Transformari ortogonale

Transformari ortogonale

Fie E, E doua K - spatii euclidiene.

DEFINITIA 1. O transformare liniara F I L (E, E ) se numeste ortogonala daca pastreaza produsul scalar, adica

(F (),F ()) = (), x,y I E.

Notatie. L_ort (E, E

Exemple. 1. Transformarea identica I : E E este ortogonala deoarece pentru orice I E avem I () = si conditia (1) este deci indeplinita.

2. Transformarea F : E E care asociaza fiecarui I E, opusul sau , este ortogonala deoarece din relatia de definitie F () = pentru orice I E, rezulta conditia (1).

TEOREMA 1. Conditia necesara si suficienta ca o transformare liniara F IL (E, E ) sa fie ortogonala este ca ea sa pastreze lungimea vectorilor, adica

|| F () || = || ||, I E.

Demonstratie. Daca F I L_ort (E, E ) atunci (F (),F ())=() (conform cu (1)),din care rezulta || F () || = ||||, I E.

Reciproc, daca || F() || = ||||, I E, consideram

F F

F F F F F (( F F )² - -F F ( F F ). 

Consecinta 1. Orice transformare ortogonala este injectiva.

Intradevar, daca F I L (E, E ), din F () = 0_E rezulta, conform cu relatia (2), ca

|||| = || F () || = || 0_E || = 0, adica Ker (F ) = , adica F injectiva (cf.T.1.3.6).

TEOREMA 1. (1) Produsul a doua transformari ortogonale este tot o transformare ortogonala.

Inversa unei transformari ortogonale surjective este tot o transformare ortogonala.

Demonstratie. (1) Fie F : E E si F : E E doua transformari ortogonale si F F F : E E produsul lor. Dupa proprietatea1.3.3.1, F este liniara si tinand seama de relatia (2), avem || F () || = || F F ()) || = || F () || = ||||, I E deci F este ortogonala.

Fie F IL_ort(E, E ), F surjectiva , atunci F este bijectiva si deci exista F : E E care este, conform proprietatii 1.3.3.5, transformare liniara. Punand F (v') = v sau echivalent v F (v) si tinand seama de (2) obtinem || F (v ) || = || v || = || F (v) || = || v v I E adica F este ortogonala.

Din Teorema 1.5.2. rezulta

Consecinta 1. Operatia de compunere determina pe multimea endomorfismelor ortogonale surjective ale unui spatiu vectorial euclidian E pe el insusi o structura de grup.

Acest grup se numeste grupul ortogonal al spatiului euclidian E si-l vom nota G O (E). El este subgrup al grupului liniar G L (E) - grupul format de multimea endomorfismelor lui E.

TEOREMA 1.5.3. Conditia necesara si suficienta ca F I L_ort (E, E ) este ca matricea M(F ; B,B ) a transformarii F in raport cu orice baze ortonormate B si B din E, respectiv, E sa verifice egalitatea

M^t(F ; B,B M(F ; B,B ) = I_n ,

unde I_n este matricea unitate de ordinul n = dimE.

Demonstratie. Presupunem ca F IL_ort(E, E ) atunci I E, || F () || = ||||, rezulta (F (),F ())=() atunci [F ()]^t_B F ()]_B =[]^t_B[]_B si, cum [F ()]_B = M(F ; B,B )[]_B ,rezulta []^t_B M^t(F ; B,B M(F ; B,B []_B = []^t_B I_n []_B , de unde rezulta (3).

Reciproc, presupunem adevarata relatia (3) si parcurgand in sens invers demonstratia precedenta rezulta || F () || = ||||, adica F I L_ort (E, E

DEFINITIA 1. Matricea patrata A I M (n, n, R) se numeste ortogonala daca satisface relatia

(4) A A^t = A^t A = I_n .

Consecinte 1.5.3. (1) Daca F IL_ort(E, E) atunci M(F ; B) este matrice ortogonala.

Daca A este matrice ortogonala, atunci det A =

Daca A si B sunt doua matrice ortogonale, atunci si matricea A B este o matrice ortogonala.

Inversa unei matrice ortogonale este o matrice ortogonala.

Daca A si B sunt matrice ortogonale, atunci si matricea este ortogonala.

Demonstratie. (1) este evidenta.

Tinand seama de proprietatea ca det (A B) = det (A) det (B), avem din relatia (4)

det (A A^t) = det I_n T detA det A^t = 1

si, cum det A = det A^t, rezulta (det A)² = 1 T det A =

Din ipoteza A A^t = I_n, B B^t = I_n , rezulta

(AB) (AB)^t = (AB) (B^tA^t)= A (BB^t) A^t = A I_n A^t = AA^t = I_n .

Fie B = A^-1 si AA^t = I_n. Avem succesiv

B B^t = (A^-1) (A^-1)^t = A^-1 (A^t)^-1 = (A A^t)^-1 = I_n^-1 = I_n.

Tinand seama de (3), avem pe rand

Observatie 1. In C.1.5.3.(5) nu este necesar ca cele doua matrice sa fie de acelasi ordin.

DEFINITIA 1. Un endomorfism ortogonal F se numeste rotatie daca

detM(F ; B)= 1, unde M(F ; B) este matricea lui F asociata bazei B a spatiului vectorial.