Proiectia Gauss-Krüger

Figura 1.6. Imaginea plana a unui triunghi geodezic

Fie doua puncte A(j l ) si B(j l ) situate pe elipsoid. Imaginile din planul de proiectie Gauss ale acestor puncte le notam 1(x₁,y₁) si 2(x₂,y₂). Corectia de reducere a directiei AB la planul de proiectie, notata d se calculeaza cu formulele:

Cazul 1: Triangulatiile de ordinul III si IV:

(Error! No text of specified style in document..30)

unde: f = factorul excesului sferic, calculat pentru latitudinea medie a zonei de lucru, cu formula de mai jos:

(Error! No text of specified style in document..31)

R = raza medie de curbura a elipsoidului la latitudinea medie a zonei de lucru;

r

(Error! No text of specified style in document..32)

Formula (4.30) asigura o precizie de ordinul 0",1. Coordonatele rectangulare plane x si y este suficient sa fie cunoscute cu o aproximatie de 10 m.

Cazul 2: Triangulatia de ordinul II:

(Error! No text of specified style in document..33)

Unde: f_m= factorul excesului sferic, calculat pentru latitudinea medie a unui numar mai mare de triunghiuri din reteaua geodezica, cu formula (4.31)

Formula (4.33) asigura o precizie de calcul de 0",01 pentru calculul corectiilor de reducere a directiilor la planul de proiectie. Coordonatele rectangulare plane x si y este suficient sa fie cunoscute cu o aproximatie de 1 m.

Cazul 3: Triangulatia de ordinul I:

(Error! No text of specified style in document..34)

unde: R_m = raza medie de curbura a elipsoidului Krasovskii 1940 la latitudinea medie (j_m) a laturii 12.

  (Error! No text of specified style in document..35)

Relatiile (4.34) asigura o precizie de calcul a corectiilor d de 0".001 pentru laturi de cel mult 70 km si departarea de meridianul axial y 350 km.

Dupa ce au fost calculate corectiile d, cu formula adecvata: (4.30), (4.33) sau (4.34) acestea se aplica directiilor masurate.

Fie (Q_m directia masurata. Directia redusa la planul de proiectie, (q_r se deduce cu ajutorul relatiei:

(Error! No text of specified style in document..36)

Corectiile de reducere a directiilor la planul de proiectie se verifica pe triunghiuri, cu ajutorul excesului sferic e aplicand urmatoarea regula: in orice triunghi geodezic, suma corectiilor de reducere la planul de proiectie a celor trei unghiuri trebuie sa fie egala cu excesul sferic al triunghiului respectiv, luat cu semn schimbat. De exemplu, pentru triunghiul 123 din figura 4.8 relatia de verificare este:

(Error! No text of specified style in document..37)

unde :

R_m reprezinta raza medie la latitudinea medie a varfurilor triunghiurilor j_m

f_m se numeste factorul excesului sferic

a, b sunt doua laturi ale triunghiului, iar C este unghiul cuprins intre ele.

4.6.d. Deformatiile in proiectia Gauss

Proiectia Gauss este o proiectie conforma, deci unghiurile se reprezinta in planul de proiectie fara deformatii, dar in general se deformeaza lungimile si ariile.

Lungimile de pe meridianul axial nu se deformeaza. In orice punct care nu este situat pe meridianul axial se produc deformatii pozitive. In lungul unui paralel oarecare de latitudine j, deformatiile liniare cresc aproximativ proportional cu distanta fata de meridianul axial, astfel incat pe meridianele marginale se ating deformatiile maxime (de exemplu pentru latitudinea medie a Romaniei, j=46^o, deformatia liniara relativa este D=+66.4 cm/km). Pe orice meridian, deformatia maxima a lungimilor se produce la intersectia cu ecuatorul.

In ceea ce priveste deformatiile areolare, acestea sunt nule pe meridianul axial al fusului, sunt pozitive in toate celelalte puncte si cresc in valoare pe masura ce creste departarea fata de acest meridian.

4.6.e. Reducerea distantelor de pe elipsoid la planul de proiectie Gauss

Necesitatea "reducerii distantelor" la planul de proiectie apare din cauza deformatiilor liniare produse de sistemul de proiectie. Aceasta reducere la planul de proiectie trebuie inteleasa in sensul de reprezentare in planul de proiectie.

Figura 1.7. Imaginea plana,ab'b, a unei linii geodezice de pe elipsoid

Fie linie geodezica AB pe elipsoid de lungime s, careia ii corespunde curba ab'b de lungime s din planul de proiectie. Fie S lungimea coardei ab.

Pentru distante mai scurte de 30 km se poate face aproximatia:

Daca se cunosc cu aproximatie coordonatele rectangulare ale punctelor a(x₁,y₁) si b(x₂,y₂), se poate determina distanta redusa la planul de proiectie Gauss cu ajutorul formulei:

(Error! No text of specified style in document..38)

unde:

R_m se calculeaza pentru latitudinea medie j_m a zonei de lucru, sau a laturei respective.

4.6.f. Nomenclatura trapezelor in proiectia Gauss

Hartile si planurile topografice in proiectia Gauss au in general un cadru de tip geografic, format din imaginile plane ale unor arce de meridiane si paralele, care delimiteaza pe elipsoidul de rotatie niste trapeze curbilinii, denumite in mod curent trapeze. Fiecare trapez are o anumita nomenclatura si se reprezinta pe o foaie de harta separata. S-au stabilit urmatoarele scari standard: 1:1.000.000, 1:500.000, 1:200.000, 1:100.000, 1:50.000, 1:25.000, 1:10.000, 1:5.000, 1:2.000, pentru care vor fi date in continuare dimensiunile graduale ale laturilor (Dj Dl) si nomenclaturile.

Pentru impartirea elipsoidului in trapeze la scara 1:1.000.000 se procedeaza astfel: se traseaza meridiane din 6^o in 6^o, care delimiteaza fuse, numerotate de la 1 la 60 incepand de la meridianul  spre est (figura 4.4) si paralele din 4^o in 4^o pornind de la ecuator spre poli (pana la ), care delimiteaza zone notate A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, k, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V (figura 4.10). Zonele din emisfera nordica au in fata litera N, iar cele din emisfera sudica, S. Teritoriul Romaniei este situat in fusele 34 si 35 si in zonele K, L, M.

Nomenclatura unui trapez la scara 1:1.000.000 este formata din litera corespunzatoare zonei si numarul fusului, de exemplu: L-35.

Nomenclaturile trapezelor la scari mai mari se stabilesc pornind de la trapezul 1:1.000.000. Dimensiunile graduale ale laturilor trapezelor si nomenclaturile acestora sunt prezentate in figurile si tabelul de mai jos

Figura 1.8. Zone de 4^o pe elipsoid

Figura 1.9. Nomenclaturile trapezelor la scarile

in cadrul unui trapez 1:1.000.000

Figura 1.10. Trapeze la scarile a): 50.000, 1:25.000, 1:10.000

b): 1:5.000, 1:2.000

Caracteristici generale ale proiectiilor stereografice

Toate proiectiile stereografice sunt conforme, adica figurile infinit mici de pe suprafata sferei se reprezinta in planul de proiectie prin figuri infinit mici asemenea. In consecinta, cercurile de pe suprafata terestra, infinit mici sau finite, se reprezinta in planul de proiectie tot prin cercuri. Deci imaginile paralelelor si meridianelor de pe sfera sunt in general cercuri, sau in unele cazuri sunt drepte.

Proiectiile stereografice se pot clasifica in functie de latitudinea j a polului proiectiei Q₀ astfel:

drepte (polare) pentru ;

oblice pentru ;

transversale (ecuatoriale) pentru .

Proiectiile stereografice se utilizeaza pentru intocmirea hartilor la scari mici a regiunilor de dimensiuni mici si in special a celor care au linia de hotar in forma rotunda.

Proiectiile drepte sunt utile pentru reprezentarea zonelor polare, cele oblice pentru intocmirea hartilor zonelor aflate la latitudini medii, iar cele transversale se pot aplica pentru zonele ecuatoriale.

Proiectia stereografica a fost utilizata inca din secolul II i.C. de geograful, astronomul si matematicianul grec Hipparchus (circa 190 i. C.-circa 120 i. C.) pentru reprezentarea boltei ceresti.

Formulele generale ale proiectiilor stereografice pentru reprezentarea sferei terestre de raza R sunt urmatoarele:

Coordonate plane polare:

(Error! No text of specified style in document.. )

Coordonate rectangulare plane:

(5. )

Modulii de deformatie liniara, areolara si deformatii unghiulare maxime:

(Error! No text of specified style in document.. )

S-au utilizat urmatoarele notatii:

d - unghi polar;

r - raza vectoare;

a - azimut;

z - unghi zenital;

, - modulii de deformatie liniara pe directiile verticalurilor si almucantaratelor;

p - modul de deformatie areolara;

w - deformatia unghiulara maxima.

Din formulele (5.21) se observa ca deformatiile in proiectiile stereografice depind doar de distanta zenitala z, deci izoliniile deformatiilor sunt cercuri concentrice care coincid cu imaginile almucantaratelor in proiectiile oblice si transversale si respectiv cu imaginile paralelelor in proiectiile drepte.

Deformatiile unghiulare maxime sunt egale cu zero, deci proiectiile stereografice sunt conforme.

Aplicatie

Constructia grafica a retelei cartografice in proiectie stereografica polara.

In orice proiectie polara, polul proiectiei, Q₀(j l ) coincide cu polul geografic P, adica .

Figura 1.11.

Constructia grafica a retelei cartografice in proiectie stereografica polara

In aceasta proiectie punctul de vedere V se afla pe sfera, diametral opus polului proiectiei. Dreptele proiectante pornesc divergent din punctul de vedere. Reteaua cartografica este alcatuita din imaginile paralelelor, care sunt cercuri concentrice cu centrul in punctul care reprezinta imaginea polului si imaginile meridianelor care sunt drepte concurente in centrul cercurilor. Constructia grafica a acestei retele se face in urmatoarele etape:

A  se deseneaza un cerc cu raza egala cu raza sferei terestre R redusa la scara dorita;

A  se imparte cercul obtinut in arce de cerc egale cu difentele de longitudine stabilite (de exemplu Dl=15^o) si se noteaza punctele obtinute cu: A, B, C, . ;

A  din punctul de vedere V se deseneaza dreptele proiectante VA, VB, VC,.., care inteapa planul tabloului in punctele: a, b, c, . .;

A  se translateaza planul T paralel cu el in pozitia T';

A  se proiecteaza punctele P, a, b, c, . in punctele P', a'. b',c' . ducand drepte perpendiculare pe planul T

A  se traseaza cercurile cu centrul in punctul P' (imaginea polului) si de raze P'a', P'b', P'e' . , obtinandu-se astfel imaginile paralelelor;

A  se imparte cercul de raza P'e', care este imaginea ecuatorului, in arce de cerc egale cu diferentele de latitudine stabilite, de exemplu Dj=15^o

A  se uneste centrul cercurilor cu aceste puncte si se obtin imaginile meridianelor in planul de proiectie.

Proiectii stereografice utilizate in Romania

Proiectia stereografica 1970

In anul 1970 a fost adoptata in Romania proiectia stereografica 1970 si sistemul de cote referit la Marea Neagra, pentru executarea lucrarilor geodezice, topografice, fotogrametrice si cartografice.

5.7.1.A           Caracteristicile proiectiei stereografice 1970

Elipsoidul de referinta utilizat este Krasovski 1940 orientat in punctul astronomic fundamental- observatorul astronomic din Pulkovo.

Polul Q_o numit si "centrul proiectiei" are urmatoarele coordonate geografice:

(Error! No text of specified style in document.. )

Intreaga tara se reprezinta pe un singur plan de proiectie secant, care are un cerc de deformatie nula, cu raza:

(Error! No text of specified style in document.. )

In centrul acestui cerc deformatia liniara are valoarea:-25cm/km.

Sistemul de axe de coordonate rectangulare plane are ca origine imaginea plana a punctului central, axa Ox are sensul pozitiv spre nord, iar axa Oy are sensul pozitiv spre est.

Pentru transformarea coordonatelor din planul tangent in polul Q_o, intr-un plan secant paralel cu acesta, se utilizeaza coeficientul:

(Error! No text of specified style in document.. )

Transformarea coordonatelor stereografice din planul secant in cel tangent se face prin inmultirea lor cu coeficientul:

(Error! No text of specified style in document.. )

Conditiile puse reprezentarii in proiectia stereografica 1970:

A  sa fie conforma;

A  meridianul l_o care trece prin polul Q_o sa se reprezinte printr-o dreapta care se ia axa Ox, cu sensul pozitiv spre nord si sa fie si axa de simetrie;

A  originea O a sistemului de coordonate stereografice este imaginea polului Q_o, iar un punct oarecare D(j l), situat pe meridianul axial l_o, are coordonata x_m data de relatia:

( Error! No text of specified style in document.. )

unde: reprezinta lungimea arcului de meridian cuprinsa intre paralelele de latitudini j_o si j

5.7.1.B            Transformari de coordonate in proiectia stereografica 1970

Transformarea coordonatelor geografice (j l) de pe elipsoidul de rotatie in coordonate rectangulare plane stereografice (x,y)

Aceasta transformare se poate face pe baza unor formule cu coeficienti constanti, stabilite dupa o metoda propusa de academicianul bulgar Vladimir K. Hristov, in functie de diferenta de latitudine Dj si de longitudine l intre punctul considerat de coordonate (j l) si polul proiectiei Q₀(j l ). Calculul se face in doua etape, si anume:

transformarea coordonatelor geografice (j l) de pe elipsoidul de rotatie in coordonate rectangulare plane (x_tg,y_tg) pe planul tangent

transformarea coordonatelor rectangulare plane (x_tg,y_tg) din planul tangent in coordonate rectangulare plane (x,y) in planul secant

(Error! No text of specified style in document.. )

unde: (Error! No text of specified style in document.. )

Daca in relatiile (5.27) se noteaza expresiile din paranteze cu S₀, S₂, S₄, S₆ si S₁, S₃, S₅ rezulta:

(Error! No text of specified style in document.. )

(5.29

Formulele cu coeficienti constanti au fost stabilite de Vasile Falie si Constantin Strutu pe baza procedeului de "calcul cracovian", in anul 1959.

Coeficientii constanti pentru elipsoidul Krasovski 1940 si latitudinea polului Q₀ j =46^o au fost calculati la Institutul de Geodezie, Fotogrametrie, Cartografie si Organizarea Teritoriului Bucuresti. Procedeul propus asigura o precizie de calcul de ordinul a 1 cm.

5.7.1.C              Transformarea coordonatelor rectangulare plane stereografice (x,y) in coordonate geografice (j l) pe elipsoidul de rotatie

Aceasta transformare se face de asemenea in doua etape, si anume:

transformarea coordonatelor din planul secant in cel tangent, prin inmultirea cu cu coeficientul c'.

transformarea coordonatelor stereografice din planul tangent in coordonate geografice (j l) pe elipsoidul de rotatie. Si acest calcul se face pe baza unor formule cu coeficienti constanti:

(Error! No text of specified style in document.. )

unde:

(Error! No text of specified style in document.. )

Daca in relatiile (5.30) expresiile din paranteze se noteaza s₀, s₂, s₄, s₆, respectiv s₁, s₃, s₅, rezulta:

(Error! No text of specified style in document.. )

In continuare este prezentat un exemplu de calcul pentru coordonatele rectangulare plane in functie de coordonatele geografice si transformarea inversa, utilizand metoda cu coeficienti constanti.

In tabelele urmatoare, sunt scrise cu caractere ingrosate valorile coeficientilor constanti.

5.7.1.D.a.1.I.1                   Cercul de deformatii nule in proiectia stereografica 1970

Modulul de deformatie liniara m se poate calcula cu formula:

(Error! No text of specified style in document.. )

unde: x_s, y_s sunt coordonate plane stereografice;

R_o este raza medie de curbura la latitudinea j_o

este coeficientul de transformare a coordonatelor din planul tangent in planul secant.

Deformatia liniara relativa se obtine cu ajutorul formulei:

(Error! No text of specified style in document.. )

Deformatiile areolare au acelasi semn cu deformatiile liniare, iar modulul de deformatie areolara poate fi calculat cu relatia:

(Error! No text of specified style in document.. )

5.7.1.E            Reducerea directiilor la planul proiectiei stereografice 1970

Este necesar sa se aplice o astfel de corectie, deoarece imaginile din planul de proiectie stereografic 1970, ale liniilor geodezice de pe elipsoid nu sunt in general linii drepte, ci sunt curbe, cu concavitatea spre axa Ox.

5.7.1.E.a.1.I.1           

Imaginea plana a unui triunghi geodezic

Fie doua puncte 1 si 2 de coordonate 1(x₁,y₁) si 2(x₂,y₂) in planul de proiectie stereografic. Corectia de reducere a directiei masurate din punctul 1 spre punctul 2, d , se calculeaza cu formula:

(Error! No text of specified style in document.. )

(Error! No text of specified style in document.. )

unde: r

R_o este raza medie de curbura a elipsoidului la latitudinea j_o a polului proiectiei.

Pentru verificarea corectiilor de reducere a directiilor la planul de proiectie se aplica urmatoarea regula: in orice triunghi geodezic, suma corectiilor de reducere la planul de proiectie a celor trei unghiuri trebuie sa fie egala cu excesul sferic al triunghiului respectiv, luat cu semn schimbat.

De exemplu, pentru triunghiul 123 din figura 5.7 relatia de verificare este:

(Error! No text of specified style in document.. )

in care excesul sferic e se poate calcula cu formula:

(Error! No text of specified style in document.. )

unde: R_m reprezinta raza medie la latitudinea medie j_m a varfurilor triunghiurilor;

f_m se numeste factorul excesului sferic;

a, b sunt doua laturi ale triunghiului, iar C este unghiul cuprins intre ele.

Aplicatie

Calculul corectiilor de reducere a directiilor d_ij la planul de proiectie, calculul corectiilor c_i de reducere a unghiurilor la planul de proiectie si verificarea acestora pe triunghiuri cu ajutorul excesului sferic

Se da inventarul de coordonate provizorii pentru punctele din schita de mai jos:

Pct.	x [m]	y [m]

Se calculeaza corectiile de reducere a directiilor la planul de proiectie cu ajutorul formulei (5.36):

Triunghi	Varf	Directie	Corectia pt. directii	Corectia pt. unghiuri	Exces sferic
			2.05
			5.22
			2.92	4.96
SI = 103 500 000 m2	Verificare:
			2.05
				3.60
			5.64	1.78
			3.86
SII = 103 500 000 m2	Verificare:
			2.65
			5.64
			2.77	5.42
SIII =  87 500 000 m2	Verificare:

5.7.1.F            Reducerea distantelor la planul proiectiei stereografice

Fie o linie geodezica pe elipsoid de lungime s. Notam cu 1-2 curba care reprezinta imaginea liniei geodezice in planul de proiectie. Fie s lungimea acestei curbe. Notam cu S lungimea coardei 1-2 (distanta redusa la planul tangent al proiectiei stereografice).

Daca se face aproximatia , se poate deduce distanta S din planul tangent in functie de distanta s cu ajutorul relatiei:

(Error! No text of specified style in document.. )

unde:

(Error! No text of specified style in document.. )

iar x₁, x₂, y₁, y₂ reprezinta coordonate stereografice aproximative ale punctelor care reprezinta capetele distantei respective.

5.7.1.F.a.1.I.1           

Imaginea din planul de proiectie a liniei geodezice de pe elipsoid

Distanta S₀ redusa la planul secant se calculeaza cu formula:

(Error! No text of specified style in document.. )

unde:

(Error! No text of specified style in document.. )

Aplicatie

Reducerea distantelor la planul de proiectie si calculul deformatiilor absolute

Fiind date:

lungimile s ale unor laturi din reteaua geodezica masurate din punctul de statie P si reduse la elipsoid

directiile , orientate in statie si reduse la planul de proiectie pentru laturile respective

coordonatele punctului de statie P:

x_P = 285 007 m

y_P = 160 007 m

Pct.	s [m]
	4 507.07	37
		67

1. Sa se calculeze coordonatele provizorii ale punctelor geodezice 1, 2, 3, 4 folosind distantele nereduse la planul de proiectie;

2. Sa se reduca distantele la planul de proiectie si sa se calculeze deformatia totala a fiecarei laturi (S - s);

3. Sa se calculeze coordonatele rectangulare plane ale punctelor folosind distantele reduse la planul de proiectie si influenta reducerii distantelor asupra coordonatelor X, Y.

Rezolvare

1. Calcul coordonatelor provizorii

Se aplica urmatoarele formule:

Pct	s [m]				x [m]	y [m]
	4 507.07	37
		67

. Reducrea distantelor la planul de proiectie si calculul deformatiei totale a fiecarei laturi (S-s)

Pentru calculul distantei reduse la planul proiectiei stereografice 1970 se aplica urmatoarea relatie [3]:

(Error! No text of specified style in document.. )

	s1= 4507.07	s2=11007.07	s3=15007.07	s4=20007.07
s [m]				20 007.070
xm [m]
ym [m]
[m]
[m]
S [m]	4 508.945	11 011.744	15 013.121	20 014.657
(S - s) [m]

3. Calcul coordonatelor cu ajutorul distantelor reduse la planul de proiectie

Se aplica formulele:

Pct	S [m]				X [m]	Y [m]
	4 508.945	37
		67

5.7.1.G           Unghiul de convergenta meridiana

Definitie

Unghiul de convergenta meridiana, sau convergenta meridianelor in proiectia stereografica 1970 reprezinta unghiul format de imaginea plana a meridianului care trece prin punctul considerat si paralela la axa Ox, care trece prin acelasi punct

5.7.1.G.a.1.I.1                  

Unghiul g de convergenta meridiana in proiectia stereografica 1970

Unghiul g este pozitiv pentru punctele situate la est de meridianul care trece prin polul proiectiei si negativ pentru punctele situate la vest de acesta.

Unghiul g de convergenta meridiana se utilizeaza pentru orientarea hartilor pe teren cu ajutorul declinatorului si pentru trecerea de la azimute A, pe elipsoid la orientarile Q din planul de proiectie pe baza urmatoarelor formule:

(Error! No text of specified style in document.. )

5.7.1.H           Nomenclatura trapezelor in proiectia stereografica 1970

In proiectia stereografica 1970, se pastreaza cadrul geografic si nomenclatura trapezelor la fel ca in proiectia Gauss. Amanunte referitoare la acestea au fost prezentate in capitolul 4.