Creeaza.com - informatii profesionale despre


Cunostinta va deschide lumea intelepciunii - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Ecuatii de tip Bernoulli

Ecuatii de tip Bernoulli



Ecuatii de tip Bernoulli

Ecuatiile de tip Bernoulli[1] sunt ecuatii diferentiale de ordinul intai, care au forma generala (nu sunt ecuatii lineare)

                            ,                             (4.1)

unde ,  sunt functii continue si numarul real . Functia (in general pozitiva)  de clasa  care verifica identic ecuatia (4.1) este solutie a ecuatiei de tip Bernoulli. Deci graficul solutiilor ecuatiei (4.1) este format din perechile ordonate de forma .


Vom observa ca daca  ecuatia (4.1) devine o ecuatie diferentiala lineara de ordinul intai, neomogena, iar daca  ecuatia (4.1) este o ecuatie diferentiala lineara omogena. Asadar, ecuatiile de tip Bernoulli contin, in cazurile particulare cand  sau , ecuatiile diferentiale omogene si neomogene.

Presupunand ca . Daca facem schimbarea de functie

                                                       ,                                                        (4.2)

atunci ecuatia diferentiala nelineara (4.1) se transforma intr-o ecuatie lineara care se rezolva dupa metoda cunoscuta.

Intr-adevar, derivand relatia (4.2) obtinem

                                              ,                                              (4.3)

care substituita in (4.1) arata ca daca  este o solutie a ecuatiei Bernoulli (4.1), atunci  verifica ecuatia diferentiala  lineara de ordinul intai

                .                 (4.4)

a). Daca , atunci  (')  nu este solutie si deci ecuatia nu are solutii singulare.

b). Daca , atunci   (')  este solutie singulara.

c). Daca , atunci   (')  este solutie particulara si aceasta solutie se obtine din solutia generala cand constanta de integrare ia valoarea  .

Observatie. Pentru rezolvarea ecuatiei (4.1) putem aplica metoda lui Bernoulli, cand se cauta solutie de forma , unde functia  verifica ecuatia , iar functia  se determina din conditia (vezi ecuatii diferentiale lineare de ordinul intai, observatia #).

Observatie. Ecuatiile de tip Bernoulli apar, de exemplu, in studiul miscarii corpurilor in medii care opun o rezistenta la inaintare proportionala cu viteza de deplasare de forma , unde  reprezinta viteza corpului.

Exemple:

1). Sa se integreze ecuatia de tip Bernoulli

,    .

Solutie. Ecuatia data este de tip Bernoulli cu  si . Facem schimbarea de functie

                                                        ,                                                            (1)

de unde .

Inlocuind aceste relatii in ecuatia data deducem ca functia  trebuie sa verifice ecuatia diferentiala lineara neomogena

                                                           .                                                              (2)

Tehnica integrarii ecuatiei diferentiale (2) este prezentata in § 3. Asadar, functia  este factorul integrant corespunzator si deci solutia generala a ecuatiei diferentiale lineare (2) are forma

                                       .

Datorita substitutiei (1) obtinem solutia generala a ecuatiei Bernoulli sub forma implicita

                                       ,                                           (3)

Vom observa ca ecuatia data este bine definita pe multimea , iar solutia stationara , corespunzatoare valorii y = 0, este o solutie particulara care poate fi obtinuta din solutia generala (3) daca luam pentru constanta   valoarea .

2). Sa se integreze ecuatia de tip Bernoulli

, , cu conditia initiala .

Solutie. Avem: , , . Potrivit relatiei (4.2), se face schimbarea de functie

                                                        .                                                           (1)

Deci,   si atunci functia  verifica ecuatia lineara neomogena

                                                ,     .                                                    (2)

Daca presupunem  atunci ecuatia (2), prin integrare, conduce la solutia generala sub forma explicita , . Pentru a obtine solutia generala a ecuatiei Bernoulli va trebui sa substituim expresia lui  in relatia (1). Avem

                                          .                                              (3)

Retinem pentru ecuatia data si solutia particulara de forma , (')  , solutie care se obtine din solutia generala pentru .

Deoarece se da punctul initial  si se cere solutia ecuatiei care trece prin acest punct, va trebui sa inlocuim, in solutia generala (3), valorile . Deducem  si atunci solutia problemei Cauchy considerata are forma

                                           .

Graficul solutiei, reprezentat pe figura din dreapta este continut in . Pe figura din partea stanga sunt reprezentate graficele solutiilor pentru diferite valori date constantei

3). Integrati ecuatiile diferentiale

a) ,  ; ;

b) , ,  cu conditia initiala ;

c) ,  ;  .

Solutii: a). Ecuatia data este de tip Bernoulli cu , . Facem schimbarea de functie . Avem  si ecuatia data se transforma in ecuatia lineara neomogena de ordinul intai

                             ,  ,  .                               (1)

Pentru integrare deducem ca factorul integrant este , iar solutia generala a ecuatiei lineare (1) are forma



                                                           

Revenind la functia , rezulta ca solutia generala a ecuatiei Bernoulli are forma (vezi Fig.#)

                                     .

Pentru aceasta ecuatie de tip Bernoulli retinem si solutia singulara , .

Figura 1. Graficul solutiei pentru .

b) Ecuatia poate fi scrisa sub forma normala

                                              ,  .                                                 (1)

Asadar, ecuatia este de tip Bernoulli cu , , , . Cu schimbarea de functie,

                                                        ,                                                            (2)

ecuatia data se transforma in ecuatia lineara neomogena

                                                  ,  .                                                     (3)

Solutia generala a ecuatiei (3) este

                                        ,  , .                                           (4)

Notand cu , putem scrie solutia (4) sub forma

            ,  ,         (5)                                                      

si datorita schimbarii de functie (2), din (5) deducem ca solutia generala a ecuatiei Bernoulli are forma (vezi Fig. 2)

       , , .         (6)

Functia , este o solutie particulara a ecuatiei (1) care se obtine din (6) pentru

                       Figura2.                                        valoarea  .

Din familia curbelor integrale (6) retinem pe aceea care trece prin punctul  daca cerem ca  si  sa verifice expresia (6). Deducem . Deci solutia problemei Cauchy (3.b) este

                                          .                                               (7)

c) Ecuatia este echivalenta cu ecuatia diferentiala scrisa sub forma normala

,

care este de tip Bernoulli cu . Procedand ca mai inainte obtinem solutia generala de forma

 si  solutia particulara    (') .

In figura alaturata sunt reprezentate solutiile ecuatiei pentru , pentru , respectiv pentru  

Observatie. Daca se cunosc doua solutii particulare ale ecuatiei Bernoulli, atunci fara nici o cuadratura, se pot determina solutiile ecuatiei Bernoulli.

Intr-adevar, folosind schimbarea de functie (4.2), deducem ca daca  si  sunt solutii particulare ale ecuatiei Bernoulli, atunci  si respectiv , sunt solutii ale ecuatiei diferentiale lineare (4.4). Datorita linearitatii acestei ecuatii rezulta ca diferenta  este solutie a ecuatiei omogene asociate. Cum solutiile ecuatiei diferentiale omogene formeaza un spatiu vectorial unidimensional, atunci solutia generala a ecuatiei lineare neomogene are forma . Revenind la schimbarea de functie deducem ca  functia

,

este solutia generala a ecuatiei Bernoulli.

Caderea libera pe verticala a corpurilor[2]

Un corp M, avand masa , situat la inaltimea  fata de suprafata Pamantului, este lasat sa cada pe verticala sub actiunea greutatii, intr-un mediu rezistent, fara viteza initiala. Stiind ca rezistenta mediului este proportionala cu patratul vitezei, sa se determine viteza corpului, in cadere, la momentul , cat si distanta parcursa dupa scurgerea a  secunde.

Caderea libera a corpurilor.

Fie  spatiul parcurs pana la momentul . Legea de miscare a lui Newton, conform careia punctul material de masa , care evolueaza sub actiunea unei forte  se desfasoara astfel incat

                         ,                                (1)



unde  este acceleratia.

Pentru a putea descrie evolutia punctului material  alegem ca sistem de coordonate (miscarea are loc pe verticala) dreapta reala  si fie originea in punctul situat la inaltimea  de la suprafata pamantului si  spatiul parcurs pana la momentul  .

i). Conform legii de miscare a lui Newton, in cazul in care se neglijeaza rezistenta aerului putem scrie ecuatia diferentiala

           ,                  (2)

cu conditiile initiale (pozitia si viteza initiala)

                                                    ,                                                        (3)

Atunci, functia , unde  sunt constante de integrare care se determina din conditiile initiale:

                                                                    (4)

Asadar, miscarea descrisa de ecuatia diferentiala (2), cu conditiile initiale (3), are loc dupa „traiectoria

                                                            .                                                           (5)

Asadar, relatia , care defineste solutia generala a ecuatiei diferentiale (2), supusa la conditiile initiale, , conduce la solutia

; .

La momentul , cand corpul atinge suprafata Pamantului avem:

din ,  deducem , de unde obtinem  sau  .

Viteza pe care o atinge corpul  la intalnirea cu solul va fi

Procedeul obtinerii legii de miscare a corpurilor

a). Se determina toate fortele care actioneaza asupra corpului (sistemului) aflat in studiu;

b). Se aleg axele sistemului de coordonate corespunzatoare spatiului in care are loc miscarea (in mecanica clasica spatiul este euclidian, izotrop si omogen: spatiul  sau in planul , sau pe dreapta reala ). Este important sa specificam ca sistemul de coordonate ales trebuie sa fie sistem de referinta inertial, determinat prin luarea in calcul a acceleratiei datorita rotatiei Pamantului in jurul axei si a miscarii Pamantului in jurul Soarelui;

b). Aplicam legea a doua a lui Newton (lege care se aplica numai in sisteme inertiale, adica in sisteme de coordonate care au proprietatile: a) la orice moment de timp, toate legile naturii sunt aceleasi in toate sistemele inertiale; b) toate sistemele de coordonate care se misca uniform si rectiliniu in raport cu un sistem inertial sunt inertiale):

                                     ,                                            (6)

unde  este impulsul (forta motrice) a sistemului. Atunci legea lui Newton se poate scrie

                                                        .                                                           (7)

In general fortele  nu depind de , ele depind in cele mai numeroase cazuri de timpul  si de viteza . Asadar, putem scrie .

Daca forta  depinde numai de , putem introduce, prin definitie, functia potential  astfel incat

                 ,          sau                                    (8)

Semnul minus din aceasta formula este ales astfel incat energia potentiala sa fie cu atat mai mare cu cat distanta  a punctul material fata de suprafata Pamantului este mai mare (vezi relatia (2), unde se ia ).

Vom observa ca relatia (8) arata cum energia potentiala (functia de potential ) determina pe .

Folosind functia de potential atunci legea de miscare a lui Newton (1) devine

.

Aceasta relatie arata ca in timpul miscarii, expresia  ramane constanta.

Intr-adevar, deoarece  atunci prin derivarea in raport cu timpul in expresia de mai sus, avem

.

Deoarece  reprezinta energia cinetica a sistemului, este natural sa definim functia  ca energia potentiala determinata de forta  si  ca  energia totala a sistemului.

Asadar, am demonstrat ca energia totala a sistemului in miscare, descris de relatia , este constanta. Acesta afirmatie constituie principiul conservarii energiei.

Fie  o solutie a ecuatiei diferentiale , unde functia  nu depinde explicit de  si . Daca  este o primitiva a functiei , atunci cantitatea , numita energia totala a sistemului, este constanta in timp, adica . Intr-adevar, avem

 .

Cantitatea se numeste energia potentiala a sistemului in miscare descris de ecuatia . In cazul caderii pe verticala avem .

In continuare luam in discutie caderea libera a corpului, cand miscarea se desfasoara intr-un mediu rezistent[3].

ii). Vom presupune ca punctul material  intampina o rezistenta a aerului (rezistenta mediului) la inaintare de forma , avand marimea , unde  reprezinta viteza corpului.

Ecuatia diferentiala care descrie miscarea corpului are forma

                                                                                                                    (6)

cu conditiile initiale:

·       deplasare initiala ;

·       viteza initiala  (adica evolutia miscarii are loc fara viteza initiala);

Ecuatia (6) se scrie sub forma echivalenta

                                                                                              (7)

care poate fi privita ca o ecuatie cu variabile separabile.

In ipoteza ca , putem separa variabilele si avem

                                          ,   .                                              (8)

Luand cate o primitiva in ambii membri ai ecuatiei (8), rezulta



                   ,

sau, inca,

                                                     .                                                 (9)

Cu notatia , putem scrie   sau

                                                    ,                                                      (10)

unde semnul  este acelasi cu semnul expresiei . Asadar, viteza de deplasare  a punctului material este solutia generala a ecuatiei (7) si are forma

                                                                                                         (11)

In cazul cand analizam unele situatii concrete marimile  si  sunt cunoscute. Atunci constanta , din solutia generala (11), se determina cunoscand viteza initiala. Din conditia initiala (7)2 , obtinem , de unde  si avem

                                                     .                                                 (12)

In cazul general cand conditia initiala (7)2 are forma , atunci solutia generala (11) devine

                                      .                                      (13)

Studiul se face utilizand, de obicei, sistemul de unitati de masura , metru-kilogram-secunda.

Asimptota orizontala pentru viteza  se numeste viteza finala a punctului material si viteza , este un echilibru stabil pentru ecuatia autonoma (pag. 25 Edif.).

Din                                                           

,  ,

deducem solutia

                                          .

Luand  si  avem

                            .

Folosind prima conditie initiala (7), deducem pentru constanta , valoarea

                                   .

Atunci solutia problemei initiale (6), (7), cu                                   , are forma

                                     .

Pentru ,  pozitia  tinde catre asimptota (solutie particulara)

                                    cand  .

Cazuri particulare:

1).

2). Cazul parasutistului: ; . (pg. 119 E.d.)

Reprezentati graficele solutiilor pentru  si cateva valori initiale ale vitezei.

ii). Vom presupune cazul cand rezistenta  a aerului are marimea .

Atunci, ecuatia de miscare are forma

                                                         .                                                       (14)

Impunem conditiile initiale:  (deplasarea initiala);  (fara viteza initiala).

Pentru a reduce ordinul ecuatiei (14) cu o unitate vom introduce functia . Avem

                                                                                                             (15)

Introducand notatia , atunci ecuatia devine

                                                                                                     (16)

Daca , putem separa variabilele si avem

                                                       .

 Luand cate o primitiva in ambii membrii ai acestei egalitati, obtinem , . Folosind conditia initiala , deducem . Asadar, solutia are expresia

                                    ,

sau                                                                

                                 .

Cum , putem scrie

                                                  ,

de unde obtinem

                                             .

Deoarece  si , (')  si , atunci traiectoria miscarii are forma

                                            .

                                                                 



[1] Familia matematicienilor Bernoulli, originara din Anvers, s-a refugiat la Bale la sfarsitul sec. al XVI-lea. Se cunosc peste 120 de descendenti ai acestei familii care au fost oameni de stiinta.  Johan Bernoulli (1667-1748), matematician elvetian, profesor la Universitatea din Bassel (unde a avut elevi pe L. Euler, A. Clairaut), membru al Academiei de Stiinte din Paris si al Academiei de Stiinte din Petersburg. Ecuatia lui Bernoulli, ecuatie propusa spre rezolvare de fratele acestuia, James Bernoulli in 1695, este rezolvata de Johan prin metoda Bernoulli (). In 1696 Gottfried Leibniz a aratat ca ecuatia de tip Bernoulli poate fi redusa la o ecuatie lineara daca se face schimbarea .

[2] Caderea pe verticala a corpurilor, de la o inaltime nu prea mare, a fost descrisa experimental de Galileo Galilei (1564-1642) si este formulata matematic prin ecuatia diferentiala  (ecuatia arata ca acceleratia corpurilor ramane constanta).

[3] Nu exista o lege generala care modeleaza actiunea rezistentei aerului asupra corpului deoarece aceste forte depind de viteza corpului, de densitatea aerului, forma corpului etc. De exemplu, forta de rezistenta a aerului se alege proportionala cu viteza corpului: , unde  este versor avand sensul acceleratiei gravitationale , constanta b este pozitiva si depinde de forma corpului si de densitatea aerului, semnul minus arata ca rezistenta se opune miscarii.








Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE Clasa: I Matematica - Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 30, fara trecere peste ordin
 Proiect didactic Grupa: mijlocie - Consolidarea mersului in echilibru pe o linie trasata pe sol (30 cm)
 Redresor electronic automat pentru incarcarea bateriilor auto - proiect atestat
 Proiectarea instalatiilor de alimentare ale motoarelor cu aprindere prin scanteie cu carburator

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 Proiect diploma Finante Banci - REALIZAREA INSPECTIEI FISCALE LA O SOCIETATE COMERCIALA
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 CONTABILITATEA FINANCIARA TESTE GRILA LICENTA
 LUCRARE DE LICENTA - FACULTATEA DE EDUCATIE FIZICA SI SPORT
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 Proiect atestat informatica- Tehnician operator tehnica de calcul - Unitati de Stocare
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia




Ortogonalitate
Transformari sinusoidale – transformata Fourier - Probleme rezolvate
INDICATORI DE POZITIE
Coeficientul de corelatie pentru 2 variabile aleatoare
Tipuri simple de ecuatii diferentiale integrabile prin cuadraturi
Puncte de vedere in geometrie
Transformata z
Valoarea medie a produsului


Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu