Varianta (fluctuatia) dispersa sau abaterea medie patratica

Varianta (fluctuatia) dispersa sau abaterea medie patratica . Notiunea de momente

O alta caracteristica cantitativa a variabilei aleatoare x, care difera de valoarea medie care determina pozitia centrului de distributie a probabilitatilor, este varianta sau dispersia variabilei aleatoare.

Vom nota varianta prin D Varianta este caracteristica numerica a imprastierii, deviatia valorilor variabilelor aleatoare in raport cu valoarea medie a acestei variabile.

Definitia 1: Se numeste varianta variabilei aleatoare X speranta matematica a patratului diferentei dintre variabila aleatoare X si speranta sa matematica (altfel spus speranta matematica a patratului variabilei aleatoare centrata corespunzatoare.)

D[x] = M[(x-m_x)²]

sau

D[x] =

Varianta nu poseda aceeasi unitate de masura ca si variabila aleatoare . Uneori este comod pentru a caracteriza dispersia valorilor, de a utiliza o marime a carei unitate de masura coincide cu cea a variabilei aleatoare, pe care o numim abatere medie patratica .

Definitia 2: Se numeste abatere standard a variabilei aleatoare, radacina patrata a variantei.

G[x] =

sau sub o forma mai explicita

G[x] =

Aleatoarea standard este uneori notata si cu

Remarca 1: Pentru calcule este comod sa se transforme formula (VII 40) dupa cum urmeaza:

D[x] = =

= - 2+ =

M[] - 2 + =

M[] -

Astfel

D[x] = M[x²] -

Altfel spus varianta este egala cu diferenta sperantei matematice a patratului variabilei aleatoare si patratul sperantei matematice a variabilei aleatoare.

Exemplul 1. Se efectueaza o experienta in cursul careia evenimentul A poate sa se produca sau nu. Probabilitatea de realizare a evenimentului A este egala cu p. Sa se determine speranta matematica, varianta si abaterea patratica medie.

Solutie:

Asezam intr-un tablou valorile numarului de realizare a evenimentului (q = 1-p):

in consecinta:

M[x] = 1* p + 0 * q = p

D[x] = (1- p + (0 - p)² q = q * p

G[x] =

Pentru a elucida sensul notiunilor variantei si abaterii patratice medii precum si caracteristicile dispersiei variabilei aleatoare consideram cateva exemple:

P

Fig 3

0 0,4 0,3

0 2 3 4

P

0 Fig 4

0 1 2 3 4 5

Exemplul 2: Variabila aleatoare x data de legea de distributie urmatoare (vezi Fig. 3)

Sa se determine:

M[x] = 2 * 0,3 + 3 * 0,4 + 4 * 0,3 = 3

D[x] = (2-3)² * 0,3 + (3-3)² * 0,4 + (4-3)² * 0,3 = 0,6

G[x] = = = 0,77

Exemplul 3. Variabila aleatoare x este data de legea de distributie urmatoare (Fig. 4)

Sa se determine:

Speranta matematica

Varianta

Abaterea patratica medie

Solutie

M[x] = 1 * 0,3 + 3 * 0,4 + 5 * 0,3 = 3

D[x] = (1-3)² * 0,3 + (3-3)² * 0,4 + (5-3)² * 0,3 = 2,6

G[x]  = = 1,55

Dispersia, deviatia variabilei aleatoare, este in exemplul 2 inferioara dispersiei variabilei aleatoare din cel de al doilea exemplu. Variabilele (fluctuatiile) acestor marimi sunt respectiv egale cu 0 si 2,4.

Exemplul 4. Variabila aleatoare este data de legea de distributie urmatoare:

P

0 3

Sa se determine:

1. speranta matematica
2. varianta (fluctuatia)
3. abaterea patratica medie

Solutie:

M[x] = 3 * 1 = 3

D[x] = (3-3)² * 1 = 0

G[x]  = 0

dispersia acestei variabile aleatoare este nula.

Remarca 2. Daca consideram o cantitate constanta ca o variabila aleatoare, care ia valoarea c cu o probabilitate l, se demonstreaza usor ca  D(c)= 0.

Demonstratie. Am aratat deja ca M(c)= c. Cu ajutorul formulei (VII 40) avem:

D[c] = M [(c-c ] = M[0] = 0

Remarca 3. Prin analogie cu terminologia utilizata in mecanica se numesc momente centrale de primul sau al doilea ordin al variabilei aleatoare x speranta matematica a cantitatilor (x- m_x); (x- m_x)². Se considera de asemenea momentul centrat de ordinul trei:

Daca variabila aleatoare este distribuita simetric in raport cu centrul distributiei probabilitatilor (Fig 1), este evident ca momentul sau central de ordinul 3 va fi nul. Daca momentul central de ordinul trei este nul, variabila aleatoare nu poseda o distributie simetrica.