DISTRIBUTIILE CLASICE - BAZA VERIFICARII IPOTEZELOR STATISTICE APLICABILE IN COMERT - TURISM - SERVICII

Distributiile clasice -

baza verificarii ipotezelor statistice aplicabile in

comert - turism - servicii

Caracteristicile ipotezelor statistice

Actualmente, cercetarea stintiifica aplicata se extinde in toate domeniile de activitate, inclusiv in sfera economicului.

Inferenta statistica

Aplicabilitatea practica a cercetarii stiintifice este precedata de o treapta esentiala care vizeaza stabilirea si confirmarea sau infirmarea unor ipoteze ce cuprind anumite aspecte importante necesar a fi studiate in legatura cu procesul sau fenomenul analizat.

Aceasta treapta include metode denumite inferentiale deoarece, prin intermediul acestora, se estimeaza caracteristicile unor colectivitati statistice.

Definitia 1. Inferenta este o operatiea logica de trecere de la un enunt la altul si in care ultimul enunt este dedus din primul.

Din punctul de vedere al acestei lucrari enunturile sunt reprezentate prin ipoteze statistice, iar inferenta este reprezentata de procesul de extindere la nivelul colectivitatii generale a unor rezultate obtinute dintr-o subcolectivitate reprezentaiva (figura 1).

Subcolectivitatea reprezentativa este rezultatul unor observatii efectuate prin aplicarea unui procedeu de extragere adecvat cerintelor.

Definitia 2. Prin ipoteza vom intelege o presupunere cu caracter provizoriu, formulata pe baza unor date exterimentale existente la un moment dat

Ipoteza statistica este reflectata printr-o presupunere enuntata pe baza unei actiuni desfasurate in cadrul unui fenomen sau proces, care ulterior este supusa unui proces de verificare statistica.

Practic, ipoteza statistica vieaza o caracteristica a populatiei (colectivitatii statistice) pe care, pe baza datelor din esantionul reprezentativ si a unor metode specifice, este valiata (adoptata) sau nu (respinsa).

SHAPE * MERGEFORMAT

Colectivitate statistica

Estimare

Inductie

Particular

General

Extindere

Rezultate

I N F E R E N T A

Extragere subpopulatie

Figura 1. Procesul inferentei statistice

Metodologia testarii ipotezelor statistice

Testarea ipotezelor statistice reprezinta o componenta a influentei prin circuitul pe care-l descrie ca urmare a aplicarii metodologiei (figura 2.)

SHAPE * MERGEFORMAT

Esantion cu date experimentale

Colectivitate generala

Stabilire IPOTEZE

METODOLOGIA TESTARII

Figura 2. Circuitul metodologiei testarii

In general, presupunerea vizeaza un parametru (medie, dispersie , etc.) sau o lege de repartitie a unor variabile aleatoare.

Testarea are in vedere urmatoarele aspecte:

se formeaza ipotezele : H₀ (nula), H₁ (alternativa).

se stabileste si valorile critice corespunzatoare tipului de test aplicat.

se precizeaza regiunea critica sau de respingere ( ),in functie de tipul testului;

se aplica testul.

se ia o decizie in functie de modul cum se incadreaza rezultatul, in interiorul sau exteriorul regiunii de respingere.

Elementele teoretice care intervin in testarea ipotezelor statistice sunt:

ipotezele: nula si alternativa;

limita de semnificatie si valori critice;

regiune de respingere (critica);

statistica testului

verificarea ipotezei

Ipoteza nula si ipoteza alternativa

Cele doua ipoteze (nula si alternativa) formeaza o perche nelipsita in cadrul metodologiei testarii.

Definitia Se numeste ipoteza nula si se noteaza cu acea presupunere prin care se formuleaza supozitia conform careia nu exista diferenta semnificativa intre parametrii comparati (primeaza caracterul intamplator).

Alternativa la , apare ca o alta alternativa care poate fi adevarata in conditiile respingerii ipotezei nule.

Definitia 4. Se numeste ipoteza alternativa si se noteaza cu presupunerea conform careia exista o diferenta semnificativa (cazuri speciale: mai mare sau mai mica) intre parametri comparati reprezinta ipoteza alternativa.

Ambele ipoteze trebuiesc stabilite initial, ca prime etape in cadrul metodologiei testarii fiind considerate mutual exhaustive ca urmare a neposibilitatii impliniri simultane a acestora, dar cu realizarea obligatorie a uneia din ele (respingerea ipotezei nule conduce la stabilirea ipotezei alternative ca fiind adevarate sau daca ipoteza nula este adevarata, atunci ipoteza alternativa se respinge).

Observatie: Atunci cand se resinge ipoteza H₀ a se evita exprimarea "se accepta" ipoteza nula H₁ .

Limita de semnificatie si valori critice

Metodologia testarii are in vedere doua evenimente compuse:

evenimentul realizat ( ) - care include si celelalte evenimente auxiliare si conduce la respingerea ipotezei H₀

evenimentul contrar celui realizat ( ) - evenimentul care evidentiaza ihndeplinirea ipotezei nule H₀.

Principiile esentiale pentru realizarea celor doua evenimente sunt:

probabilitatea evenimentului realizat ( ) sub H₀ este reprezentata de evenimentele elementare care sunt egal probabile doar in conditiile ipotezelor nule si se poate determina numindu-se probabilitate critica

(1)

probabiliatea evenimentului realizat ( ) sub H₁ este mai mare decat sub H₀, dar nu se poate determina decat functia de celealta.

Probabilitatea critica este interpretata a fi mica sau nu prea "mica" in raport cu un anumit nivel denumit prag sau limita de semnificatie notat cu [2].

Regula de decizie se stabileste in functie de probabilitatea critica ( ) astfel:

daca este mai "mica" de ), atunci H₀ se respinge (evenimentul realizat se considera neasteptat in contextul ipotezei H₀, in timp ce ipoteza H₁ ii asigura o probabilitate mai mare de aspiratie).

Daca este mai "mare" de , atunci H₀ nu se respinge (evenimentul realizat se considera asteptat sa se intample).

Limita de semnificatie poate lua valori cuprinse intre 0,5 si 0,0001 (cele mai utilizate fiind 0,05 si 0,01), acestea fiind stabilite teoretic.

Daca = 0,05 sau altfel spus = 5% inseamna ca riscul de respingere al ipotezei nule H₀ este de 5% (cand respingem ipoteza nula H₀ este posibil sa se greseasca in proportie de 5%).

Limita de semnificatie ( ) are un rol esential in cadrul testarii ipotezelor statistice reprezentand acel prag sau linie care separa rezultatele ce resping ipoteza nula de celelalte care nu resping.

In acest context apare acea regiune de respingere (regiunea critica) notata in care sunt incluse rezultatele ce resping ipoteza nula.

Definitia 5. Punctele care determina regiunea de respingere se numesc valori critice ale testului si sunt reprezentate de Quanitele distributiei utilizate in alicarea respectivului test.

Valorile critice sunt valori tabelare sau teoretice ale testelor ( , , , , etc), care se preiau din tabele teoretice prezentate in Anexele 1-

Regiunea de respingere (critica):

Valoarea critica delimiteaza in cadrul repartitiei o regiune reprezentand regiunea critica.

Definitia 6. Regiunea critica, denumita si regiune de respingere, reprezentata de aceea arie din graficul de repartitie, in care ipoteza nula se respinge

Regiunea include probabilitatea de realizare a evenimentului alternativ, deci este adevarata ipoteza alternativa .

In procesul de decizie al unui test statistic se pot produce erori care apar sub doua forme (tabelul 1).

eroare de tip I. (de speta intai): se respinge ipoteza nula , desi ea este adevarata. Riscul producerii unei erori de tip I este .

eroare de tip II (de apeta a doua): nu se respinge ipoteza nula , desi ea este falsa. Riscul producerii unui tip de eroare este .

Tabelul 1. Erori in procesul decizional statistic

Legatura dintre probabilitatile si este prezentata in figura

SHAPE * MERGEFORMAT

Figura 3 Legatura dintre probabilitatile si

Statistica testului

Definitia 7. Statistica testului reprezentata acea relatie ce prezinta intr-o forma matematica, tipul testului stabilit in raport cu cel al distributiilor statistice descrise de fenomenul sau procesul analizat.

Rezultatul obtinut ca urmare a aplicarii statistice a testului se numeste si valoarea calculata a testului (notata: , sau , sau , sau etc).

Testarea ipotezei

Verificarea ipotezei consta in compararea rezultatului obtinut prin aplicarea statisticii testului la valorile calculate cu valoarea critica si stabilirea deciziei finale ca find una din situatiile :

daca valoarea calculata intra in regiunea de respingere, atunci ipoteza nula se respinge (se considera adevarata ipoteza alternativa ).

daca valoarea calculata este in afara regiunii de respingere, atunci ipoteza nula este adevarata (se respinge ipoteza alternativa ).

Din punct de vedere teoretic, testarea ipotezelor statistice presupune parcurgerea unor etape ilustrate in figura 4.

Succint, aceste etape constau in:

se precizeaza ipoteza nula ( ) prin care se specifica: nu exista diferenta semnificativa intre parametrii comparati (medii, dispersii etc).

se stabileste ipoteza alternativa ( ): exista diferenta semnificativa intre parametrii comparati (medii, dispersii etc).

se precizeaza tipul testului statistic utilizat in raport cu datele aplicatiei,eventual si cu volumul esantionului si se construieste graficul.

in functie de nivelul de incredere ( ), se determina limita de semnificatie ( ), cu ajutorul careia se stabileste:

testul statistic tabelar sau teoretic, valoarea plasandu-se pe grafic;

regiunea de respingere ( ).

se calculeaza valoarea statistica a testului calculat, aplicandu-se relatia de calcul adecvata tipului testului utilizat, iar valoarea obtinuta se plaseaza pe grafic.

se compara valoarea testul statistic tabelar sau teoretic cu valoarea statistica a testului calculat si se stabileste daca rezultatul statistic al testului calculat intra sau nu in regiunea de respingere , luandu-se decizia adecvata situatiei.

SHAPE * MERGEFORMAT

Stabilirea ipotezelor Ipoteza Ipoteza

Alegerea TIPULUI TESTULUI

Alegerea limitei de semnificatie

STATISTICA TESTULUI

Regiunea de respingere

Valoarea critica

Se respinge

Se accepta

NU

DA

Figura 4 Etapele testarii ipotezelor statistice

Tipuri de teste utilizate la testarea ipotezelor statistice

In functie de sensul abaterii inclusa in ipoteza alternativa apar trei tipuri de teste:

Test unilateral stanga

Test bilateral

Test unilateral dreapta

Testul unilateral stanga

Testul unilateral sanga are urmatoarele caracteristici:

- ipotezele testului sunt:

daca se compara doua medii ( si )

(2)

(3)

daca se compara doua dispersii ( si )

(4)

(5)

- Regiunea de respingere si valoarea critica sunt prezentate in figura 5

SHAPE * MERGEFORMAT

Figura 5 Valoarea critica si regiunea de respingere

pentru testul unilateral stanga

Testul bilateral

Pentru testul bilateral avem

ipotezele:

daca se compara doua medii ( si )

(6)

(7)

daca se compara doua dispersii ( si )

(8)

(9)

- Regiunea de respingere si valoarea critica sunt prezentate in figura 6

SHAPE * MERGEFORMAT

negativa sau inversa

pozitiva

Figura 6. Valoarea critica si regiunea de respingere

pentru testul bilateral

Testul unilateral dreapta

Testul unilateral dreapta, se mai numeste si testul directional dreapta, si se poate descrie prin urmatoarele caracteristici:

- ipotezele testului sunt:

daca se compara doua medii ( si )

(10)

(11)

daca se compara doua dispersii ( si )

(12)

(13)

- Regiunea de respingere si valoarea critica sunt prezentate in figura 7

SHAPE * MERGEFORMAT

pozitiva

Figura 7. Valoarea critica si regiunea de respingere

pentru testul unilateral dreapta

Utilizarea repartitiei normale normate la testarea ipotezelor statistice

Aplicarea unui model teoretic conduce la obtinerea unor rezultate care, desi sunt orientative, totusi au un grad ridicat de utilitate.

In acest context se prezinta si variatia normala normata ce reprezinta baza testarii ipotezelor statistice necesare in practica pentru definitivarea deciziilor manageriale.

Repartitia normala normata

Repartitia normala normata este intalnita si sub numele de repartitia normala standard sau repartitia normala redusa, tocmai pentru ca reda un caz particular al repartitiei normale.

Denumita si repartitia Gauss-Laplace, repartitia normala este exprimata printr-o variabila aleatoare X cu media m si dispersia , normata X~N (m, ), a carei functia de repartitie este:

F (x) = P (X<x) = dt,

cu

Conturarea mai clare a repartitiei normale are in vedere urmatoarele prorietati:

PN1. Variabilei aleatoare X cu repartitia N(m, ) ii corespunde:

momente centrale

coeficenti de asimetrie si boltire: si

PN2. Suma unor variabile independente repartizate normal este tot o variabila aleatoare repartizata normal , unde:

X , X , , X sunt variabile independente cu repartitii normale avand media si dispersia

m = si

PN Pentru o combinatie liniara finita de variabile aleatoare independente, proprietatea anterioara poate fii transpusa astfel: daca X , X , , X sunt variabile aleatoare independente repartizate normal cu media si dispersia , atunci suma este o variabila aleatoare repartizata normal X~N (m, ), unde m = si

Repartitia normala normata se prezinta grafic printr-o curba normala care se numeste si clopotul lui Gauss, datorita urmatoarelor caracteristici:

reprezentarea este simetrica fata de dreapta x = m, iar cele doua partii ale curbei tind asimptotic spre axa absciselor Ox.

distributia fiind unimodala, valoarea maxima va fii atinsa pentru x = m in punctul:

punctele de inflexiune ale graficului sunt (m- ) si (m+ ), deoarece in respectivele punce convexitatea curbei se modifica in concavitate.

daca abaterea standard este constanta , modificarea mediei (m) determina o translatie a curbei prin Ox spre dreapta (figura 8.a) sau spre stanga (figura 8.b) fara sa-si schimbe forma.

SHAPE * MERGEFORMAT

a) deplasare spre dreaptadreapta

b) deplasare spre stanga

Figura 8. Deplasarea curbei repartitiei normale

pentru constant si variabil

daca media (m) este constanta, atunci modificarea abaterii standard ( ) determina o modificare a formei curbei (figura 9); modificarea consta in "ascutiunea" sau aplatzarea acesteia, dupa cum are loc micsorarea sau cresterea valorii parametrului .

SHAPE * MERGEFORMAT

Figura 9. Modificarea curbei repartitiei normale

pentru variabil si constant

Un exemplu de curba Gauss-Laplace pentru o repartitie normala prezentat in figura 10

SHAPE * MERGEFORMAT