CONDUCTIA ELECTRICA

CONDUCTIA ELECTRICA

Proprietatea corpurilor de a manifesta existenta materiei prin transportul de sar­cini electrice, sub actiunea unui gradient de potential, se constituie ca fenomen de con­ductibilitate electrica. Conductibilitatea electrica, fiind proprietatea a corpurilor, o numim conductie electrica in momentul in care se manifesta. Masura conductibilitatii electrice o constituie conductivitatea electrica t, care, in conditiile date, reprezinta o constanta de material.

1.1.1. EXPRESIA GENERALA A CONDUCTIVITATII ELECTRICE.

In conditiile unor ipoteze simplificatoare se poate determina relatia de legatura intre densitatea curentului electric si intensitatea campului electric, care se realizeaza prin intermediul conductivitatii electrice, folosind fie teoria clasica a electronului, fie teoria cuantica. In ambele cazurise face uz de modele fizice capabile sa asigure re­da­rea fenomenelor din materiale. Totusi nu s‑a ajuns inca la modele care sa reprezinte in mod absolut realitatea roceselor fizice din corpurile materiale. Ca urmare sim­pli­fi­carile facute afecteaza rigoarea redarii fenomenelor. Cu teoria clasica a electronului, in cadrul careia electronii liberi sunt asemuiti cu un gaz electronic, (identic cu gazul perfect), se obtin relatii simplificate usor de utilizat in aplicatii, dar care nu explica toate fenomenele fizice din material. Teoria cuantica, de asemenea in conditiile unor simplificari grosiere, conduce la relatii a caror valabilitate este deplin confirmata de experiente, dar care contin un grad mare de dificultate in utilizarea lor practica.

Obtinerea unor expresii generale a conductivitatii electrice, in ipotezele simpli­ficatoare ale teoriei clasice, este utila pentru unele rationamente ce intervin in studiul proprietatilor materialelor.

Daca se considera un purtator liber, de sarcina q, ce se deplaseaza cu viteza intr‑un corp de volum v, sub actiunea unui camp electric , contributia sa la den­sitatea de curent este:

(1.1)

Considerand ca in volumul dat exista "i" purtatori de sarcina, avand fiecare aceeasi sarcina medie q si viteza , densitatea totala de curent este:

(1.2)

unde viteza v_i a particulei libere, incarcate cu sarcina q se considera in raport cu cor­pul. Marimile din relatiile (1.1) si (1.2) exprima densitatea de curent la nivelul ma­croscopic si deci ele trebuie sa fie considerate ca valori medii ale marimilor simi­lare microscopice.

Viteza cu care se deplaseaza purtatorul de sarcina are o componenta ordonata , imprimata de campul prin forta si o componenta dezordonata datorata agitatiei termice. Astfel, intr‑un solid de exemplu pe langa ciocnirea purtatorilor de sarcina intre ei, mai au loc ciocniri ale acestora cu atomii din nodurile retelei crista­li­ne.

Datorita agitatiei termice, rezulta ca micsorarea ordonata a purtatorilor de sarcina este stanjenita cu atat mai mult cu cat temepratura corpului este mai ridicata (cand si vibratia atomilor retelei este mai mare). In consecinta componenta vitezei purtatorului de sarcina, dupa directia campului electric, desi componenta ordonata este mai mica, respectiv si densitatea de curent

(1.3)

datorita rezultantei nule a componentelor vitezei dezordonate, se reduce la forma:

(1.4)

Efectuarea sumei se simplifica daca se considera ca fiecare purtator de sarcina are aceeasi viteza medie si ca in volumul dat exista N purtatori de sarcina:

(1.5)

si respectiv:

(1.6)

Timpul in care purtatorul de sarcina parcurge spatiul intre doua ciocniri suc­cesive se numeste timp de relaxare, si se defineste in raport cu viteza medie totala () si cu valoarea medie a drumului liber parcurs (l_m) adica:

(1.7)

unde v_om - este viteza ordonata medie, iar v_dm - viteza dezordonata medie. Compo­nen­ta ordonata a vitezei este neglijabila in raport cu componenta dezordonata (de ex. la metale v_om   10^-2 [m/s] si v_dm   10⁶ [m/s]), incat t_r poate fi aproximat:

(1.8)

si are in cazul metalelor ordinul de marime de 10^-14 [s].

Dat fiind ca viteza dezordonata depinde numai de temperatura T, ci nu si de intensitate a campului electric (in schimb viteza ordonata depinde de ), rezulta ca nici timpul de relaxare, sau durata de relaxare nu depinde de campul electric, cand este indeplinita conditia .

Determinarea vitezei medii ordonate, necesara pentru a continua calculele cu relatia (1.5), se poate face in regim stationar. In acest caz se admite ca la ciocnirea purtatorului cu atomul din nodul retelei, el cedeaza toata energia sa cinetica, viteza medie totala devenind nula. In timpul de relaxare in care purtatorul de sarcina se de­plaseaza pe drumul mediu liber parcurs, el este accelerat de catre campul electric, in­cat in momentul urmatoarei ciocniri, cu un atom din nodul retelei, viteza sa ordona­ta devine maxima. Dupa ciocnire, viteza devenind nula, poate incepe o noua miscare accelerata, urmata de o noua ciocnire, in momentul careia atinge o noua valoare ma­xi­ma s.a.m.d.

Ecuatia miscarii purtatorului de sarcina este:

(1.9)

unde: m - este masa in repaus a purtatorului de sarcina. Integrand ecuatia (1.9) intre limitele t = 0 cand v_o = 0 si t = t_r cand v_o =  v_oM (viteza ordonata maxima) se obtine:

(1.10)

sau cum viteza initiala s‑a considerat nula, rezulta viteza ordonata medie:

(1.11)

inlocuind (1.11) in (1.6) se obtine pentru densitatea de curent expresia generala a legii lui Ohm:

(1.12)

unde s constituie conductivitatea electrica. Se observa ca s nu contine decat marimi constante si independente de . In schimb s depinde de temperatura prin intermediul timpului de relaxare, asa cum s‑a aratat anterior.

In relatia (1.12) se pot face notatiile:

concentratia purtatorilor de sarcina.

mobilitatea purtatorilor de sarcina, incat expresia generala a conductivitatii:

poate fi scrisa sub forma simplificata:

s = n   q   M

in care o regasim in cele mai multe cazuri din literatura de specialitate.

Tinand seama de (1.8), expresia generala a conductivitatii electrice (1.13) se mai poate scrie si sub forma:

(1.15)

daca se admite pentru timpul de relaxare relatia specificata (1.8) in locul celei exacte (1.7).

(1.16)

unde, exceptand temepratura T, toti factorii sunt constanti. Se stie ca la temepraturi apropiate de 300 [°K], viteza dezordonata nu depinde sensibil de temperatura. De exemplu Cu are concentratia electronilor liberi n = 8, 5   10²⁸ [m^-3].

Din (1.16) rezulta ca la metale s scade cu cresterea temperaturii. Inversul con­ductivitatii constituie rezistivitatea r s . Deci r la metale creste proportional cu temperatura. La temepraturi joase, in domeniul temperaturilor criogene (sub -120 °C, respectiv 153 °K) valabilitatea relatiei (1.16) se restrange incat la cateva grade abso­lute sau zeci de grade, ea se anuleaza, deoarece drumul mediu liber par­curs, ca si tim­pul de relaxare, are valoare mult mai mare decat ar rezulta din formula clasica . In a­cest domeniu de temperaturi rezistivitatea scade cu (T⁵) conform relatiei empirice a lui Bloch:

(1.17)

Din (1.17) rezulta ca in apropiere de 0 [°K] (se va nota in continuare cu 0K), scaderea rezistivitatii metalelor cu temperatura este foarte intensa.

Rezistivitatea fiind valoarea inversa a conductivitatii constituie, de asemenea, constata de material, in conditii date.

Modelul fizic al gazului electronic nu ofera posibilitatea sa se explice in mod curent toate procesele ce au loc in corpul solid. Asa de pilda calculul caldurii specifi­ce duce la valori mai mari decat cele determinate experimental; raportul intre conduc­tivitatea termica l si cea electrica s (ambele determinate cu acest model fizic) nu co­respunde cu datele obtinute experimental. In fine, nu este posibila explicarea apari­tiei supraconductibilitatii metalelor pure sau aliajelor supraconductoare la temperaturi a­propiate de 0K.

Cu toate deficientele amintite, rezultatele obtinute cu teoria clasica a electro­nu­lui sunt utile pentru aplicatiile practice ca si pentru reprezentari intuitive ale unor pro­cese fizice.

1. 1. 2. MODELUL CUANTIC AL CONDUCTIEI ELECTRICE.

Un model fizic mai adecvat studierii proceselor fizice din materiale, care ofera posibilitatea obtinerii unor rezultate ce reflecta mai exact realitatea, are la baza con­cep­tele teoriei cuantice.

Proprietatile corpurilor constituie o reflectare la nivel macroscopic a proceselor si fenomenelor ce au loc la nivel microscopic, adica la nivelul microparticulelor (a­to­mi, ioni, sisteme de atomi diferiti, molecule etc.). Prin urmare stabilirea unei lega­turi intre cele doua aspecte ale starii unui corp este esentiala pentru cunoasterea pro­pri­e­ta­tilor acestuia.

Dupa conceptele teoriei cuantice, un sistem de microparticule, in anumite con­ditii, se poate comporta, in virtutea dualitatii unda-corpuscul, atat ca un sistem de unde electromagnetice cu o repartitie spatiala continua cat si ca un sistem de cor­pus­culi avand o repartitie spatiala discontinua. Spre deosebire de aceasta, fizica cla­sica considera cele doua stari ca specii distincte de sisteme fizice: campurile elec­tro­magnetice cu repartitie continua in spatiu si corpurile cu repartitie discon­ti­nua. Din aceasta cauza sistemele de microparticule nu pot fi descrise cu aceleasi legi cu care fizica clasica descrie sistemele de corpuri macroscopice. Din fizica se stie ca aplica­rea legilor mecanicii clasice la studiul sistemelor de microparticule, nu a doban­dit pre­cizia dorita in explicarea proceselor fizice din corpul solid, ci doar cunoasterea partiala a unor fenomene, facand uz de modele mai intuitive.

In procesul de conductibilitate, purtatorul de sarcina trebuie considerat in inte­ractiunea sa cu ceilalti purtatori de sarcina, ca si cu atomii sistemului care constituie corpul, dar tinand seama si de interactiunea dintre acesti atomi. Studiul conductibi­li­ta­tii cu considerarea simultan a tuturor acestor conditii nu este, in prezent, cu putinta si de aceea se adopta modele fizice si matematice simplificate, dar care sa nu modi­fi­ce calitative fenomenal. In acest sens starea unui microparticule sau a unui sistem de microparitcule, la un moment dat, intr‑un punct din corp, trebuie exprimata prin func­tii de variabile independente timp si spatiu, care sa descrie cat mai fidel aceasta stare. O astfel de functie este utilizata in mecanica cuantica sub forma complexa Y(, t), numita functie de unda (s‑a notat cu vectorul de pozitie al punctului de coordonate x, y, z si cu t timpul). Determinarea starii unei microparti­cu­le, deci a functiei de unda corespunzatoare, este posibila numai in cazul celui mai simplu sistem, cum este ato­mul de hidrogen.

Functia de unda trebuie sa contina marimi care sa redea manifestarea ondulato­rie a sistemlor de microparticule, ca si cea corpusculara. Corpusculului material ii sunt caracteristice energia totala W si impulsul , iar undei pulsa­tia si vectorul de unda al carui modul este . Energia W con­tine energia cine­ti­ca W_c = mv²/2 si energia potentiala U a corpusculului; m - este masa in repa­us a cor­pusculului ; v - viteza acestuia; n - este frecventa undei asociate corpus­cu­lu­lui, iar l - este lungimea de unda.

In fenomenul conductibilitatii electronice, corpusculul, sau microparti­cu­la, la care ne referim, este electronul. Acesta insa nu poate fi tratat ca uncorp izolat de res­tul sistemului de microparticule, ci doar in interactiune cu acesta, incat el trebuie con­siderat ca un obiect complex, imprastiat in spatiu. Prin urmare interactiunea elec­tro­nului cu sistemul de microparticule din care face parte, adica localizarea lui, nu poate fi facuta intr‑un punct de coordonate (x, y, z) ci doar intr‑un volum elementar.

Cand microparticula se afla intr‑o stare nestationara, adica energia sa poten­tiala nu este constanta, functia de unda asociata ei devine mult mai complexa si se obtine prin integrarea ecuatiei diferentiale a lui Schrödinger.

Pe da alta parte functia de unda este deteminata, prin intermediul energi­ei, de patru numere numite cuantice:

n = (1, 2, 3, . . . n) - numarul cuantic principal, care determina valorile ener­giei electronului

= (0, 1, 2 . . . n-1) - numarul cuantic cinetic care determina valorile momen­tului cinetic orbital (cu relatia )

m = ( . . . -1, 0, +1, . . . ) - numarul cuantic magnetic care determina valoarea proiectiei momentului magnetic oribital (corespunzator momentului cinetic orbital) dupa o directie preferentiala, cum este cea a unui camp magnetic exterior.

- numarul cuantic de spin - care determina valoarea proiectiei mo­me­ntului magnetic de spin dupa aceeasi directie preferentiala ca si in cazul lui m.

Primele trei numere cuantice determina o stare orbitala a electronului in atom, respectiv toate cele patru numere definesc o stare cuantica. Conform principiului ex­cluziunii a lui Pauli insa, numai un singur electron poate avea starea determinata de toate cele patru numere cuantice si nu poate exista simultan inca un electron in ace­easi stare, adica avand toate cele patru numere cuantice identice. Sau altfel spus, pe un nuvel de energie nu pot exista mai mult de doi electroni, avand insa spini de sens opus. Valorile sucesive ale energiei, pe care le pot avea electronii intr‑un atom, for­meaza zone permise de energie, care alterneaza cu zona de energii pe care electro­nii nu le pot dobandi, numite zone interzise.

Existenta zonelor de energie permisa si interzisa constituie o baza reala pentru explicarea proprietatilor corpurilor. Largimea zonelor de energie (permisa si interzi­sa) constituie o particularitate pentru fiecare fel de cristal. Largimea zonelor de ener­gie nu depinde de numarul atomilor din corpul solid, ci numai de natura atomilor si distanta dintre acestia.

Din teoria zonelor de energie si cu considerarea relatiilor rezulta ca propri­e­ta­ti­le corpului solid ce emana din micsorarea electronilor in reteaua cristalina nu pot fi studiate in mod corect decat cu ajutorul mecanicii cuantice. Modelul gazului elec­tro­nic de care s‑a facut uz nu reflecta realitatea proceselor fizice decat cu o aproxi­ma­tie grosiera, deoarece gazul electronilor liberi din retea nu se identifica cu un gaz clasic perfect.

La conductia electronica participa electronii din vecinatatea nivelului Fermi, ceea ce revine la a considera toti au aceeasi energie, egala in medie cu W_F (fig. 1.1). Acesta este cazul metalelor care la T = 0 si cu atat mai mult la temperaturi mai mari poseda electroni in ultima zona permisa ce nu ocupa toate nivelele zonei.

In concluzie rezulta ca dupa structura zonelor de energie si dupa modul cum sunt ocupate de electroni zonele permise, corpurile solide se pot clasifica in: a) elec­tro­izolante, b) conductoare si c) semiconductoare.

In structura zonelor de energie la T = 0 [°K] ultima zona permisa si ocupata de electroni constituie zona de valenta A, iar prima zona permisa si neocupata de elec­troni este zona de conductie C.

Figura. 1. 1 Structura zonelor de energie.

Structurile zonelor de energie pentru cele trei categorii de materiale sunt repre­zen­tate in figura 1.1. Intre zona de valenta (A) si zona de conductie (C) se interpune zona interzisa (B).

In cazul materialelor electroizolante, zona interzisa (B) este de latime relativ mare, de ordinul unitatilor sau zecilor de [eV], iar nivelul Fermi se afla la mijlocul acestei zone (fig. 1.1 a). Materialele conductoare pot prezenta fie o zona permisa in care se afla si nivelul limita Fermi, dupa care urmeaza zona de conductie, fie o supra­punere a zonei de conductie cu cea de valenta (fig. 1.1 b). In fine, semiconductorii intrinseci au structura zonelor de energie asemanatoare cu a electroizolantilor, insa zona interzisa este suficient de mica pentru ca la temperatura camerei, sa se obtina o conductie electrica neglijabila sub actiunea unui camp electric exterior.

Un caz aparte il constituie semiconductorii extrinseci, obtinuti prin impurifica­rea celor intrinseci. In functie de natura elementului impurificator, apar nivele de e­ner­­gie suplimentare, in zona interzisa, numite donoare (C_n) si conductia este electro­nica, sau acceptoare (C_p) cand conductia se realizeaza prin goluri.