SIMILITUDINEA SI ANALIZA DIMENSIONALA

SIMILITUDINEA SI ANALIZA DIMENSIONALA

1. Similitudinea

1.1. Aspecte generale

Pentru vizualizarea unor fenomene si procese fizice din domeniul mecanicii fluidelor, obtinerea de rezultate cantitative privind evolutia acestora si, eventual, modificarea ritmului lor de desfasurare, se foloseste modelarea fizica. Aceasta consta din inlocuirea domeniului efectiv de desfasurare a procesului (numit in cele ce urmeaza prototip) cu un domeniu la scara redusa, numit model, in conditiile asigurarii posibilitatii de transpunere a rezultatelor obtinute pe model in cadrul prototipului.

Convertirea rezultatelor experimentale aferente modelului in date caracteristice prototipului se realizeaza prin multiplicarea lor cu coeficienti de scara, definiti ca expresii ale conditiilor de similitudine a modelului cu prototipul.

Conditiile de asemanare a formei frontierelor modelului si prototipului constituie similitudinea geometrica si sunt exprimate prin relatia

(1)

unde l este lungimea, iar indicii 1, 2 se refera la prototip, respectiv model.

Similitudinea cinematica consta din asigurarea asemanarii geometrice a spectrelor liniilor de curent si a proportionalitatii vitezelor in punctele omoloage ale modelului si prototipului. Similitudinea cinematica o inglobeaza pe cea geometrica atunci cand frontiera domeniului miscarii este formata din linii de curent. Conditia de proportionalitate a vitezelor implica introducerea coeficientului de timp

(2)

Similitudinea dinamica impune ca, in puncte omoloage, fortele de acelasi tip sa se afle in raport constant, oricare ar fi cele doua puncte omoloage considerate. Coeficientul de scara pentru forta are expresia

(3)

unde cu f_j, j = 1, 2 s-au notat fortele pe unitatea de volum, deci f_j = m_j a_j/V_j = r_j a_j, iar ecuatia (3) devine

(4)

indicand faptul ca similitudinea dinamica include similitudinea cinematica daca raportul densitatilor C_r r r (numit coeficient de scara pentru densitate) in puncte omoloage este constant.

Conditia de proportionalitate a fortelor de acelasi tip existente in puncte omoloage poate fi exprimata sub forma conditiei de asemanare a poligonului fortelor (inclusiv forta de inertie) din puncte omoloage.

Deoarece ecuatiile de echilibru si de miscare a fluidelor exprima conditia de inchidere a poligonului fortelor, rezulta ca asemanarea poligonului fortelor in puncte omoloage se traduce prin identitatea ecuatiilor de echilibru, respectiv de miscare, pentru model si prototip.

In general, conditia de similitudine a doua procese (prototip si model), indiferent de natura acestora (procese chimice, mecanice, termice, electrice etc.), consta in identitatea ecuatiilor fizice ale modelului si prototipului.

1.2. Criterii de similitudine

Spre exemplificare, se considera cazul studierii pe model a miscarii laminare a unui fluid vascos incompresibil, prezentata din §7.2.1. Conditia de asigurare a similitudinii dinamice se reduce la identitatea ecuatiilor (7.10) pentru prototip si model. Inmultind cu r prima ecuatie (7.10), observand ca termenii 2, 3 si 4 din membrul stang pot fi grupati sub forma si asociind indicii 1 pentru prototip, respectiv 2 pentru model, se pot scrie relatiile

(5)

(6)

Definind coeficientii de scara si inlocuind marimile din ecuatia (5) cu expresiile; r r C_r, v₁ = v₂ C_v, , X₁ = X₂ C_a, p₁ = p₂ C_p, m m C_m, x₁ = x₂ C_l, unde C_v = v₁/v₂, C_a = X₁/X₂ (sau C_a = g₁/g₂ in campul gravitational terestru, cand g este acceleratia gravitationala), C_p = p₁/p₂, C_m m m sunt coeficientii de scara pentru viteza, acceleratie, presiune, respectiv vascozitate dinamica, se obtine forma

(7)

care, identificata cu ecuatia (6), duce la egalitatile

(8)

Relatiile (8) reprezinta conditiile de similitudine dinamica, care grupate astfel

(9)

devin, dupa efectuarea simplificarilor si inlocuirea coeficientilor de scara cu expresiile lor de definitie,

(10)

(11)

Prima relatie (10) exprima conditia de identitate pe model si prototip a raportului dintre fortele de inertie f_ij = r_jv_j/t_j si fortele de frecare f_fj = m_j/l_j t_j (unde j = 1, 2, iar fortele sunt exprimate pe unitatea de volum), raport cunoscut sub numele de numarul Reynolds

(12)

A doua relatie (10) exprima identitatea pe model si prototip a numarului Froude

(13)

definit ca raportul dintre fortele de inertie si fortele gravitationale f_gj = r_j g_j r_j l_j g_j/(v_j t_j).

Prima relatie (11) cere satisfacerea conditiei de identitate a raportului fortelor de presiune f_pj = p_j/l_j si fortelor de inertie f_ij = r_j v_j/t_j = r_j v_j /l_j, raport numit numarul Euler

(14)

A doua relatie (11) reprezinta criteriul de homocronie a miscarilor pe model si prototip, formulat ca o identitate a numarului Strouhal, definit astfel

(15)

Conditia Sh₁ = Sh₂ rezulta, de asemenea, din identitatea ecuatiei de continuitate (4.29) pentru model si prototip.

Marimile Re, Fr, Eu, Sh sunt parametri adimensionali, iar relatiile (10) si (11) reprezinta criteriile de similitudine pentru miscarea laminara, exprimate in functie de aceste marimi.

Satisfacerea simultana a mai multor criterii de similitudine este dificila si, in general, se obtine folosind pe model un fluid cu proprietati fizice diferite de cele ale fluidului de pe prototip.

Pentru a elimina aceste dificultati de modelare fizica, se apeleaza la similitudinea restransa, care consta din compararea ponderilor fortelor din sistem, stabilirea celor predominante si formularea criteriilor de similitudine relative la fortele predominante.

In aceste conditii, se observa ca: numarul Reynolds este criteriul de similitudine restransa la cazul in care fortele predominante sunt cele de inertie si de frecare, numarul Froude exprima similitudinea restransa pentru miscarea fluidelor la care sunt predominante fortele de inertie si cele gravitationale, iar numarul Euler corespunde similitudinii restranse in cazul preponderentei fortelor de presiune si a fortelor de inertie.

Criteriile de similitudine restransa pot fi stabilite si pe baza egalitatii rapoartelor fortelor de acelasi tip, de pe model si prototip.

Daca fortele de inertie f_ij = r_j v_j /l_j si cele interfaciale (sau superficiale) f_{in j} = s_j/l_j², j = 1, 2, sunt predominante, scriind egalitatea rapoartelor lor pe prototip si model

(16)

se ajunge la relatia

(17)

care mai poate fi scrisa sub forma

We₁ = We₂ , (18)

in care

(19)

este numarul Weber, definit ca raport intre fortele de inertie si cele interfaciale, iar s reprezinta tensiunea interfaciala sau, dupa caz, cea superficiala.

Numarul Mach reprezinta radacina patrata a raportului fortelor de compresibilitate si de inertie, avand expresia

(20)

unde v este viteza fluidului compresibil, iar c - viteza sunetului in fluidul respectiv. Identitatea acestui numar in doua puncte omoloage de pe model si prototip constituie criteriul Mach, care reprezinta conditia de similitudine restransa in cazul in care fortele de compresibilitate si fortele de inertie sunt predominante. Tinand seama ca forta de compresibilitate raportata la volum are expresia

(21)

care, in baza relatiei (2.35), devine

(22)

din egalitatea

(23)

rezulta identitatea

(24)

folosita sub forma

(25)

si cunoscuta sub numele de criteriul Mach.

Unele dintre numerele prezentate in acest paragraf stau la baza delimitarii unor tipuri de miscari. Astfel: numarul Reynolds se foloseste pentru a se preciza daca miscarea lichidelor vascoase in conducte este laminara sau turbulenta, numarul Froude delimiteaza, pe baza valorii critice unu, miscarea lenta de miscarea rapida in canale, iar numarul Mach sta la baza clasificarii miscarii gazelor.

2. Analiza dimensionala

2.1. Legea omogenitatii dimensionale

Legea omogenitatii dimensionale se enunta astfel: orice ecuatie obtinuta analitic pentru un fenomen fizic este valabila indiferent de sistemul de unitati de masura considerat. O confirmare plauzibila a acestei legi o constituie faptul ca fenomenele naturale se desfasoara total independent de unitatile de masura concepute de om si, ca urmare, ecuatiile fundamentale corespunzatoare acestor fenomene trebuie sa aiba valabilitatea asigurata pentru orice sistem de unitati de masura. In acest sens, ecuatiile fundamentale ale fizicii fiind dimensional omogene, toate relatiile care deriva din acestea vor fi dimensional omogene, adica toti termenii ecuatiilor respective vor avea aceeasi reprezentare dimensionala.

Ca urmare a acestei cerinte, pentru trecerea de la un sistem de unitati de masura la altul, fiecare termen al ecuatiei fizice respective este multiplicat cu acelasi factor adimensional. Gratie omogenitatii dimensionale, prin impartirea acestei ecuatii la expresia dimensionala a unui termen, termenii ecuatiei devin adimensionali si se numesc grupuri adimensionale.

Legea omogenitatii dimensionale se utilizeaza pentru stabilirea unitatilor de masura ale marimilor derivate intr-un sistem de unitati de masura.

O alta aplicatie importanta a acestei legi consta in stabilirea relatiei dintre variabilele implicate intr-un fenomen fizic, cand, pe baza unor studii experimentale, au fost precizate variabilele respective. Acest lucru se realizeaza printr-un procedeu numit analiza dimensionala, in cadrul caruia evolutia fenomenului fizic este formulata printr-o relatie intre grupuri adimensionale de variabile, in care numarul grupurilor este mai mic decat numarul variabilelor. Avantajele folosirii acestui procedeu constau atat in reducerea numarului de experimente necesare stabilirii relatiei intre variabilele respective intr-un domeniu dat, cat si in simplificarea acestor experimente.

Numarul parametrilor adimensionali independenti care corespund unui fenomen fizic se determina cu ajutorul teoremei p

2.2. Teorema p

Conform teoremei p, stabilita de E. Buckingham in anul 1915, numarul grupurilor adimensionale independente care pot fi folosite pentru descrierea unui fenomen ce depinde de n variabile este egal cu n-r, unde r este numarul marimilor fundamentale necesare exprimarii dimensionale a variabilelor. In cazul sistemelor de unitati de masura restranse la domeniul mecanicii, numarul marimilor fundamentale este r = 3.

Un fenomen fizic care depinde de variabilele q₁, q₂,, q_n este descris de ecuatia

f(q₁, q₂,, q_n) = 0 . (26)

Daca se aleg ca marimi fundamentale variabilele q₁, q₂, q₃ si se admite ca ele au unitatile de masura variabile si egale cu q₁, q₂, q₃, atunci variabilele q₄, q₅,, q_n pot fi exprimate astfel

(27)

unde p_i este un numar adimensional, iar x_i, y_i, z_i sunt exponenti care vor fi determinati ulterior. Se observa ca relatia (27) este valabila si pentru i = l, 2, 3, rezultand p p p = 1, x₁ = y₂ = z₃ = 1, y₁ = z₁ = x₂ = x₃ = y₃ = z₂ = 0.

Tinand seama de omogenitatea dimensionala a ecuatiei (26) si de marimile fundamentale alese, ecuatia (26) este echivalenta cu relatia

f₁(p p p_n , (28)

care se conformeaza teoremei p si are pentru parametrii adimensionali expresia rezultata din formula (27) transcrisa astfel

(29)

Exponentii x_i, y_i, z_i se obtin din ecuatia de dimensiuni

(30)

folosind pentru variabile expresia dimensionala definita in cadrul Sistemului International de unitati (SI).

Ecuatia (28) poate fi scrisa sub forma

(31)

care arata ca, in cazul apelarii la experimente pe model fizic, similitudinea este asigurata prin identitatea ecuatiei (26) pentru model si prototip daca n - 4 parametri adimensionali independenti sunt identici pe model si prototip.

2.3. Aplicatii ale teoremei p

2.3.1. Legea fundamentala a hidrostaticii

Cercetarile experimentale au aratat ca repausul unui lichid incompresibil in camp gravitational este caracterizat printr-o stare de presiune care depinde de densitatea r a lichidului, de acceleratia gravitationala g si de adancimea h.

In aceste conditii, ecuatia (26) ia forma particulara

f(r, g, h, p) = 0 . (32)

Intrucat n = 4 si r = 3, rezulta ca exista un singur parametru adimensional independent care, potrivit relatiei (29), are expresia

(33)

Din identificarea exponentilor relatiei (30), particularizata astfel

se obtine sistemul de ecuatii algebrice

x = 1 , -3 x₄ + y₄ +z₄ = -1 , -2 y₄ = -2 ,

a carui solutie

x = 1 , y₄ = 1 , z₄ = 1 ,

introdusa in relatia (33), duce la expresia

(34)

Pe de alta parte, din ecuatia (31) redusa la forma

(35)

si identificata cu relatia (34), rezulta formula

(36)

care, pentru c = l si p = 0 la h = 0 exprima legea fundamentala a hidrostaticii referitoare la presiunea relativa, formulata prin ecuatia (3.39).

2.3.2. Legea rezistentei opuse unui corp la inaintarea sa printr-un fluid

Prin cercetari experimentale s-a stabilit ca rezistenta R opusa de fluid la inaintarea unui corp depinde de densitatea r a fluidului, de viteza v a corpului si de aria maxima A a sectiunii corpului normale pe directia miscarii.

Conform relatiei (29), singurul parametru adimensional independent are expresia

(37)

in care exponentii x₄, y₄, z₄, rezultati pe baza ecuatiei (30) scrisa sub forma

(38)

sunt solutia sistemului algebric

si au valorile x₄ = 1, y₄ = 2, z₄ = 1. Introducand aceste valori in relatia (37) se obtine

(39)

Ecuatia (31) ia forma particulara (35) care, asociata cu relatia (39), duce la formula

(40)

unde, in realitate, coeficientul de rezistenta la inaintare C nu este constant, ci depinde de vascozitatea m prin intermediul numarului Reynolds, iar in cazul fluidelor cu vascozitate mica exprima atat efectul frecarii in stratul limita, cat si rezistenta de forma, reflectata prin desprinderea stratului limita.

2.3.3. Legea variatiei efortului tangential la perete in cazul miscarii unui fluid vascos printr-o conducta

Cercetarile experimentale au dovedit ca, in cazul miscarii unui fluid vascos incompresibil printr-o conducta de sectiune circulara, miscarea depinde de densitatea r, viteza medie v, diametrul d, efortul unitar tangential la perete t_p si rugozitatea echivalenta k.

In aceste conditii, ecuatia (26) imbraca forma

careia ii corespunde relatia (31), particularizata astfel

p = F(p p ) , (41)

unde cei trei parametri adimensionali au expresiile

(42)

Apeland la relatia (29) se pot scrie egalitatile

(43)

care conduc la urmatoarele trei sisteme de ecuatii algebrice

x = 1 , -3 x₄ + y₄ + z₄ = -1 , -y₄ = -2 ;

x = 1 , -3 x₅ + y₅ + z₅ = -1 , -y₅ = -1 ;

x = 0 , -3 x₆ + y₆ + z₆ = 1 , y₆ = 0 ,

ale caror solutii

x = 1 , y₄ = 2 , z₄ = 0 ,

x = 1 , y₅ = 1 , z₅ = 1 ,

x = 0 , y₆ = 0 , z₆ = 1 ,

introduse in expresiile (29) definesc parametrii adimensionali astfel

(44)

Ca urmare, prin substituirea parametrilor adimensionali in ecuatia (41), se obtine formula efortului unitar tangential la peretele conductei

(45)

unde

(46)

si se numeste coeficientul de rezistenta hidraulica al lui Fanning.

3. Probleme

1. O parasuta de forma emisferica, de care este suspendat un colet, coboara spre suprafata solului, in conditii de echilibru dinamic, cu viteza v = 4,5 m/s. Cunoscand: greutatea totala a sistemului parasuta-colet G = 1,2 kN, presiunea si temperatura aerului atmosferic p = 750 torr, respectiv T = 283,15 K, constanta universala a gazelor R_u = 314,3 J/(kmol·K), masa molara a aerului M_a = 28,9 kg/kmol, precum si valoarea coeficientului de rezistenta la inaintare C = 1,33, se cere sa se calculeze diametrul parasutei.

Rezolvare

Forta de rezistenta la inaintare are expresia (40), in care aria emisferei este A = pd /2. Conditia de echilibru dinamic al parasutei implica R = G, deci se poate scrie ecuatia

din care se exprima diametrul parasutei sub forma

Densitatea aerului poate fi aflata din ecuatia de stare a gazelor reale

in care Z 1, deoarece p si T au valori apropiate de cele aferente starii normale.

Se obtin astfel valorile: