in document..1)

Coordonate rectangulare plane:

             (5.2)

Modulii de deformatie liniara, areolara si deformatii unghiulare maxime:

                                                                  (Error! No text of specified style in document..3)

S-au utilizat urmatoarele notatii:

d - unghi polar;

r - raza vectoare;

a – azimut;

z – unghi zenital;

, - modulii de deformatie liniara pe directiile verticalurilor si almucantaratelor;

p – modul de deformatie areolara;

w - deformatia unghiulara maxima.

Din formulele (5.21) se observa ca deformatiile in proiectiile stereografice depind doar de distanta zenitala z, deci izoliniile deformatiilor sunt cercuri concentrice care coincid cu imaginile almucantaratelor in proiectiile oblice si transversale si respectiv cu imaginile paralelelor in proiectiile drepte.

Deformatiile unghiulare maxime sunt egale cu zero, deci proiectiile stereografice sunt conforme.

Aplicatie

 Constructia grafica a retelei cartografice in proiectie stereografica polara.

In orice proiectie polara, polul proiectiei, Q0(j0, l0) coincide cu polul geografic P, adica .

Figura 1.11.

Text Box:
 Constructia grafica a retelei cartografice in proiectie stereografica polara

In aceasta proiectie punctul de vedere V se afla pe sfera, diametral opus polului proiectiei. Dreptele proiectante pornesc divergent din punctul de vedere. Reteaua cartografica este alcatuita din imaginile paralelelor, care sunt cercuri concentrice cu centrul in punctul care reprezinta imaginea polului si imaginile meridianelor care sunt drepte concurente in centrul cercurilor. Constructia grafica a acestei retele se face in urmatoarele etape:

A  se deseneaza un cerc cu raza egala cu raza sferei terestre R redusa la scara dorita;

A  se imparte cercul obtinut in arce de cerc egale cu difentele de longitudine stabilite (de exemplu Dl=15o) si se noteaza punctele obtinute cu: A, B, C,…;

A  din punctul de vedere V se deseneaza dreptele proiectante VA, VB, VC,.., care inteapa planul tabloului in punctele: a, b, c,….;

A  se translateaza planul T paralel cu el in pozitia T’;

A  se proiecteaza punctele P, a, b, c,… in punctele P’, a’. b’,c’… ducand drepte perpendiculare pe planul T;

A  se traseaza cercurile cu centrul in punctul P’ (imaginea polului) si de raze P’a’, P’b’, P’e’…, obtinandu-se astfel imaginile paralelelor;

A  se imparte cercul de raza P’e’, care este imaginea ecuatorului, in arce de cerc egale cu diferentele de latitudine stabilite, de exemplu Dj=15o.

A  se uneste centrul cercurilor cu aceste puncte si se obtin imaginile meridianelor in planul de proiectie.

5.7            Proiectii stereografice utilizate in Romania

5.7.1                      Proiectia stereografica 1970

In anul 1970 a fost adoptata in Romania proiectia stereografica 1970 si sistemul de cote referit la Marea Neagra, pentru executarea lucrarilor geodezice, topografice, fotogrametrice si cartografice.

5.7.1.A                           Caracteristicile proiectiei stereografice 1970

Elipsoidul de referinta utilizat este Krasovski 1940 orientat in punctul astronomic fundamental- observatorul astronomic din Pulkovo.

Polul Qo numit si “centrul proiectiei” are urmatoarele coordonate geografice:

                                                                                     (Error! No text of specified style in document..4)

Intreaga tara se reprezinta pe un singur plan de proiectie secant, care are un cerc de deformatie nula, cu raza:

                                                                         (Error! No text of specified style in document..5)

In centrul acestui cerc deformatia liniara are valoarea:–25cm/km.

Sistemul de axe de coordonate rectangulare plane are ca origine imaginea plana a punctului central, axa Ox are sensul pozitiv spre nord, iar axa Oy are sensul pozitiv spre est.

Pentru transformarea coordonatelor din planul tangent in polul Qo, intr-un plan secant paralel cu acesta, se utilizeaza coeficientul:

                                                        (Error! No text of specified style in document..6)

Transformarea coordonatelor stereografice din planul secant in cel tangent se face prin inmultirea lor cu coeficientul:

                                                                  (Error! No text of specified style in document..7)

Conditiile puse reprezentarii in proiectia stereografica 1970:

A  sa fie conforma;

A  meridianul lo care trece prin polul Qo sa se reprezinte printr-o dreapta care se ia axa Ox, cu sensul pozitiv spre nord si sa fie si axa de simetrie;

A  originea O a sistemului de coordonate stereografice este imaginea polului Qo, iar un punct oarecare D(j,l), situat pe meridianul axial lo, are coordonata xm data de relatia:

                                                                         ( Error! No text of specified style in document..8)

unde:  reprezinta lungimea arcului de meridian cuprinsa intre paralelele de latitudini jo si j.

5.7.1.B                            Transformari de coordonate in proiectia stereografica 1970

Transformarea coordonatelor geografice (j,l) de pe elipsoidul de rotatie in coordonate rectangulare plane stereografice (x,y)

Aceasta transformare se poate face pe baza unor formule cu coeficienti constanti, stabilite dupa o metoda propusa de academicianul bulgar Vladimir K. Hristov, in functie de diferenta de latitudine Dj si de longitudine l intre punctul considerat de coordonate (j,l) si polul proiectiei Q0(j0,l0). Calculul se face in doua etape, si anume:

1.     transformarea coordonatelor geografice (j,l) de pe elipsoidul de rotatie in coordonate rectangulare plane (xtg,ytg) pe planul tangent

2.     transformarea coordonatelor rectangulare plane (xtg,ytg) din planul tangent in coordonate rectangulare plane (x,y) in planul secant

               (Error! No text of specified style in document..9)

unde:                                        (Error! No text of specified style in document..10)

Daca in relatiile (5.27) se noteaza expresiile din paranteze cu S0, S2, S4, S6 si S1, S3, S5 rezulta:

                                 (Error! No text of specified style in document..11)

                                                                                     (5.29)

Formulele cu coeficienti constanti au fost stabilite de Vasile Falie si Constantin Strutu pe baza procedeului de “calcul cracovian”, in anul 1959.

Coeficientii constanti pentru elipsoidul Krasovski 1940 si latitudinea polului Q0 j0=46o au fost calculati la Institutul de Geodezie, Fotogrametrie, Cartografie si Organizarea Teritoriului Bucuresti. Procedeul propus asigura o precizie de calcul de ordinul a 1 cm.

5.7.1.C                      Transformarea coordonatelor rectangulare plane stereografice (x,y) in coordonate geografice (j,l) pe elipsoidul de rotatie

Aceasta transformare se face de asemenea in doua etape, si anume:

1.     transformarea coordonatelor din planul secant in cel tangent, prin inmultirea cu cu coeficientul c’.

2.     transformarea coordonatelor stereografice din planul tangent in coordonate geografice (j,l) pe elipsoidul de rotatie. Si acest calcul se face pe baza unor formule cu coeficienti constanti:

              (Error! No text of specified style in document..12)

unde:

                                                                                 (Error! No text of specified style in document..13)

Daca in relatiile (5.30) expresiile din paranteze se noteaza s0, s2, s4, s6, respectiv s1, s3, s5, rezulta:

                          (Error! No text of specified style in document..14)

In continuare este prezentat un exemplu de calcul pentru coordonatele rectangulare plane in functie de coordonatele geografice si transformarea inversa, utilizand metoda cu coeficienti constanti.

In tabelele urmatoare, sunt scrise cu caractere ingrosate valorile coeficientilor constanti.


Transformarea coordonatelor geografice (j, l) in coordonate plane stereografice 1970


Punctul . . . . . . . . . . . . . . .

Trapezul . . . . . . . . . . . . . .

c = 0.999 750 000

f 0 =

+ 1.000 0000

·

0

+ 3 752.145 7111

+ 0.335 9127

– 0.000 0575

·

l 0 = 

+ 1.000 0000

=

r0 =

+ 143 193.782

f 1 =

+ 0.463 7002

+ 308 758.957 9813

      99.928 0966

– 0.062 2287



0

l 2 =

+ 0.038 1420

r2 =

+        141.292

f 2 =

+ 0.215 0178

+          75.358 4967

        6.674 8691

+ 0.000 2261

0

l 4 =

+ 0.001 4548

r4=

              0.000

f 3 =

+ 0.099 7038

+          60.216 2733

        0.071 3046

0

0

l 6 =

+ 0.000 0555

r6 =

              0.000

f 4 =

+ 0.046 2327

            0.014 8571

        0.002 5911

0

0

f 5 =

+ 0.021 4381

+            0.014 2609

0

0

0

+ 143 335.074

f 6 =

+ 0.009 9408

            0.021 5834

0

0

0

+ 143 299.240

S0=+143 193.781 7457

S2=+3 704.366 5927

S4=+0.3071059

S6=–0.0000575

f 0 =

+ 1.000 0000

·

+ 215 179.420 8377

– 23.213 8674

– 0.008 6455

l 1 = 

– 0.195 2998

=

r1 =

 41 043.902

f 1 =

+ 0.463 7002

   10 767.838 6289

   1.928 1015

+ 0.000 4969

l 3 =

– 0.007 4491

r3=

+       0.179

f 2 =

+ 0.215 0178

        128.660 0287

+   0.131 6098

0

l 5 =

– 0.000 2841

r5=

             0.000

f 3 =

+ 0.099 7038

            2.106 0091

+   0.002 3711

0

f 4 =

+ 0.046 2327

            0.049 5324

0

0

  41 043.723

f 5 =

+ 0.021 4381

+            0.000 4263

0

0

S1=+ 210 158.495 9923

S3=– 24.079 3935

S5=–0.008 4151

  41 033.462

Transformarea coordonatelor plane stereografice 1970 in coordonate geografice (j, l) pe elipsoidul Krasovski 1940


 Punctul . . . . . . . . . . . . . . .

Trapezul . . . . . . . . . . . . . .

c¢ = 1.000 250 063

x 0 =

+ 1.000 0000

·

0

– 26.245 7302

+ 0.003 3123

– 0.000 0002

·

y 0 = 

+ 1.000 0000

=

R0 =

+ 4 641.5760

x 1 =

+ 1.433 3507

+ 3 238.772 4276

   0.620 2059

+ 0.000 1735

0

y 2 =

+ 0.168 4587

R2 =

        4.5746

x 2 =

+ 2.054 4943

        0.256 0279

   0.009 9813

+ 0.000 0055

0

y 4 =

+ 0.028 3783

R4 =

+        0.0001

x 3 =

+ 2.944 8110

        0.066 2169

   0.000 1893

0

0

y 6 =

+ 0.004 7806

R6 =

          0.0000

x 4 =

+ 4.220 9470

+        0.000 0313

   0.000 0031

0

0

x 5 =

+ 6.050 0975

+        0.000 0024

0

0

0

S0=+ 4 641.575 9931

S2=– 27.155 7798

S4=+0.0035723

S6=–0.0000002

x 0 =

+ 1.000 0000

·

+ 4 647.284 5596

  0.502 0804

+ 0.000 1125

y 1 = 

– 0.410 4372

=

R1 =

– 1 953.0353

x 1 =

+ 1.433 3507

+      75.319 5104

  0.028 9995

+ 0.000 0109

y 3 =

– 0.069 1417

R3 =

+        0.0378

x 2 =

+ 2.054 4943

+        1.506 2413

  0.001 1247

0

y 5 =

– 0.011 6475

R5 =

           0.0000

x 3 =

+ 2.944 8110

+        0.028 9995

  0.000 0363

0

x 4 =

+ 4.220 9470

+        0.000 5624

0

0

x 5 =

+ 6.050 0975

+        0.000 0109

0

0

S1=+ 4 758.426 2378

S3=– 0.546 0644

S5=+0.0001281


5.7.1.D                           Deformatii in proiectia stereografica 1970

Ca orice proiectie stereografica, si proiectia stereografica 1970 este o proiectie conforma, deci nu deformeaza unghiurile.

In general, in aceasta proiectie se produc deformatii ale distantelor si ale ariilor. Exista un cerc de deformatii nule cu centrul in imaginea polului Q0 si a carui raza este .

Deformatiile liniare si areolare sunt nule pe acest cerc, au valori negative in interiorul lui si pozitive in afara. Deformatiile liniare si cele areolare cresc pe masura ce creste departarea fata de cercul de deformatii nule. In polul Q0 deformatiile liniare relative au valoarea

–25 cm/km, iar in punctele extreme ale tarii (de ex: Beba Veche, sau estul Dobrogei) deformatiile pot atinge +60.0 cm/km.

 SHAPE  * MERGEFORMAT

5.7.1.D.a.1.I.1                                   Cercul de deformatii nule in proiectia stereografica 1970

Modulul de deformatie liniara m se poate calcula cu formula:

                                                                           (Error! No text of specified style in document..15)

unde:       xs, ys sunt coordonate plane stereografice;

               Ro este raza medie de curbura la latitudinea jo;

               este coeficientul de transformare a coordonatelor din planul tangent in planul secant.

Deformatia liniara relativa se obtine cu ajutorul formulei:

                                                   (Error! No text of specified style in document..16)

Deformatiile areolare au acelasi semn cu deformatiile liniare, iar modulul de deformatie areolara poate fi calculat cu relatia:

                                                                                        (Error! No text of specified style in document..17)

5.7.1.E                            Reducerea directiilor la planul proiectiei stereografice 1970

Definitie

Reducera directiilor la planul de proiectie, numita si reducerea la coarda, consta in a calcula si aplica directiilor masurate cate o corectie.

Este necesar sa se aplice o astfel de corectie, deoarece imaginile din planul de proiectie stereografic 1970, ale liniilor geodezice de pe elipsoid nu sunt in general linii drepte, ci sunt curbe, cu concavitatea spre axa Ox.

5.7.1.E.a.1.I.1                                   

Text Box:

 Imaginea plana a unui triunghi geodezic

Fie doua puncte 1 si 2 de coordonate 1(x1,y1) si 2(x2,y2) in planul de proiectie stereografic. Corectia de reducere a directiei masurate din punctul 1 spre punctul 2, d1,2, se calculeaza cu formula:

                   (Error! No text of specified style in document..18)

                                               (Error! No text of specified style in document..19)

unde:    r”=206265;

Ro este raza medie de curbura a elipsoidului la latitudinea jo a polului proiectiei.



Pentru verificarea corectiilor de reducere a directiilor la planul de proiectie se aplica urmatoarea regula: in orice triunghi geodezic, suma corectiilor de reducere la planul de proiectie a celor trei unghiuri trebuie sa fie egala cu excesul sferic al triunghiului respectiv, luat cu semn schimbat.

De exemplu, pentru triunghiul 123 din figura 5.7 relatia de verificare este:

                                    (Error! No text of specified style in document..20)

in care excesul sferic e se poate calcula cu formula:

                                                     (Error! No text of specified style in document..21)

unde:       Rm reprezinta raza medie la latitudinea medie jm a varfurilor triunghiurilor;

                         fm se numeste factorul excesului sferic;

               a, b sunt doua laturi ale triunghiului, iar C este unghiul cuprins intre ele.

Aplicatie

Calculul corectiilor de reducere a directiilor dij la planul de proiectie, calculul corectiilor ci de reducere a unghiurilor la planul de proiectie si verificarea acestora pe triunghiuri cu ajutorul excesului sferic


Se da inventarul de coordonate provizorii pentru punctele din schita de mai jos:

Pct.

x [m]

y [m]

1

232 007

– 107 007

2

226 007

– 122 007

3

217 007

– 110 007

4

214 007

– 129 007

5

207 007

– 115 007

Se calculeaza corectiile de reducere a directiilor la planul de proiectie cu ajutorul formulei (5.36):

Triunghi

Varf

Directie

Corectia pt.

directii

[²]

Corectia pt.

unghiuri

[²]

Exces

sferic

[²]

1

2

– 5.22

– 2.31

0.52

3

– 2.92

2

3

  2.05

– 3.18

1

  5.22

3

1

  2.92

  4.96

2

– 2.05

SI = 103 500 000 m2

Verificare:  – 0.52

2

4

– 3.86

– 5.91

0.52

3

   2.05

3

2

– 2.05

  3.60

4

– 5.64

4

3

   5.64

  1.78

2

   3.86

SII = 103 500 000 m2

Verificare:  – 0.52

3

4

– 5.64

– 2.87

0.44

5

– 2.77

4

5

   2.65

– 2.99

3

   5.64

5

3

   2.77

   5.42

4

– 2.65

SIII =  87 500 000 m2

Verificare:  – 0.44

5.7.1.F                            Reducerea distantelor la planul proiectiei stereografice

Fie o linie geodezica pe elipsoid de lungime s. Notam cu 1-2 curba care reprezinta imaginea liniei geodezice in planul de proiectie. Fie s lungimea acestei curbe. Notam cu S lungimea coardei 1-2 (distanta redusa la planul tangent al proiectiei stereografice).

Daca se face aproximatia , se poate deduce distanta S din planul tangent in functie de distanta s cu ajutorul relatiei:

                                                  (Error! No text of specified style in document..22)

unde:

                                                                                       (Error! No text of specified style in document..23)

iar x1, x2, y1, y2 reprezinta coordonate stereografice aproximative ale punctelor care reprezinta capetele distantei respective.

5.7.1.F.a.1.I.1                                   

Text Box:

 Imaginea din planul de proiectie a liniei geodezice de pe elipsoid

Distanta S0 redusa la planul secant se calculeaza cu formula:

                                                                                     (Error! No text of specified style in document..24)

unde:

                                                                         (Error! No text of specified style in document..25)

Aplicatie

Reducerea distantelor la planul de proiectie si calculul deformatiilor absolute

Fiind date:

·         lungimile s ale unor laturi din reteaua geodezica masurate din punctul de statie P si reduse la elipsoid

·         directiile θ, orientate in statie si reduse la planul de proiectie pentru laturile respective

·         coordonatele punctului de statie P:

 xP = 285 007 m

yP = 160 007 m


Pct.

s

[m]

Θ

°

¢

²

1

  4 507.07

  37

07

07.07

2

11 007.07

  67

07

07.07

3

15 007.07

127

07

07.07

4

20 007.07

164

07

07.07

1. Sa se calculeze coordonatele provizorii ale punctelor geodezice 1, 2, 3, 4 folosind distantele nereduse la planul de proiectie;

2. Sa se reduca distantele la planul de proiectie si sa se calculeze deformatia totala a fiecarei laturi (Ss);

3. Sa se calculeze coordonatele rectangulare plane ale punctelor folosind distantele reduse la planul de proiectie si influenta reducerii distantelor asupra coordonatelor X, Y.

Rezolvare

1. Calcul coordonatelor provizorii

Se aplica urmatoarele formule:

Pct

s

[m]

θ

x

[m]

y

[m]

°

¢

²

1

  4 507.07

 37

07

07.07

288 600.882

162 726.869

2

11 007.07

 67

07

07.07

289 286.817

170 147.944

3

15 007.07

127

07

07.07

275 950.724

171 973.454

4

20 007.07

164

07

07.07

265 763.593

165 481.864

2. Reducrea distantelor la planul de proiectie si calculul deformatiei totale a fiecarei laturi (S-s)

Pentru calculul distantei reduse la planul proiectiei stereografice 1970 se aplica urmatoarea relatie [3]:

           (Error! No text of specified style in document..26)

s1= 4507.07

s2=11007.07

s3=15007.07

s4=20007.07

s [m]

4 507.070

11 007.070

15 007.070

 20 007.070

xm [m]

286 803.941

287 146.909

280 478.862

275 385.297

ym [m]

161 366.935

165 077.472

165 990.227

162 744.432

0.001 082 958

0.001 097 039

0.001 062 211

0.001 023 228

0.000 001 173

0.000 001 203

0.000 001 128

0.000 001 047

 [m]

3 593.882

4 279.817

-9 056,276

-19 243,407

 [m]

2 719.869

10 140.944

11 966.454

5 474.864

0.000 000 020

0.000 000 020

0.000 000 020

0.000 000 020

S [m]

  4 508.945

 11 011.744

 15 013.121

 20 014.657

(Ss) [m]

1.875

4.674

6.051

7.587

3. Calcul coordonatelor cu ajutorul distantelor reduse la planul de proiectie

Se aplica formulele:

Pct

S

[m]

θ

X

[m]

Y

[m]

°

¢

²

1

 4 508.945

 37

07

07.07

288 602.377

162 728.001

2

11 011.744

 67

07

07.07

289 288.635

170 152.251

3

15 013.121

127

07

07.07

275 947.072

171 978.279

4

20 014.657

164

07

07.07

265 756.296

165 483.940

5.7.1.G                           Unghiul de convergenta meridiana

Definitie

Unghiul de convergenta meridiana, sau convergenta meridianelor in proiectia stereografica 1970 reprezinta unghiul format de imaginea plana a meridianului care trece prin punctul considerat si paralela la axa Ox, care trece prin acelasi punct.

5.7.1.G.a.1.I.1                                  

Text Box:

 Unghiul g de convergenta meridiana in proiectia stereografica 1970

Unghiul g este pozitiv pentru punctele situate la est de meridianul  care trece prin polul proiectiei si negativ pentru punctele situate la vest de acesta.

Unghiul g de convergenta meridiana se utilizeaza pentru orientarea hartilor pe teren cu ajutorul declinatorului si pentru trecerea de la azimute A, pe elipsoid la orientarile Q din planul de proiectie pe baza urmatoarelor formule:

                                                                     (Error! No text of specified style in document..27)

5.7.1.H                           Nomenclatura trapezelor in proiectia stereografica 1970

In proiectia stereografica 1970, se pastreaza cadrul geografic si nomenclatura trapezelor la fel ca in proiectia Gauss. Amanunte referitoare la acestea au fost prezentate in capitolul 4.









Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE Clasa: I Matematica - Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 30, fara trecere peste ordin
 Proiect didactic Grupa: mijlocie - Consolidarea mersului in echilibru pe o linie trasata pe sol (30 cm)
 Redresor electronic automat pentru incarcarea bateriilor auto - proiect atestat
 Proiectarea instalatiilor de alimentare ale motoarelor cu aprindere prin scanteie cu carburator

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 Proiect diploma Finante Banci - REALIZAREA INSPECTIEI FISCALE LA O SOCIETATE COMERCIALA
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 CONTABILITATEA FINANCIARA TESTE GRILA LICENTA
 LUCRARE DE LICENTA - FACULTATEA DE EDUCATIE FIZICA SI SPORT
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 Proiect atestat informatica- Tehnician operator tehnica de calcul - Unitati de Stocare
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia




Efecte electodinamice
Materia de rezonanta
Probleme ale metalurgiei pulberilor si materiale compozite
Magnetismul
Sisteme de detectie complexe pentru experimente de Fizica nucleara relativista
VASCOZITATEA LICHIDELOR REALE
TRANSFORMAREA CALDURII IN LUCRU MECANIC CU AJUTORUL CICLURILOR; CICLUL CARNOT
Lagarul axial hidrostatic


Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu