GRUPURI

I.  GRUPUL, EXEMPLE REMARCABILE

Def.: Se numeste GRUP un cuplu unde G este o multime nevida, iar ' * ' este o operatie algebrica pe multimea G ce satisface urmatoarele trei axiome:

1) Operatia ' * ' este asociativa.

2) Operatia ' * ' are element neutru.

3) Orice element din G este simetrizabil fata de operatia ' * '

Daca, in plus, satisface si urmatoarea axioma:

4) Operatia ' * ' este comutativa s.n. GRUP COMUTATIV (ABELIAN).

Exemple: sunt grupuri comutative.

Def.: Fie un grup. Daca multimea G este finita spunem ca grupul G este finit, iar numarul elementelor (cardinalul) multimii G se numeste ORDINUL GRUPULUI. Daca G este infinita, spunem ca G este un GRUP INFINIT, sau avand ORDINUL

Exemple: sunt grupuri finite.

PROPOZITIE: Fie un monoid. Multimea a elementelor inversabile din monoidul M este un grup relativ la operatia monoidului, numit GRUPUL ELEMENTELOR INVERSABILE sau GRUPUL UNITATILOR din monoidul M.

Exemple

1. Pentru monoizii: grupurile elementelor inversabile sunt respectiv .

Pentru monoidul grupul elementelor inversabile este:

acest grup fiind necomutativ pentru

PROPOZITIE: Multimea: (multimea radacinilor de ordinul n ale unitatii) este un grup abelian fata de inmultire, numit GRUPUL RADACINILOR DE ORDINUL N ALE UNITATII.

Fie un numar intreg fixat. Pentru fiecare , submultimea lui Z definita prin: s.n. CLASA DE RESTURI MODULO-N a numarului intreg x.

Multimea claselor de resturi modulo-n o notam cu:

PROPOZITIE daca n 1 este un numar intreg, atunci:

a) este un grup abelian, numit grupul aditiv al claselor de resturi modulo-n.

b) este un monoid comutativ, in care grupul elementelor inversabile este , numit grupul multiplicativ al claselor de resturi modulo-n relativ prime cu n.

PROPOZITIE

daca este un numar intreg, multimea (multimea rotatiilor poligonului regulat cu n varfuri) este un grup abelian relativ la compunere, numit GRUPUL ROTATIILOR POLIGONULUI REGULAT CU N VARFURI.

Fie urmatoarele patru transformari geometrice plane:

e = transformarea identica a planului;

a = simetria fata de dreapta Ox;

b = simetria fata de dreapta Oy;

c = simetria fata de punctul O (originea planului).

PROPOZITIE Multimea alcatuita din transformarile geometrice definite anterior este un grup abelian relativ la compunere, numit GRUPUL LUI KLEIN.

II.  DEFINITII ECHIVALENTE ALE NOTIUNII DE GRUP

PROPOZITIE

Fie G o multime nevida inzestrata cu o operatie notata multiplicativ. Atunci este un grup daca si numai daca sunt indeplinite axiomele:

1) Operatia este asociativa.

2) Pentru fiecare ecuatiile si au solutie in G.

PROPOZITIE

Fie G o multime nevida inzestrata cu o operatie notata multiplicativ. Atunci este grup daca si numai daca sunt verificate axiomele:

1) Operatia este asociativa.

2)

3) Pt. putandu-se formula un enunt analog pe dreapta

III.  CALCULUL INTR-UN GRUP

PROPOZITIE

Fie un grup si arbitrare.Exista echivalentele:

1) (simplificare la stanga)

2) (simplificare la dreapta).

PROPOZITIE

Daca intr-un grup avem atunci grupul este abelian.

PROPOZITIE

Fie un grup si fixat. Atunci, pt.   exista egalitatile:

1)

2)

IV.  SUBGRUPURI

Def.: Fie un grup. O submultime nevida H a lui G, cu proprietatea ca este parte stabila fata de operatia ' * ', iar H cu operatia indusa este un grup, se numeste SUBGRUP al grupului G.

Exemple

1) este subgrup al grupului

2) este subgrup al grupului

3) este subgrup al grupului

4) este subgrup al grupului

Lema: Fie un grup si H un subgrup al sau. Atunci:

1) elementul neutru al subgrupului H coincide cu elementul neutru al grupului G.

2) pentru orice element din H, inversul sau in subgrupul H coincide cu inversul sau in grupul G.

Teorema: Fieun grup si H o submultime nevida a lui G. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1) H este subgrup al grupului G

2) .

3) si

Exemplu submultimea este un subgrup al grupului

PROPOZITIE: Fieun grup si H o submultime finita a lui G. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1) H este subgrup al grupului G.

2) H este parte stabila fata de operatia din G

Exemplu: Subgrupurile finite ale grupului sunt grupurile de radacini ale unitatii si numai acestea.

PROPOZITIE: Fie un grup si H un subgrup al lui G, . Daca atunci

Exemplu: Grupul si subgrupul Daca si (suma dintre un numar rational si unul irational este unul irational).

V.  SUBGRUPUL CICLIC GENERAT DE UN ELEMENT, ORDINUL UNUI ELEMENT, GRUPURI CICLICE

Def.: Fieun grup si un element fixat. Submultimea lui G formata din toate puterile intregi ale elementului x, adica este evident un subgrup al grupului G, numit subgrupul ciclic generat de elementul x.

Daca este un grup notat aditiv, atunci

Obs.: Fie un grup si . Subgrupul ciclic generat de x este cel mai mic subgrup al lui G care contine pe x.

Exemple:

1. In grupul avem:

2. In grupul avem:

3. In grupul avem: 4. In orice grup avem:

Def.: Fieun grup si fixat.

1. Daca cel mai mic numar cu aceasta proprietate se numeste ordinul elementului x in grupul g.

2. In caz contrar, adica spunem ca elementul x are ordinul in grupul G.

Exemple: 1. In grupul elementul -1 are ordinul 2

2. In grupul elementul 1 are ordinul 4

3. In grupul elementul 1 are ordinul

4. In orice grup elementul neutru si numai acesta are ordinul 1

Obs.: In orice grup ordinul unui element este egal cu ordinul inversului acestui element.

PROPOZITIE: Fie un grup si element de ordin n, atunci subgrupul ciclic generat de x are ordinul n si este dat de egalitatea:

Exemplu: In grupulelementul i are ordinul 4 si atunci

PROPOZITIE: Fie un grup si xIG un element de ordin n. Pentru k urmatoarele afirmatii sunt echivalente: 

1.

2. <source is missing>

Def.: Un grup se numeste CICLIC daca sau, mai sugestiv, daca G este generat de un element al sau.

Exemple

1. Pentru fiecare , grupul al claselor de resturi modulo-n este ciclic, deoarece:

2. Grupul este ciclic, intrucat:

Obs.: Orice grup ciclic este abelian, intrucat oricare doua puteri intregi ale unui element comuta intre ele.

Teorema lui Lagrange: Ordinul oricarui subgrup al unui grup finit este un divizor al ordinului grupului.

Consecinte:

1) Intr-un grup finit, ordinul oricarui element este finit si este un divizor al ordinului grupului

2) In orice grup de ordin n, avem: , .

3) Orice grup de un anumit ordin k, un numar prim este ciclic.

PROPOZITIE: Intr-un grup abelian finit produsul tuturor elementelor grupului este egal cu produsul elementelor de ordin cel mult egal cu 2.

Consecinte:

a) Intr-un grup finit numarul elementelor de ordin diferit de 2 este impar

b) Orice grup de ordin par contine cel putin un element de ordin 2

V.  TREI APLICATII IN TEORIA NUMERELOR

Teorema lui Euler: Fie si . Atunci: , unde j desemneaza indicatorul lui Euler.

Teorema lui Fermat: Fieun numar prim si a nedivizibil cu p

Remarcam faptul ca teorema lui Fermat este un caz particular al teoremei lui Euler.

Teorema lui Wilson: Fie Atunci p este prim

VI.  SUBGRUPURILE GRUPURILOR SI

PROPOZITIE Subgrupurile grupului ciclic sunt grupurile ciclice unde d parcurge toti divizorii naturali ai lui n.

PROPOZITIE: Subgrupurile grupului sunt subgrupurile generate de numerele naturale, adica cele de forma

VII. SUBGRUPURI NORMALE, GRUP-FACTOR

Teorema: Fie un grup si H un subgrup al sau. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1)

2)

Def.: Fie un grup. Un subgrup H al grupului G care satisface una (deci amandoua) din afirmatiile echivalente ale teoremei precedente se numeste subgrup normal (divizor normal) al grupului G.

Exemplu: Daca grupul este abelian, orice subgrup al sau H este subgrup normal.

PROPOZITIE: Fie un grup si H un subgrup normal al lui G. Atunci daca avem:

1)

2)

3)

Lema: Daca este un grup si H un subgrup normal, operatia de inmultire a claselor, definita pe multimea prin egalitatea urmatoare este bine definita:

Teorema: Fie un grup, iar H un subgrup normal al lui G. Multimea G/H a claselor   modulo-H este un grup relativ la operatia de inmultire a claselor, numit grupul-factor (grupul-cat) al lui G prin subgrupul normal H.

Exemplu: Grupul-factor este grupul aditiv al claselor de resturi modulo-n, adica in care adunarea claselor se defineste prin:

Obs.: Daca G este un grup finit, iar H un subgrup normal al sau, ordinul grupului-factor G/H este egal cu catul dintre ordinul grupului lui G si ordinul lui H, se noteaza [G:H] si se numeste INDICELE H IN GRUPUL G.

VIII. MORFISME SI IZOMORFISME DE GRUPURI

Def.:

1) Fie si doua grupuri. O functie cu proprietatea se numeste MORFISM DE GRUPURI.

2) Un morfism de grupuri de la un grup la el insusi se numeste ENDOMORFISM al acelui grup.

Exemple

1. Functia este un morfism de grupuri

2. Functia cu fixat, este un endomorfism al grupului Z

PROPOZITIE: Fie un morfism de grupuri. Notand cu elementele neutre din grupurile G, respectiv , avem:

1)

2)

3)

Din aceasta propozitie, punctul 1, rezulta ca un morfism de grupuri este, in particular, un morfism unitar de monoizi.

Def.: Daca este un morfism de grupuri, submultimea lui G definita prin: se numeste nucleul morfismului

Teorema: Fie un morfism de grupuri. Atunci:

1. este un subgrup normal al grupului G

2. Morfismul este injectiv daca si numai daca

3.Pentru orice subgrup H al lui G, multimea (H) este un sugrup al lui ; in particular, este un subgrup al grupului

Def.:

1) Fie si doua grupuri. O functie care este morfism de grupuri inversabil (adica functie inversabila, iar functia inversa de asemenea morfism de grupuri) se numeste izomorfism de grupuri. Atunci si functia inversa este tot un izomorfism de grupuri numit izomorfismul invers.

2) Un izomorfism de la un grup la el insusi se numeste AUTOMORFISM al acelui grup.

3) Daca intre doua grupuri exista cel putin un izomorfism spunem ca grupurile sunt izomorfe si scriem

Exemple

1) Functia este izomorfism de grupuri

2) Oricare doua grupuri ciclice finite avand acelasi ordin sunt izomorfe

3) Orice grup ciclic infinit este izomorf cu grupul

Obs.: Doua grupuri finite de acelasi ordin sunt izomorfe daca si numai daca tablele operatiilor lor sunt la fel organizate.

Obs.: Doua grupuri izomorfe au aceleasi proprietati deci sunt practic 'identice' din punct de vedere al comportarii lor algebrice.

Teorema: Un morfism de grupuri este izomorfism daca si numai daca este bijectiv.

PROPOZITIE: Daca este un morfism injectiv de grupuri, atunci grupul G este izomorf cu subgrupul al lui

Teorema fundamentala de izomorfism

Daca este un morfism de grupuri, atunci exista izomorfismul de grupuri