METODE DE CARACTERIZARE MATEMATICA FUNCTIONALA SI STRUCTURALA A SISTEMELOR LINIARE

NOTIUNI INTRODUCTIVE

Analiza sistemelor presupune cunoasterea modelului matematic al sistemului, intrucat se pune problema determinarii prin calcul a indicatorilor de performanta ai acestuia. De asemenea, in problemele de proiectare se opereaza cu modele matematice ale elementelor ce compun sistemul.

Asa cum am aratat in cursurile anterioare, exprimarea matematica a legaturii dintre marimile de iesire si de intrare ale unui sistem sau element al acestuia se poate face prin metode foarte variate. O succinta clasificare a acestora, a pus in evidenta clasa modelelor structural - functionale (sau de tip intrare - stare - iesire) si clasa modelelor functionale (sau de tip intrare - iesire).

Modelele functionale, la randul lor, se pot exprima astfel:

in domeniul " t " (timp), cand se exprima legatura intrare - iesire printr-o ecuatie diferentiala sau printr-o ecuatie de tip convolutie;

in domeniul " s ", cand se utilizeaza forme operationale ale modelului matematic, prin intermediul transformatei Laplace (s este variabila complexa ce constituie argumentul transformatei Laplace);

in domeniul " ω ", cand modelul matematic se prezinta sub forma unor caracteristici de frecventa (ω este pulsatia, legata de frecventa f prin relatia cunoscuta, ).

In oricare din reprezentarile mentionate, modelul matematic poate fi:

sub forma parametrica (model parametric), atunci cand el este caracterizat printr-un numar finit de parametrii, care intervin intr-o relatie cu structura data;

sub forma neparametrica (model neparametric), atunci cand este caracterizat printr-o functie data sub forma unei reprezentari grafice.

Aceasta varietate de modele matematice este determinata de diversitatea mijloacelor de exprimare matematica a legaturii cantitative intrare - iesire, fiind justificata in practica de necesitatea de a dispune de diferite mijloace de obtinere a modelelor, pornind de la procesul fizic, cat si metode variate pentru analiza si proiectarea sistemelor, care au ca punct de plecare o reprezentare matematica sau alta a sistemului.

CARACTERIZAREA STRUCTURAL - FUNCTIONALA A SISTEMELOR

Pentru un sistem liniar, modelul matematic in caracterizarea structural - functionala a acestuia, se prezinta sub forma ecuatiilor de stare si de iesire

; (ecuatia de stare) (1)

; (ecuatia de iesire) (2)

unde A este o matrice n x n (dimensiunea vectorului ); B este o matrice n x m (dimensiunea vectorului ); C este o matrice r x n (dimensiunea vectorului ), iar D - atunci cand exista - are dimensiunea r x m.

Prezenta termenului Du in ecuatia de iesire conduce la situatia ca o variatie a intrarii se transmite instantaneu asupra iesirii ( efectul apare in acelasi timp cu cauza), ceea ce nu corespunde conditiei de cauzalitate, care afirma ca intotdeauna cauza apare inaintea efectului. De aceea, deseori ecuatia de iesire se scrie fara termenul Du.

Pentru ecuatia de stare se presupune cunoscuta conditia initiala, la , .

Dupa cum s-a aratat, trecerea de la sistemul fizic la modelul acestuia, utilizand procedura de modelare analitica, permite obtinerea unei caracteristici structural - functionale, fiecare variabila de stare definind o proprietate structurala: prezenta unei acumulari variabile de substanta si/sau energie, intr-o capacitate concentrata. Putem opera deci cu modele mai simple sau mai complexe, admitand in structura acestora un numar corespunzator de acumulari variabile ( egal cu n = dimensiunea lui ).

Modelele matematice de forma (1) si (2) sunt fundamentale in tratarea problemelor de analiza si sinteza a sistemelor prin metodele oferite de "teoria sistemelor". Teoria sistemelor este o stiinta de sinteza, care are ca obiect de studiu sisteme abstracte, prezentate intr-o maniera formalizata, de exemplu sub forma ecuatiilor de stare (1) si de iesire (2), facandu-se abstractie de suportul fizic al modelului respectiv. Dezvoltarile analitice, foarte evoluate din teoria sistemelor permit rezolvarea unor probleme cum sunt: dinamica, regimul permanent (stationar), analiza calitativa (stabilitatea, controlabilitatea, observabilitatea etc, proiectarea sistemelor pentru obtinerea unor performante date, conducerea optimala a sistemului (procesului), etc. Aceste rezolvari, concretizate in biblioteci de programe pentru proiectare asistata de calculator, devin utile tuturor domeniilor din care au provenit prin modelare matematica, acele sisteme.

CARACTERIZAREA FUNCTIONALA A SISTEMELOR (Proceselor)

MODELE MATEMATICE IN DOMENIUL " t "

In caracterizarea functionala a unui sistem (proces), modelul matematic este de tipul intrare - iesire. Exprimarea lui in domeniul "t" se face prin intermediul unei ecuatii diferentiale de ordinul n, care leaga marimea de iesire de marimile exogene, adica de referinta si marimea perturbatoare . Notam ca ordinul n al ecuatiei diferentiale este egal cu dimensiunea vectorului de stare , din modelul structural - functional (de tip intrare - stare - iesire) al aceluiasi sistem.

Pentru un sistem liniar, in structura clasica, modelul matematic de tip intrare - iesire are forma:

(3)

La sistemele cauzale, ordinul maxim al derivatelor variabilelor exogene, din partea dreapta a ecuatiei (3), este de cel mult n-1. Daca se accepta si posibilitatea transferarii instantanee la iesire a efectului unei variatii a variabilelor exogene, ceea ce corespunde prezentei in ecuatia (2) a termenului Du, atunci ordinul maxim al derivatelor din partea dreapta a ecuatiei (3) poate fi egal cu n.

Intrucat sistemul considerat este liniar, se poate aplica principiul suprapunerii efectelor. In conformitate cu acest principiu, raspunsul , in cazul excitarii sistemului prin variatii simultane ale marimilor si , este:

(4)

unde si sunt raspunsurile in cazul cand sistemul ar fi excitat numai de variatia marimii , respectiv numai de variatia marimii .

Rezulta ca problemele de analiza a sistemelor liniare pot fi rezolvate prin considerarea succesiva a cate unei singure marimi de intrare (exogene).

Utilizand notatia generica pentru aceasta marime de intrare, modelul matematic al sistemului se scrie:

(5)

La sistemele de stabilizare, unde intereseaza numai raspunsul la variatii ale marimii perturbatoare, variabila si coeficientii (k=n-1,.,0) corespund perturbatiei si coeficientilor din ecuatia (3). La sistemele de urmarire intereseaza raspunsul la variatii ale marimii de intrare, deci variabila se identifica cu , iar =, k = n-1,.,0.

Pentru utilizarea modelului (3) intr-0 problema de analiza a sistemelor, este necesar sa se precizeze si conditiile initiale, la , adica:

; ; (6)