Creeaza.com - informatii profesionale despre
Cunostinta va deschide lumea intelepciunii - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Produse directe de algebre. Algebre indecompozabile.

Produse directe de algebre. Algebre indecompozabile.





Produse directe de algebre. Algebre indecompozabile.

Fie ( Aj )jII o familie (nevida) de algebre de acelasi tip t.

Pentru fiecare 1 i 0 (t) pe multimea Aj definim operatia algebrica ni ara prin: ((a1, , an)) (j) = fi (a1(j), , an(j)) (j I I), pentru (a1, a2, , an) I (Aj).

Definitia 1. Algebra de univers Aj este de acelasi tip t si se noteaza prin Aj si poarta numele de produsul direct al familiei (Aj)jII de algebre.

Aplicatiile pK : Aj AK (k I I) definite prin pk((ai)iII) = ak poarta numele de proiectii (acestea sunt de fapt morfisme surjective).

Teorema 2. Dubletul (Aj, (pj)jII) verifica urmatoarea proprietate de universalitate:

Pentru orice algebra A (de acelasi tip t) si orice familie (pj)jII de morfisme cu pj I Hom (A, Aj) (j I I), exista un unic u I Hom (A,Aj) astfel incat pju = pj pentru jII.

Demonstratie: Morfismul cautat u : A Aj se defineste pentru a I A prin u(a) = (p(a))jII.

Restul de detalii sunt asemanatoare ca in cazul produsului direct de multimi.g

Propozitia Daca A1, A2, A3 sunt algebre de acelasi tip, atunci:

i)  A1 P A2 A2 P A1.

ii) A1 P ( A2 P A3 ) A1 P A2 P A

Demonstratie: Se probeaza imediat ca izomorfismele cautate sunt a ((a1, a2)) = (a2, a1) (pentru i) ) si a (( a1, ( a2, a3 ))) = (a1, a2, a3) (pentru ii)).g

Lema 4. Daca A1, A2 sunt doua algebre de acelasi tip, atunci Ker(p1) Ker(p2) = DA, Ker (p1) si Ker (p2) comuta iar Ker (p1) Ker (p2) = =A (A = A1 P A2).

Demonstratie: Avem ((a1, a2), (b1, b2) I Ker (p1) Ker (p2) p1((a1, a2)) = =p1((b1, b2) si p2 ((a1, a2)) = p2 ((b1, b2)) a1 = b1 si a2 = b2 Ker (p1) Ker (p2) = =DA.

Deoarece pentru (a1, a2), (b1, b2) I A1 P A2, ((a1, a2), (a1, b2)) I Ker (p1) si ((a1, b2), (b1, b2)) I Ker (p2) deducem ca ((a1, a2), (b1, b2)) I Ker (p2) Ker (p1), adica Ker (p2) Ker (p1) = A, de unde concluzia ca Ker (p1) si Ker (p2) comuta iar Ker (p1) Ker (p2) = A.g

Definitia 5. qICon (A) se zice congruenta factor daca exista q* I Con (A) astfel incat q q* = DA si q q* = A. In acest caz perechea (q, q*) se zice pereche de congruente factor pe A.

Corolar 6. Daca A1, A2 sunt algebre de acelasi tip, atunci (Ker (p1), Ker (p2)) este o pereche de congruente factor. g

Teorema 7. Daca (q, q*) este o pereche de congruente factor pe algebra A, atunci: A (A / q) P (A / q*).

Demonstratie: Vom arata ca f : A (A / q) P (A / q*), f (a) = (a / q, a / q*) (a IA) este izomorfism.

Daca a, b I A si f (a) = f (b), atunci a / q = b / q si a / q* = b / q*, deci (a, b) Iq q* = DA, de unde a = b, adica f este injectie.

De asemenea, pentru a, b I A, cum q q* = A (adica q q* = q* q =A), deducem ca exista c I A astfel incat (a, c) I q si (c, b) I q*, astfel ca f (c)=(c/q, c/q*) = (a / q, a / q*), de unde concluzia ca f este si surjectie, adica bijectie.

Cum f este morfism, deducem ca f este izomorfism.g

Definitia 8. O algebra A se zice indecompozabila (direct) daca ea nu este izomorfa cu un produs direct de doua algebre netriviale.

Corolar 9. O algebra A este indecompozabila daca si numai daca singura pereche de congruente factor este (DA, A).

Teorema 10. Orice algebra finita este izomorfa cu un produs direct de algebre indecompozabile.

Demonstratie: Fie A o algebra finita. Daca A este triviala (adica |A| = 1), atunci A este indecompozabila.

Pentru |A| > 1 facem inductie dupa |A|.

Daca A este indecompozabila, totul este clar, daca nu A = A1 P A2 cu |A1|,|A2|>1. Cum |A1|, |A2| > |A|, conform ipotezei de inductie A1 B1 P Bm, A2 C1 P P Cm cu Bi, Cj indecompozabile, astfel ca A B1 P P Bm P C1 P P Cn si totul rezulta tinand cont de principiul inductiei matematice.g

Observatie: Tinand cont de proprietatea de universalitate a produsului direct de algebre, deducem ca (Ai)iII, (Bi)iII sunt doua familii de algebre de acelasi tip iar (fi)iII este o familie de morfisme cu fiIHom (Ai, Bi) (iII), atunci exista un unic morfism u: Ai Bi astfel incat pentru orice i I I, fipi = qiu (unde (pi)iI I si (qi)iII sunt morfismele proiectie). Vom nota u = fi si-l vom numi produsul direct al familiei (fi)iII de morfisme.

Expresia lui u este data de u ((ai) i I I) = (fi(ai))iII pentru orice (ai)iII IAi.

De asemenea, daca A este o algebra de acelasi tip cu cele din familia (Ai)iII si fiI Hom (A, Ai) pentru orice iII, atunci exista un unic v I Hom (A, Ai) astfel incat piv = fi pentru orice i I I.

Morfismul v este definit prin v (a) = (fi(a))iII (aIA).

Definitia 11. Fie A, B si ( Ai ) i I I multimi iar f : A B si fi : Ai Bi (iII) aplicatii.

Vom spune ca:

i) f separa doua elemente a1, a2 I A daca f (a1) f (a2).

ii) (fi)iII separa elementele lui A daca pentru orice a1, a2 I A exista i I I astfel incat fi separa pe a1 si a2.

Teorema 12. Fie A, (Ai)iII algebre de acelasi tip iar (fi)iII o familie de morfisme cu fi I Hom (A, Ai) (iII). Considerand morfismul v : A Ai, atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente :

i)  v este morfism injectiv.

ii)Ker ( fi ) = DA.

iii)        Aplicatiile (fi)iII separa elementele lui A.

Demonstratie: Reamintim ca pentru a I A, v (a) = (fi(a))iII astfel ca pentru a, b I A, f(a) = f(b) fi(a) = fi(b) pentru orice i I I (a, b) IKer (fi), de unde echivalenta i) ii).

Echivalenta i) iii) este imediata.g




loading...


.com Copyright © 2017 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE Clasa: I Matematica - Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 30, fara trecere peste ordin
 Proiect didactic Grupa: mijlocie - Consolidarea mersului in echilibru pe o linie trasata pe sol (30 cm)
 Redresor electronic automat pentru incarcarea bateriilor auto - proiect atestat
 Proiectarea instalatiilor de alimentare ale motoarelor cu aprindere prin scanteie cu carburator

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 Proiect diploma Finante Banci - REALIZAREA INSPECTIEI FISCALE LA O SOCIETATE COMERCIALA
 Lucrare de diploma managementul firmei diagnosticul si evaluarea firmei

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 CONTABILITATEA FINANCIARA TESTE GRILA LICENTA
 LUCRARE DE LICENTA - FACULTATEA DE EDUCATIE FIZICA SI SPORT
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 Proiect atestat informatica- Tehnician operator tehnica de calcul - Unitati de Stocare
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia




Prelucrarea datelor experimentale
Proprietatile functiilor derivabile
Modelul Kaldor - Cadrul teoretic
ARII SI VOLUME
Studiul transformatelor aplicate secventelor numerice - desfasurarea lucrarii
Conversia la o locatie de alte dimensiuni
Valoarea medie a produsului
PERPENDICULARITATE IN PLAN - Test 1




loading...

Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu