Creeaza.com - informatii profesionale despre


Cunostinta va deschide lumea intelepciunii - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Produsul direct (suma directa) a unei familii de multimi

Produsul direct (suma directa) a unei familii de multimi





Produsul direct (suma directa) a unei familii de multimi

Definitia 1.1. Fie (Mi)iII o familie nevida de multimi. Numim produsul direct  al acestei familii un dublet (P,(pi)iII) unde P este o multime nevida iar (pi)iII este o familie de functii pi :P®Mi pentru orice iII astfel incat este verificata urmatoarea proprietate de universalitate:

Pentru oricare alt dublet (P¢,(p¢i)iII) format din multimea P¢ si familia de functii p¢: P¢®Mi (iII ), exista o unica functie u : P¢®P astfel incat piu = p¢i pentru orice iII.

Teorema 1.2. Pentru  orice familie nevida de multimi (Mi)iII exista produsul sau direct care este unic pana la bijectie.

Demonstratie: Unicitatea produsului direct. Daca (P,(pi)iII) si (P′,(p′i)iII) sunt doua produse directe ale familiei (Mi)iII, conform proprietatii de universalitate exista u : P¢®P si v : P®P¢ astfel incat pi u = p¢i si piv = pi pentru orice iII .

Deducem imediat ca pi (uv) = pi iar p¢i(vu) = p¢i pentru orice iII. Cum si  pi1p=pi, p¢i1p= p¢i pentru orice iII, datorita unicitatii din proprietatea de universalitate deducem ca uv = 1p si vu = 1p¢, adica u este bijectie.

Existenta produsului direct. Fie P = iar pi : P®Mi, pi(f) = f(i) pentru iII si fIP.

Se probeaza imediat ca dubletul (P,(pi)iII) verifica proprietatea de universalitate a produsului direct de multimi (Mi)iII. g

Observatie: Dubletul (P, (pi)iII) ce reprezinta produsul direct al familiei (Mi)iII de multimi se va nota prin Mi sau Mi.

In cazul in care I este finita, produsul direct se va numi si produs cartezian.

Pentru jII, pj : Mi®Mj poarta numele de a j – a proiectie. De multe ori prin produs direct vom intelege doar multimea subiacenta P (neglijand deci mentionarea proiectiilor).

Deoarece orice functie f : I®Mi este determinata de f(i) pentru orice iII, notand f(i)=xiII, vom scrie formal:

Mi = .

Astfel, pj :Mi®Mj este definita  prin pj ((xi)iII) = xj, jII. Fie acum (Mi)iII si (M¢i)iII doua familii nevide de multimi iar (fi)iII o familie de aplicatii fi:Mi®Mi (iII).

Aplicatia f :Mi®M¢i  f((xi)iII) = (fi(xi))iII pentru orice (xi)iII IMi poarta numele de produsul direct al familiei (fi)iII de aplicatii; vom nota f = fi sau f=fi.

Aplicatia f este unica cu proprietatea ca p¢if = fi pi  pentru orice iII.

Se verifica imediat ca 1= si ca daca mai avem o familie de multimi (M¢¢i)iII si o familie (f)iII de aplicatii cu f:M¢i®M¢¢i (iII), atunci                           ( f ◦ fi) = (f)◦(fi).

In cadrul teoriei multimilor, notiunea duala celei de produs direct al unei familii de multimi este aceea de suma directa.

Definitia 1.3. Numim suma directa a familiei (nevide) (Mi)iII de multimi, un dublet (S,(ai)iII) format dintr-o multime nevida S si o familie de aplicatii ai:Mi®S(iII) ce verifica urmatoarea proprietate de universalitate:

Pentru oricare alta multime S′ si familie (ai)iII de aplicatii cu ai :Mi®S′(iII), exista o unica aplicatie u:S®S′ a. i. uai=ai pentru orice iII.

Teorema 1.4. Pentru orice familie (Mi)iII de multimi exista si este unica pana la o bijectie suma sa directa.

Demonstratie: Unicitatea sumei directe se probeaza analog ca in cazul produsului direct.

Pentru a proba existenta, pentru fiecare iII, consideram =x si S=(observam ca pentru i¹j, = Æ). Definind pentru orice iII, a: Mi®S prin a (x) = (x, i) (xIMi) se verifica imediat ca dubletul (S, (a)iII) este suma directa a familiei (Mi)iII. g

Observatie: Suma directa a familiei  (Mi)iII o vom nota prin  (ea mai poarta numele si de reuniune disjuncta a familiei (Mi )iII).

Aplicatiile (α)se vor numi injectiile canonice (ca si in cazul produsului direct - de multe ori prin suma directa vom intelege doar multimea subiacenta, injectiile canonice subintelegandu-se).

Analog ca si in cazul produsului direct, daca avem o familie de aplicatii (fi)iII cu fi : Mi ®M′i (iII), atunci aplicatia f :®definita prin f((x,i))=(fi(x),i) pentru orice  iII si xIMi este unica aplicatie cu propietatea ca aifi = fai pentru orice iII; vom nota f =fi si vom numi pe f suma directa a aplicatiilor (fi)iII.

Se probeaza imediat ca iar daca mai avem o familie (f)iII cu f :M′i®M′′i (iII), atunci:

        (fi)=( fi ) ◦ (fi )




loading...





.com Copyright © 2017 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE Clasa: I Matematica - Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 30, fara trecere peste ordin
 Proiect didactic Grupa: mijlocie - Consolidarea mersului in echilibru pe o linie trasata pe sol (30 cm)
 Redresor electronic automat pentru incarcarea bateriilor auto - proiect atestat
 Proiectarea instalatiilor de alimentare ale motoarelor cu aprindere prin scanteie cu carburator

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 Proiect diploma Finante Banci - REALIZAREA INSPECTIEI FISCALE LA O SOCIETATE COMERCIALA
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 CONTABILITATEA FINANCIARA TESTE GRILA LICENTA
 LUCRARE DE LICENTA - FACULTATEA DE EDUCATIE FIZICA SI SPORT
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 Proiect atestat informatica- Tehnician operator tehnica de calcul - Unitati de Stocare
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia




Limite de functii reale de o variabila reala
Determinantul
Cercetari Operationale si Teoria Deciziei - Probleme de programare liniara
Erorile functiilor trigonometrice
Fisa de lucru – progresii geometrice
Campuri scalare, campuri vectoriale, derivata dupa directie, gradient, rotor, divergenta
Aplicatii ale portilor logice
Modele parametrice si modele neparametrice



loading...

Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu