Creeaza.com - informatii profesionale despre
Simplitatea lucrurilor complicate - Referate profesionale unice
Acasa » referate » matematica » statistica
Bazele statisticii datelor experimentale

Bazele statisticii datelor experimentale



Bazele statisticii datelor experimentale

      1. Erori de masurare

      1.1. Generalitati, terminologie, clasificare

      Dat fiind faptul ca orice masurare este in sine rezultatul nemijlocit al unei experiente fizice, nu poate fi evitata aparitia denaturarilor denumite erori .

      Caracteristica unei masurari exprimand abaterea rezultatului masurarii fata de valoarea masurandului se numeste eroare de masurare ( E ) :

       =    unde:

       – valoarea  exprimata de rezultatul masurarii

       - valoarea masurandului

Prin masurand se intelege marimea masurata ( STAS 2872 – 74 ).

      In tehnica de masurat se opereaza cu urmatoarele notiuni:

      Precizia de masurare ( P ) care este caracteristica unei masurari exprimand calitatea acesteia in ceea ce priveste gradul de afectare a rezultatelor masurarii cu erori de masurare. Cantitativ, precizia se poate exprima ca inversul modulului erorii relative ( de ex. realizandu-se o masurare cu o eroare relativa de           , precizia de masurare va fi  ).

      Imprecizia de masurare    este eroarea de masurare globala, insumand rezultanta erorilor sistematice si valoarea limita a erorilor aleatorii (intamplatoare).

      Incertitudinea masurarii      este eroarea de masurare egala cu valoarea limita a erorilor aleatorii.

      In cazul eliminarii erorilor sistematice prin aplicarea corectiilor, imprecizia de masurare devine egala cu incertitudinea masurarii.

      Repetabilitatea masurarii       este precizia de masurare care caracterizeaza rezultatele masurarii repetate a aceluiasi masurand, in conditii practic identice, facandu-se abstractie de erorile sistematice.

      Prin reproductibilitatea masurarii    se intelege precizia de masurare care caracterizeaza rezultatele masurarii aceluiasi masurand in conditii diferite ( in locuri diferite, la date diferite, cu mijloace sau metode diferite etc. ) . Rezultatul unei masurari afectate de erori trebuie corectat, prin corectia ( C ) intelegandu-se valoarea care trebuie sumata algebric cu rezultatul brut al masurarii.

      Daca se reprezinta grafic relatia functionala corectie – valoarea masurandului pe intregul domeniu al intervalului de masurare se obtine curba de corectie .

      Sumand ansamblul erorilor datorate componentelor functionale care alcatuiesc un mijloc de masurat, sau pe cele datorate masurarii directe a componentelor in cazul unei masurari indirecte, se obtine eroarea rezultanta   . Astfel de ex. , sumand eroarea termocuplei cu cea a milivoltmetrului la masurarea temperaturii se va obtine eroarea rezultanta.

      Greseala de masurare este o decizie eronata obtinuta datorita erorilor care afecteaza o masuratoare.

      Daca la masurare se respinge o ipoteza corecta vorbim de o greseala de speta I-a iar cand se accepta o ipoteza falsa, greseala de speta a II-a .

      Clasificarea erorilor poate fi facuta dupa mai multe criterii si anume :

a)         dupa structura statistica a erorilor

b)         dupa modul de exprimare matematic

c)         dupa regimul masurandului

d)        dupa dependenta fata de masurand

e)         dupa tipul operatiilor metrologice

f)          dupa sursele de erori

In cele ce urmeaza detaliindu-se fiecare tip de erori :

      a) Erorile se grupeaza dupa structura lor statistica astfel :

      a.1. Erori aleatorii ( intamplatoare - ) sunt erori care variaza imprevizibil atat ca valoare absoluta cat si ca semn, atunci cand se masoara repetat acelasi masurand, in conditii practic identice.

      a. Erori sistematice (  ) care raman constante, atat ca valoare absoluta cat si ca semn atunci cand se masoara repetat acelasi masurand in conditii practic identice, sau care variaza pe baza unei legi definite cand conditiile se modifica.

      a.3. Erori grosolane ( parazite ) sunt erori care depasesc considerabil cele mai probabile specifice conditiilor date de masurare.

      b) Dupa modul de exprimare matematica deosebim :

      b.1. Erori absolute ( E ) care sunt reprezentate de diferenta algebrica dintre valoarea exprimata de rezultatul masurarii si valoarea masurandului.

      b. Erori relative     date de raportul dintre eroarea absoluta si valoarea masurandului utilizata pentru calculul acesteia.

      b.3. Erori raportate   obtinute ca raport dintre eroarea absoluta si o anumita valoare stabilita prin specificatii .

      Valoarea de la numitorul erorii raportate poate fi intervalul de masurare, limita superioara a intervalului de masurare, lungimea scarii gradate etc. .

      c) Din punct de vedere al regimului masurandului distingem :

      c.1. Erori statice  care rezulta la un regim stationar constant al masurandului.

      Regimul stationar al masurandului corespunde situatiei in care derivatele acestuia in raport cu timpul sunt egale cu zero.

      c. Erori dinamice     care rezulta la un regim variabil al masurandului.

      Erorile dinamice sunt determinate atat de caracteristicile mijloacelor si metodelor de masurat utilizate, cat si de natura variatiilor masurandului.

      d) Din punct de vedere al dependentei fata de masurand avem :

      d.1. Erori aditive ale caror marimi nu depind de valoarea masurandului.

      In aceasta categorie pot intra de exemplu erorile determinate de deplasarea nulului unui instrument de masurat.

      d. Erori multiplicative ale caror valori depind de valoarea masurandului.

      In cazul general eroarea multiplicativa este egala cu un produs in care unul din factori reprezinta valoarea masurandului.

e)     Din punct de vedere al operatiilor metrologice distingem :

      e.1. Erori de atribuire   in categoria carora intra erorile de masurare specifice operatiei prin care unui mijloc de masurat i se atribuie caracteristica de convertire dintre masurand si semnalul de iesire prin intermediul caruia se reprezinta informatiile de masurare.

Eroarea de atribuire nu trebuie a se confunda cu eroarea de trasare a scarii gradate.

      e. Erori de calibrare      care rezulta la ajustarea unui mijloc de masurat sau la determinarea valorii nominale a unei masurari.

      e.3. Erori de verificare     obtinute la verificarea unui mijloc de masurat.

      e.4. Erori de etalonare     care se obtin la verificarea unui mijloc de masurat etalon.

      f) Dupa sursele de erori se deosebesc :

      f.1. Erori de model care se datoresc imperfectiunii ( eronarii ) modelului asociat masurandului. Ele sunt determinate si de aceea ca valoarea masurata nu este reprezentativa pentru procesul investigat ( de pilda viteza masurata in stratul limita nu este reprezentativa pentru viteza de curgere a fluidului printr-o conducta ).

      f. Erorile de interactiune care se datoresc influentelor pe care mijloacele de masurat sau operatorul uman le exercita asupra masurandului.

     Astfel de pilda, prezenta unor termocuple insuficient miniaturizate in campul termic propriu unei placi poate conduce la deranjarea acestuia si la o distributie modificata a temperaturilor.

      f.3. Erorile instrumentale sunt determinate de ansamblul abaterilor datorate mijloacelor tehnice prin intermediul carora se obtin informatii de masurare.

      Astfel de exemplu, contactul dintre traductor si masurand precum si transmiterea si prelucrarea semnalului se face de multe ori cu consum de energie pe seama fenomenului investigat. Jocurile, frecarile dintre mecanismele instrumentelor constituie de asemenea surse de erori.

      f.4. Erorile de metoda constituie acea clasa de erori care se datoresc imperfectiunii metodelor utilizate pentru obtinerea informatiilor de masurare.

      f.5. Erorile datorate operatorului uman au in vedere imperfectiunile proprii observatorului, organele de simt ale acestuia putand fi mai mult sau mai putin sensibile, mai mult sau mai putin rutinate in citirea unui aparat. Din acest motiv, acelasi aparat poate fi „citit” diferit de diferiti observatori. Mai mult decat atat, datorita subiectivismului observatorului, aceeasi marime poate fi apreciata diferit la masurari repetate, dupa gradul de concentrare al observatorului, oboseala pe care acesta o resimte etc.

      Simpla trecere in revista a tipurilor de erori de masurare pun in evidenta faptul ca schema de masurare idealizata prezentata anterior trebuie completata cu influentele unor perturbatii sau inexactitati generatoare de erori. Astfel sistemul de masurat real poate fi schitat printr-o schema de principiu de forma celei prezentate in fig.1.a, care se detaliaza ca schema bloc in fig.1.b. In fig.1.c si 1.d se exemplifica un sistem real de masurat privind evaluarea temperaturii cu ajutorul termocuplei ( schema de principiu si schema de bloc ) .

 

fig.1.a   Schema de principiu a unui sistem de masurat afectat de erori

    

fig.1.b   Schema bloc a unui sistem de masurat afectat de erori

fig.1.c  Masurarea temperaturii unui fluid


fig.1.d   Schema bloc pentru masurarea temperaturii unui fluid

  Erori intamplatoare

      1. Generalitati :

Aparitia unei erori intamplatoare se poate reprezenta intr-o schema bloc ( fig.2 ) . Indicatia   a aparatului de masurat cuprinde suma marimii  si marimea perturbatiei  . Marimea perturbatoare este functie de timp, neperiodica adica intamplatoare. Intr-un caz general de masurare a unei marimi dinamice x ce este de asemenea dependenta de timp, perturbatiile se pot reduce prin filtrare, in cazul in care spectrele lui x si  z  se afla in domenii de frecventa diferite. La o masurare statica (xfiind constant) avem un filtru, trece jos si perturbatia se micsoreaza cu atat cu cat latimea benzii trece jos este mai mica. Cu alte cuvinte filtrul trece jos conduce la obtinerea unei valori medii.

fig.2  Schema privind aparitia unei erori intamplatoare

      Daca indicatia  nu se urmareste in mod continuu in timp ci se fac doar citiri periodice de durata scurta, atunci aceasta observare in sens statistic conduce la o proba de sondaj. Calculul uzual al erorilor se bazeaza pe luarea in considerare si prelucrarea unui numar de asemenea si mai ales a determinarii valorilor medii ale acestor sondaje.

       Distributia de frecvente si functia densitatii de frecventa

      Un sistem se afla in stare cvasi-stationara  : Se masoara de n ori un anumit parametru al sistemului si se elaboreaza reprezentarea din fig.3. in care este redata distributia a n masuratori ale unei caracteristici.


fig.3 Distributia a n masurari

      Scara de valori se imparte in intervale   unde  este latimea clasei de valori. Deasupra fiecarui interval se marcheaza numarul de masurari din acel interval. Desi valorile individuale sunt absolut intamplatoare, in distributia lor se pot recunoaste foarte des unele legitati.

     Definind frecventa  F sau frecventa relativa f se poate obtine dupa reprezentarea din fig.3. distributia frecventei marimilor masurate .    

      F =                (1)

      f       (2)

fig.4 Distributia frecventei marimilor masurate

      Pentru un numar mare n si  foarte mic histograma se apropie de o curba continua.

      In fig. 5. se indica limita de trecere de la frecventa la densitate de frecventa si anume :

      pentru       astfel ca    (3) 

      unde f este functia  densitatii de frecventa.

fig.5 Frecventa si densitatea de frecventa

3. Proprietati ale functiei densitatii de frecventa  

      Pe baza definitiei de mai sus exista urmatoarea corelatie :

                    ( 4 ),   

        ( vezi fig.6 )

fig.6. Curba functiei densitatii de frecventa

      In mod special pentru intreaga suprafata avem :

                                                       (5)

      De multe ori este important sa se cunoasca aportul in sirul de masurari al acelor masurari care se situeaza deasupra sau sub o anumita valoare limita.

      Prin integrare pe intervalul limita se obtine (vezi fig.7)

fig.7. Zonarea curbei densitatii de frecventa

                              (6)

      Functia repartitiei densitatii de frecventa este pentru valori mari ale lui  n  practic independenta de  n .

      Distributia Gauss este proprie cazurilor in care marimea masurata poate lua valori de la - la +, ea fiind obtinuta ca rezultat al unor influente intamplatoare, fig.8.

fig.8. Curba de distributie Gauss

      In cazul efectuarii unor masurari apar foarte des distributii ale rezultatelor care se incadreaza in distributia Gauss. Aceasta se intampla si in cazul in care se suprapun diferite influente intamplatoare. Astfel, de exemplu daca se arunca un zar de  n  ori atunci fiecare valoare intre 1 si 6 are aceeasi frecventa de aparitie neexistand distributia Gauss ( fig.9.a ) .

      Daca se arunca 2, 3 sau mai multe zaruri deodata tot de  n  ori si se ridica distributia frecventei sumei cifrelor de pe fete la fiecare aruncare, atunci se poate observa ca suma evenimentelor ( care in parte nu au distributia Gauss ) tinde din ce in ce mai mult spre o distributie Gauss.

      In afara distributiei Gauss de care ne vom ocupa in continuare in teoria probabilitatilor se mai opereaza in distributia log-normata, Beta, Gamma,  si Student.

fig.9 Obtinerea curbei de distributie normala ( Gauss )

  

      4. Proprietatile distributiei normale ( Gauss )          

Functia densitatii de frecventa  pentru distributia Gauss se caracterizeaza prin urmatoarea relatie de definitie : 

                       (7)

astfel ca  f va fi cunoscuta prin doi parametrii si anume :  valoarea medie    presupusa a fi valoarea efectiva a masurandului si eroarea medie patratica  a unei masurari singulare dintr-o serie de masurari cunoscuta si sub numele de eroare standard sau dispersie statistica :

                           (8)

      Din analiza curbei distributiei normale de frecventa  ( fig.8 ) rezulta urmatoarele proprietati :

      - distributia Gauss admite ca asimptota axa absciselor pentru

      - valoarea maxima pentru functia densitatii de frecventa se obtine la   si anume :

        valoarea medie fiind cea mai frecvent intalnita in sirul de masuratori.

-                      punctele de inflexiune se obtin pentru  

In figura 10 se prezinta curbe de distributii caracterizate de doua dispersii statistice distincte.

fig.10 Curbe normale de distributie cu diferite dispersii statice

      Pentru simplificarea rationamentelor se normeaza curba distributiei normale prin  obtinandu-se astfel numai o singura curba.

      Astfel distributia normala poate fi caracterizata sintetic de urmatorii parametrii:

         -  aleasa ca variabila independenta.

      y =  - denumita densitate de frecventa normata din care : 

                                    ( 9 )

      In fig. 12 se prezinta curba normata a distributiei de frecventa pentru care avem :

         punctul de inflexiune fiind propriu pentru      la care    

                                                                                                       

          5. Functia suma de frecvente

      Reprezentarea unei serii de masurari  prin distributia de frecventa este intuitiva dar din pacate nepotrivita pentru calcule, in acest scop utilizandu-se densitatea de frecventa integrata a carei curba  de reprezentare este cunoscuta sub numele de curba distributiei frecventelor sumate.

      In fig. 11 se prezinta distributia discreta a frecventelor si curba frecventelor sumate, iar in fig.12 sunt redate functiile  y  si  S prin valorile ce le caracterizeaza.

fig.11 Distributia discreta a frecventelor si curba frecventelor sumate

  Cateva din principalele valori ale functiei   S    sunt redate in tabelul ce urmeaza :      

     

x-

-

-

0

+

+

-

-1

0

+1

+

S

0

0,1585

0,5

0,8415

1,0

      Daca se da variatia unei marimi masurate intr-un interval oarecare ( vezi fig. 13 ) dupa aceasta se pot determina functia frecventelor sumate , valoarea medie si dispersia .

fig.12 Functiile Y si S   

fig.13 Procedeu de determinare a functiei S

         Frecventa sumata poate fi determinata ca raportul intervalelor in care marimea investigata se gaseste sub valoarea x si durata totala a intervalului :  

                 S        ( 11 )

      Pentru comoditatea si operativitatea calculelor functie suma   S   poate fi  reprezentata intr-o scara neliniara aleasa astfel ca graficul de forma unei drepte ca in fig.14 cunoscuta sub numele de fisa a frecventelor sumate. Cu ajutorul fisei se poate stabili daca masuratorile dintr-un anumit sir se supun distributiei normale, astfel : pentru diferite intervale de observatie  se determina valorile                              S ,S ,… S  ca mai sus. Daca acestea se distribuie functie de  dupa dreapta din figura  (  fiind media intre valorile extreme pentru intervalul „i” de observatie ) , masurarile se supun distributiei normale . Daca dispunem de un singur interval de observatie functia suma proprie acestuia trebuie sa se plaseze in apropierea  dreptei din fig.14. Totodata cu ajutorul fisei pentru o anumita functie  S  obtinuta la masurari se poate stabili valoarea medie    si dispersia   

fig.14 Fisa frecventelor sumate

   

  6. Frecventa si probabilitate  

      Pentru un numar relativ mare de valori masurate frecventa    a valorilor masurate in intervalul   devine in mod asimptotic probabilitatea acestei intamplari

                        ( 12 )

      Daca se cunoaste distributia unui sir de masurari atunci poate fi evaluata aproximativ probabilitatea repartitiei unei valori intr-un interval dat.

      Pentru distributia normala sunt valabile urmatoarele marimi :

     

 x

p =

0,68

0,945

0,987

0,999

x-

p =

0,32

0,045

0,013

0,001

      Este de observat ca cea mai mare densitate de frecventa corespunde densitatii maxime de probabilitate.

      In cazul distributiei Gauss densitatea maxima de frecventa se inregistreaza la   x = . De aici concluzia ca media aritmetica este valoarea cea mai probabila a marimii masurate

               ( 13 )

      Dat fiind faptul ca alura curbei normale este dependenta nemijlocit de dispersia   , putem conchide ca dispersia statica este un indice cantitativ care caracterizeaza erorile intamplatoare .

      De observat ca asa cum se poate demonstra teoretic eroarea medie patratica a valorii medii a sirului

sau  este :        ( 14 )   

relatie ce permite sublinierea necesitatii efectuarii unui numar suficient de masurari in cazul experimentelor de precizie. Din fig. 15 se constata ca cu cat numarul masuratorilor este mai mare, raportul   isi reduce valoarea .

fig.15 Variatia erorii medii patratice a mediei sirului de masurari

      7. Erori limita, erori mijlocii si probabile ale unei masurari individuale si ale mediei sirului de masurari

      In tehnica metrologica se opereaza frecvent fie cu eroarea limita a unei masurari singulare dintr-o serie de masurari  precum si cu eroarea limita a mediei sirului de masurari   .

      Valoarea extrema  a erorilor aleatorii ce pot afecta rezultatul unei masurari singulare dintr-o serie de masurari este :   

                             ( 15 )

unde  t  este un coeficient de amplificare care se alege in functie de nivelul de incredere adoptat si legea de repartitie a erorilor specifice cazului respectiv.

      Prin nivelul de incredere al masurarii    sau nivel de confienta se intelege probabilitatea cu care se poate afirma ca intr-o serie de masurari o anumita eroare aparenta nu va depasi eroarea limita determinata pe baza acestui nivel de incredere.

      Astfel de exemplu in masurarile de precizie cea mai ridicata se recomanda sa se adopte un nivel de incredere    ( 3  in cazul repartitiei normale ) iar in masurarile uzuale   Alegerea nivelului de incredere este o problema de decizie statistica care admite o solutie optima daca se iau in considerare costurile greselilor de masurare si costul efectuarii unei masurari in functie de precizie.

      Valorile factorilor de amplificare  t  sunt redate in tabelul ce urmeaza, pentru repartitia Student, apropiata de cea normala, si cu care se poate opera in tehnica, conform datelor continute in STAS 2872-74

Numarul masurarilor

n

T

t

t

3

1,32

4,3

19,2

4

1,20

3,2

9,2

5

1,15

2,8

6,6

6

1,11

2,6

5,5

8

1,08

2,4

4,5

10

1,06

2,3

4,1

20

1,03

2,1

3,4

30

1,02

2,05

3,3

50

1,01

2,0

3,16

100

1,00

2,0

3,1

200

1.0

1,97

3,04

      In cazul unei repartitii normale in situatia ca numarul masurarilor depaseste cifra 10 se poate accepta intr-o prima aproximatie ca  t = 3  si deci    pentru aceasta, asa cum s-a mai spus, asigurandu-se

      Valoarea extrema a erorilor aleatorii ce pot afecta media aritmetica obtinuta pe baza rezultatelor unei serii de masurari este :

                  

      Este de remarcat ca, in cele mai multe situatii valoarea adevarata a masurandului nu este cunoscuta, luandu-se in locul ei valoarea medie    ca fiind cea mai apropiata valoare de cea adevarata. Erorile valorilor masurate calculata fata de aceasta valoare poarta numele de erori aparente    (STAS 2872-51) care se bucura de urmatoarele proprietati :

      1. Suma algebrica a erorilor aparente este egala cu zero. Proprietatea poate fi folosita pentru controlul calcularii exacte a valorii medii, admitandu-se o mica diferenta numai cand valoarea medie s-a calculat cu aproximatie.

       Suma patratelor erorilor aparente are o valoare minima .

      Aceasta inseamna ca daca in loc de valoarea medie vom lua o valoare oarecare si vom calcula diferentele valorilor masurate individuale fata de aceasta valoare, atunci suma patratelor acestor diferente va fi totdeauna mai mare decat suma patratelor erorilor aparente.

      Aceasta proprietate constituie principiul metodei celor mai mici patrate si motiveaza luarea in considerare a valorii medii pentru care suma patratelor erorilor este minima .

      Se mentioneaza ca in cazul cresterii nelimitate a numarului de masurari, valoarea medie ( media aritmetica ) devine egala cu valoarea adevarata a marimii de masurat iar erorile aparente devin egale cu erorile intamplatoare corespunzatoare .Aceasta confirma ca toate presupunerile pur teoretice facute asupra erorilor intamplatoare pot fi aplicate si la erorile aparente, in cazul unui numar destul de mare de masurari .

      In afara erorii medii patratice si a erorii limita in tehnica metrologica se mai opereaza si cu erori medii si probabile ale caror definitii si valori, pentru distributia normala ( Gauss ) vor fi prezentate in cele ce urmeaza :

      Eroarea medie   a unei valori masurate ( individuale ) dintr-un sir de masurari efectuate in aceleasi conditii este data de relatia :

                    ( 16 )

Eroarea medie se leaga de eroarea medie patratica prin relatia :

                                   (17)

       Eroarea medie    se utilizeaza la masurari de precizie cand se banuieste existenta unor erori sistematice. Nu trebuie confundata eroarea medie    a valorilor masurate ale sirului, cu eroarea intamplatoare a valorii medii a sirului ; trebuie observat ca la    se face media aritmetica a valorilor absolute ale erorilor intamplatoare pe cand pentru eroarea medie a sirului se face media aritmetica a erorilor intamplatoare tinandu-se seama de semnul fiecareia.

      Eroarea probabila    a unei valori masurate dintr-un sir de masurari efectuate in aceleasi conditii este valoarea care are posibilitati egale de a fi sau nu depasita de valorile absolute de erorile intamplatoare . Pentru aceasta eroare numarul erorilor care se afla intre   este egal cu numarul erorilor aflate in afara acestora.

     

      Daca erorile se distribuie dupa curba lui Gauss :

             ( 18 ) 

      Relatiile date anterior pentru    si pentru   si    se pot folosi numai in cazul cand valoarea adevarata a marimii care se masoara se poate considera cunoscuta.

      Aceasta se poate intampla de exemplu la compararea etaloanelor  de verificare cu etaloane principale, unde in anumite conditii acestea  din urma se pot socoti ca au valori adevarate. In majoritatea cazurilor masuratorilor, valoarea adevarata a marimilor ce se masoara este necunoscuta. Din aceasta cauza nu se cunosc nici erorile intamplatoare  . in acest caz erorile mijlocii   ,  si   se exprima prin erorile aparente  care se pot calcula direct din datele experimentale detinute.

      Erorile mijlocii se exprima in erori aparente prin formulele :

                                    ( 19 )

                    ( 20 )

                    ( 21 ) 

Sau se poate calcula cu relatia :

                                                                        ( 22 )

Pentru    se va face calculul cu cele doua formule. Daca se obtin diferente mari se poate banui existenta unor erori sistematice.

      Relatiile de mai sus reprezinta erori ale valorilor individuale dintr-un sir de masurari efective. In practica insa se cere sa se dea cea mai sigura valoare a marimii masurate si in acelasi timp sa se arate si ce eroare s-a facut.

      Pentru evaluarea preciziei rezultatului, in mod asemanator cu erorile limita, mijlocii si probabile ale valorilor individuale ale sirului, se folosesc si aici ca parametrii de precizie erorile limita, mijlocii si probabile ale valorii medii a sirului de masurari.

      Daca se dispune numai de erorile aparente

                                                           ( 23 )

cu ajutorul careia se va determina eroarea limita anterior definita.

      Eroarea probabila a valorii medii a sirului notata cu  R  este catul prin     al erorii probabile  a unei valori masurate.

      Cand erorile se distribuie dupa curba lui Gauss :

            ( 24 )

      Eroarea medie  T  a valorii medii a sirului  este prin analogie

                           ( 25 )

      Pentru aprecierea preciziei rezultatului se foloseste, in mod obisnuit eroarea probabila  R  si eroarea limita.

      Eroarea medie patratica    nu se foloseste in acest scop, iar eroarea medie  T  foarte rar.

      Din relatiile de mai sus reiese  ca cu cat se mareste numarul de masurari cu atat erorile limita  mijlocii si probabile ale valorii medii a sirului  devin tot mai mici, media aritmetica tinzand spre valoarea efectiva a masurandului. Aceasta este valabila numai cand erorile sistematice sunt excluse.

      In realitate este imposibil sa se elimine cu desavarsire erorile sistematice ; totdeauna exista erori sistematice remanente, erori ce raman si dupa introducerea corectiilor, deoarece corectiile insesi au erori.

      In aceeasi categorie se pot ingloba si unele erori de instalare a caror excludere totala este foarte dificila, cum si erorile de metoda de care este greu sa se tina seama.

      Oricat se mareste numarul de masurari , erorile sistematice remanente nu pot fi evitate. De asemenea cu cat numarul de masurari este mai mare  cu atat este mai greu sa se asigure aceleasi conditii de masurare iar daca nu s-a tinut cont atent de aceste conditii, rezultatul obtinut este mai putin cert decat daca s-ar fi facut mai putine masurari dar atente.

      In mod obisnuit si pentru a se putea aplica relatiile din teoria erorilor, in tehnica se fac cel putin  zece masurari.

      In cazul cand numarul masurarilor este mai mic de zece, erorile limita, mijlocii si probabile au o valoare destul de aproximativa si nu pot servi ca si caracteristici precise ale procesului de masurare.

      3. Erori sistematice

      3.1. Generalitati, clasificare

      Erorile sistematice sunt erorile al caror caracter si marime sunt cunoscute. Ele intra in rezultatul masurarilor ca marimi constante si cu acelasi semn, sau ca marimi variabile, a caror variatie are loc dupa o lege anumita. Eroarea sistematica poate fie valoarea unei masurari, fie indicatia unui aparat de masurat.

      Clasificarea erorilor sistematice poate fi efectuata dupa urmatoarele categorii :

a)         – erori constante

- erori variabile :  - erori progresive

                                                     - erori periodice

      Erorile constante isi pastreaza sensul si valoarea in timpul masurarilor ( ex. eroarea unei rigle la care primul milimetru s-a trasat mai lung ) .

      Erorile progresive : sunt caracterizate de cresteri sau scaderi continui in timpul masurarii. In aceasta categorie se incadreaza erorile unui subler care are fiecare dimensiune mai mare sau mai mica cu cativa microni. Daca fiecare diviziune ar fi mai mare cu  ,atunci lungimea reala  x  corespunzatoare unei citiri    ar fi :

            x = (1+) =                                               ( 3.1 )

      Erori periodice : sunt erorile ce-si schimba periodic valoarea si semnul. Asa de exemplu, un cronometru cu acul excentric pe orizontala la fix indica mai mult, la un sfert exact, la 1/2 si la 3/4  exact.

b)    Dupa cauzele ce le provoaca se indica urmatoarele tipuri de erori sistematice :

      Erori instrumentale :provocate de deficientele constructive ale aparatelor de masurat. De exemplu masurarea unei temperaturi cu un termometru cu punctul 0 deplasat conduce la aparitia de erori instrumentale.

      Erori de instalare legate de instalarea sau reglarea incorecta a aparatului de masurat cum si de modificarea conditiilor exterioare ( temperatura, presiune, umiditate, campuri magnetice si electrice etc. ). De exemplu, asezarea unei balante fara a se tine cont de nivela, formarea unor bucle la conductori prin care trec curenti puternici si care pot genera campuri magnetice care sa influenteze instrumentul de masurat etc.

      Erori personale sunt cele provocate de particularitatile proprii fiecarui observator ; de exemplu erorile de apreciere a fractiunilor de diviziune marcate de un ac indicator.

      Erori de metoda sunt provocate de insasi metoda de masurare prin necunoasterea ei suficient sau prin cunoasterea insuficienta a fenomenelor care insotesc masurarea. In aceasta categorie intra erorile inregistrate la masurarea rezistentei electrice cu voltmetrul si ampermetrul cand nu se tine cont si de rezistenta interioara a aparatelor in raport de  tipul conexiunilor.

      Erorile sistematice, caracterizate prin repetabilitatea si semnul lor nu se pot determina strict numai cu ajutorul instalatiei de masurat, fiind necesara etalonarea acesteia.

      La etalonare marimea masurandului  x  trebuie sa fie cunoscuta , ea determinandu-se de regula cu ajutorul unui mijloc etalon.

      Eroarea sistematica    afectata de semn se determina din relatia :

                                                                               ( 3.2 )

      unde   este valoarea medie a masurandului determinata la masurarea obisnuita si  valoarea medie obtinuta la evaluarea masurandului cu ajutorul mijlocului etalon de masurat, sau valoarea masurandului care este el in sine un etalon.

      Se opereaza cu parametrul    pentru o reducere substantiala a influentelor erorilor intamplatoare.

      Uneori in locul erorii sistematice se utilizeaza corectia  definita prin relatia :

                                                                                  ( 3.3 )

      Si in cazul etalonarii trebuie avuta in vedere eroarea medie patratica a marimii masurate     sau   astfel ca eroarea sistematica    va fi afectata de catre  .

      Pentru un aparat de masurat eroarea    este o functie a marimii de masurat, aparatul trebuind a se etalona pe intregul domeniu.

      In concluzie, utilizand un mijloc de etalonare, pe baza unei diagrame de tipul celei din fig.16 pot fi cunoscute erorile sistematice proprii mijlocului de lucru.

fig.16 Diagrama de etalonare pt. determinarea erorilor sistematice

      3. Procedee de eliminare a erorilor sistematice

      Pe langa metodele generale legate de eliminarea erorilor sistematice, metode care au in vedere in primul rand etalonarea ingrijita a aparatului, apoi instalarea corecta, evitarea erorilor de paralaxa, efectuarea observatiilor cand observatorul este odihnit etc. , exista o serie de metode specifice dintre care amintim urmatoarele :

      Metoda substitutiei cunoscuta si sub numele de metoda Borda are ca scop eliminarea erorii sistematice provenite din lipsa de egalitate riguroasa a lungimii bratelor unei balante cu brate egale.

      Masa  X  se echilibreaza cu greutati de tara T  existand relatia :

                                                                                ( 3.4 )

Pe acelasi taler se plaseaza masa  M  pana ce

                                                                               ( 3.5 )

      In acest caz  X = M – inlaturandu-se eroarea sistematica datorita bratelor inegale. Metoda serveste la eliminarea erorilor sistematice constante.

      Metoda opozitiei : masurarea se aranjeaza de asa maniera ca abaterile introduse de un factor sa apara odata cu semnul + si odata cu semnul - ,adica acest factor sa exercite actiuni contrarii asupra rezultatului.

      De exemplu, pentru eliminarea erorilor sistematice introduse de jocurile suruburilor micrometrice de la dispozitivelor de masurare optice, se citeste actionand in doua sensuri opuse de rotire a surubului. Un alt exemplu este ilustrat prin metoda dublei cantariri a lui Gauss. Se aseaza masa de cantarit pe un taler al balantei si se echilibreaza cu masa  M :

                                                                               ( 3.6 )

Se muta masa  X  pe celalalt taler si se echilibreaza cu   :

               sau                                       ( 3.7 )

Se impart relatiile :

                                                ( 3.8 )

     

sau cu o aproximatie suficienta :  

                                                                           ( 3.9 )

      Metoda opozitiei serveste tot pentru determinarea erorilor sistematice constante.

      Pentru eliminarea erorilor sistematice variabile si anume a celor progresive, se recomanda folosirea metodei observatiilor simetrice . Pentru aceasta se dispun masurarile in asa fel ca media aritmetica a observatiilor dispuse simetric sa se egaleze intre ele, in care caz eroarea progresiva va fi eliminata.

      Presupunem ca la o cantarire raportul bratelor se modifica aproximativ proportional cu timpul ( de ex. din cauza incalzirii neuniforme a bratelor ) .

      Se fac patru cantariri consecutive folosindu-se metoda substitutiei, apoi se echilibreaza masa  x  cu tara  T :

                                                                 ( 3.10 )

      Se inlocuieste  X  cu greutatile cunoscute  M :

                                                                ( 3.11 )

      Repetand cantarirea observam ca echilibrul s-a stricat, deoarece s-a schimbat raportul bratelor. Pentru restabilirea de echilibru avem :

                                                          ( 3.12 )

      Daca se echilibreaza tara  T  cu masa  X :

                                                           ( 3.13 )

Se calculeaza media aritmetica intre prima si ultima cantarire :

                                                 ( 3.14 )

apoi intre a 2-a si a 3-a cantarire :

                                               ( 3.15 )

     Daca se compara aceste medii si se considera ca datorita  simetriei observatiilor:

                                                           ( 3.16 )

vom obtine un rezultat lipsit de eroare progresiva :

                                                                                    ( 3.17 )

      Metodele enumerate mai sus nu reprezinta toate posibilitatile de eliminare a erorilor sistematice. Problema eliminarii acestor erori necesita o analiza temeinica atat a conditiilor de masurare cat si a datelor obtinute, in acest sens o mare influenta avand experienta si priceperea observatorului. Erorile sistematice sunt cu atat mai periculoase cu cat nu se banuieste existenta lor, distributia diferita de cea normala facand susceptibila masurarea de erori sistematice.

   

  4. Greseli sau erori mari  ( grosolane) 

      Greselile sau erorile grosolane sunt foarte diverse dupa caracterul lor, toate fiind insa provocate de actiuni necorecte ale observatorului.

      Ele se pot datora urmatoarelor cauze :

-        citirea gresita pe scara aparatului ( 5 diviziuni se apreciaza ca fiind 10 etc.)

-        inregistrarea gresita a rezultatului observarii ( greseala de scris ) calcul gresit etc.

-        schema gresita a unui montaj de aparate de masurat.

       -     folosirea unui aparat defect. Utilizarea unei constante calculata gresit.

       -     variatii bruste si de scurta durata a conditiilor de masurare  ( soc mecanic, curent rece de aer de la o usa deschisa etc. ).

      Erorile grosolane au o valoare mare in comparatie cu celelalte erori, motiv pentru care probabilitatea lor de aparitie este foarte mica.

      Pornind de la aceste considerente, se recomanda folosirea urmatoarelor criterii pentru descoperirea erorilor mari :

      Criteriul 1 :

      Daca intr-un sir de masurari cu eroare medie patratica   , eroarea aparenta    a uneia dintre masurari intrece    dupa inegalitatea :

                                                                           ( 4.1 )

este probabil ca   sa fie o eroare grosolana. Ea se poate exclude sau retine dupa o analiza atenta a conditiilor in care s-a facut masuratoarea.

      Daca                                                                                 ( 4.2 )

eroarea este cu siguranta grosolana, masurarea respectiva trebuind a fi exclusa.

      Acest criteriu are dezavantajul ca nu tine seama de numarul masurarilor care poate fi mai mare sau mai mic.

      Criteriul  2  tine cont la aprecierea erorilor mari de numarul masurarilor. El se exprima de asemenea prin eroarea medie patratica multiplicata cu un coeficient a carui valoare depinde de numarul masuratorilor.

      Probabilitatea de obtine erori mari e data de relatia :

                                                                          ( 4.3 )

unde :       eroare relativa ;

             n    – nr. total al masurarilor ;

             - nr. masurarilor pentru care eroare aparenta in valoarea absoluta depaseste  Functia   este probabilitatea erorii adica suprafata de sub curba lui Gauss cuprinsa intre  0  si  z  si anume:

        

      Considerand ca din nr. total de erori numai una singura depaseste in valoare absoluta pe    adica , relatia de mai sus devine :

                                                                                        ( 4.4 )

sau

                                                                                          ( 4.5 )

Folosind valorile tabelate ale lui    vom determina in final valoarea cautata  .

      In concluzie, daca in sirul respectiv de masurari se gaseste mai mult de o masurare cu o eroare aparenta , se considera ca aceste masurari contin erori mari si trebuie eliminate cu exceptia uneia singure, care are cea mai mica valoare.

  

   Criteriul  3  tine seama de asemenea de numarul masurarilor considerand insa ca 

       Procedand analog vom avea :

                     

deci                 

       Dupa ce se gaseste  z  , aflam eroarea   care corespunde cazului cand avem aceeasi probabilitate ca    sa fie considerata eroare aparenta sau eroare mare.

      Asadar, orice eroare din sirul de masurari care intrece pe   , are o probabilitate mica sa fie eroare aparenta si deci sa poata fi considerata ca face parte din sirul normal al masurarilor.

      In concluzie, ori ce masurare care contine o eroare mai mare ca    poate fi exclusa.

      Pentru aplicarea mai expeditiva a acestui criteriu, in tabelul ce urmeaza este data direct valoarea lui  z  pentru un anumit  n.

Tabelul  4.1.

n

z

n

z

n

z

10

1,96

25

2,33

40

2,50

11

2,00

26

2,34

45

2,54

12

2,04

27

2,35

50

2,58

13

2,07

28

2,37

55

2,61

14

2,10

29

2,38

60

2,64

15

2,13

30

2,39

65

2,66

16

2,16

31

2,40

70

2,69

17

2,18

32

2,42

75

2,72

18

2,20

33

2,43

80

2,74

19

2,22

34

2,44

85

2,76

20

2,24

35

2,45

90

2,78

21

2,26

36

2,46

95

2,80

22

2,28

37

2,47

100

2,81

23

2,30

38

2,48

150

2,93

24

2,32

39

2,49

200

3,03

250

3,11

      Indiferent de criteriul aplicat, dupa excluderea erorilor mari trebuie sa se refaca toate calculele de erori.

      5. Medii si indicii de precizie ai masurarilor ponderate  

      De cele mai multe ori nu toate masurarile individuale sunt la fel de precise, fie din cauza unor conditii exterioare diferite in care au decurs, fie din cauza ca nu se poate atribui tuturor operatiilor acelasi grad de incredere. In aceasta situatie, nu toate masurarile trebuie considerate cu aceeasi pondere la calculul valorii celei mai probabile a marimii investigate.

      La calculul mediei aritmetice a masurarilor s-a acordat aceeasi pondere fiecarei determinari.

      Trebuie insa preferate masurarile facuta cu cea mai mare ingrijire iar calculele se vor efectua astfel ca, masurarile mai putin precise, sa aiba o influenta mai mica asupra marimii medii.

      Calitatea unei masurari este prinsa in calcule prin introducerea notiunii de pondere  w  dupa urmatorul principiu : cu cat o masurare individuala este mai buna, cu atat ponderea rezultatului acestei masurari este mai mare, ca si cum rezultatul respectiv s-ar fi obtinut repetat de un numar de ori egal cu ponderea corespunzatoare. Astfel valoarea cea mai probabila a marimii masurate va fi :

                                                                          ( 5.1 )

 

      Asadar, fiecarei masurari individuale i se acorda o anumita pondere. Pentru stabilirea ponderilor nu se pot da reguli anumite. In general  nu se vor introduce in calcule rezultate obtinute prin metode putin sensibile. Stabilirea ponderii rezultatului unei masurari necesita experienta din partea observatorului. Acesta trebuie sa se fereasca de a atribui ponderi mari observatiilor a caror perturbare este provocata de cauze ce-i sunt cunoscute, in dauna observatiilor ale caror cauze de perturbare nu-i sunt lamurite.

            De cele mai multe ori, drept criteriu pentru determinarea ponderii unei valori a masurarii servesc erorile mijlocii ( eroare medie patratica sau eroare probabila ) sau eroarea limita a valorilor masurate dintr-un sir de masurari.

      In acest caz ponderea masurarii se considera ca fiind invers proportionala cu patratul erorii.

      De asemenea , uneori sensibilitatea si precizia aparatului de masurat poate servi drept criteriu pentru stabilirea ponderii sau ponderile se stabilesc proportional cu numarul masurarilor , luate pentru calcularea mediei aritmetice a fiecarui sir de masurari.

      Eroarea probabila a mediei ponderate    se determina cu relatia :

                                                              ( 5.2 )

Cand se cunosc erorile fiecarui rezultat se scrie :

                                                                                              ( 5.3 )

      6. Legile propagarii erorilor

      Rezultatul unei masurari indirecte poate fi descris ca o functie  y  dependenta de valorile masuranzilor  

                                                                             ( 6.1)

      Fiecare dintre parametrii sunt caracterizati de erorile sistematice  si cele intamplatoare .

      Experimentatorul trebuie sa cunoasca felul in care rezultatul final ( valoarea marimii y ) este afectat de erori.

      La determinarea vitezei de pilda   trebuie stabilit in ce conditii erorile proprii masuranzilor  L  si    se resfrang asupra vitezei  w.

      6.1. Propagarea erorilor sistematice

      Erorile sistematice de masurare sunt de forma :

                                                                                   ( 6.2 )

-        - - - - - - - - -

acceptandu-se ca ele sunt mult mai mici decat valoarea masurandului   obtinuta cu mijlocul de masura utilizat.

                                                                                         ( 6.3 )

Pentru variatii infinitezimale ale lui  , diferentiala totala a marimii  y  care exprima influenta masuranzilor   este :

           si

                                                            ( 6.4 )

Eroarea sistematica    este reprezentata tocmai de abaterile   ale parametrului investigat astfel ca eroarea rezultanta poate fi scrisa de forma :

                                                       ( 6.5 )

Erorile individualizate    se introduc cu semn putandu-se astfel compensa reciproc. Factorii  reprezinta ponderea de participare la eroarea rezultanta a fiecarei erori in parte. Daca nu ne putem pronunta asupra semnului erorilor sistematice si a ponderilor de participare vom recurge la calculul unei erori maxime de forma :

                                                                ( 6.6 )

La acelasi rezultat putem ajunge pe baza unor rationamente putin diferite dupa cum urmeaza.

      Daca un fenomen este evaluat printr-o masurare indirecta cu ajutorul relatiei :

            v = f(x,y,t,…)                                                                                      ( 6.7 )

marimile  x,y,t,… fiind afectate de erori, valoarea lor sufera mici modificari de la o masurare la alta.

      Pentru o variatie infinit mica a fiecarei masurari

            v + dv  = f(x + dx , y + dy , t + dt , …)                                             ( 6.8 )

Facand diferenta :

            v + dv – v = f(x + dx , y +  dy , t + dt ,…) – f(x,y,t,…)                     ( 6.9 )

sau :

            dv = f(x + dx ,y + dy , t + dt ,…) – f(x,y,t,…)                                  ( 6.10 )

care in cazul nostru reprezinta eroarea marimii cautate.

      Daca se dezvolta in seria Taylor : ]

 (6.11)                                                                                                                                                     

      Toti termenii de ordinul 2 pot fi neglijati, fiind infinit mici de ordin superior si vom avea :

                                                              ( 6.12 )

      Aici  dv  , cresterea functiei, este o crestere infinit mica. In practica si erorile sunt suficient de mici astfel ca putem inlocui cantitatile infinit mici  dv, dx, dy,dt  prin cantitatile foarte mici finite   

      Expresia erorii devine :

                                                            ( 6.13 )

      Gradul de precizie al masurarii este dat insa de eroarea relativa ; impartim ambii membrii ai relatiei cu  v :

        ( 6.14 )

Pentru ca in membrul  I I  sa apara erorile relative     se scrie relatia sub forma :

                        ( 6.15 )

Derivatele pot avea insa semne diferite. Termenii sumei se vor lua in valoare absoluta daca dorim sa calculam o limita superioara a erorii.

      Observand forma expresiei    vedem ca putem ajunge mai repede la ea, daca aplicam functiei primitive logaritmii neperieni.

                                                                                             ( 6.16 )

de unde diferentiind si inlocuind  dx cu  :

                                                                              ( 6.17 )

Adica o expresie asemanatoare celei de sus, de forma :

                                                          ( 6.18 )

Metoda expusa pentru determinarea erorilor sistematice relative este cunoscuta si sub numele de metoda programarii indicilor de precizie.

      Pentru exemplificare vom calcula erorile sistematice relative pentru masurari indirecte caracterizate de diferite tipuri de functii.

1.               

Daca se accepta 

Asadar eroarea relativa in aceasta situatie este egala cu eroarea termenilor sumei. S-a adoptat semnul  + pentru a calcula o limita superioara a erorii.

                      

                                                      Daca avem

In cazul ca  y  nu difera mult de  x,   si deci precizia rezultatului final e mai mica pentru ca .

      Se va evita deci masurarea unei cantitati prin diferenta altor doua. Precizia masurarii lui  v  devine acceptabila pentru valori de ordinul lui  y/x = 50 ; in acest caz e de vazut daca mai avem  .

3.          sau

      

iar pentru erori :

4.   

                       

     

       Daca x, y ,t sunt determinati cu precizia de 1%  precizia asupra rezultatului este mult mai mica caci  e mai mare din cauza lui a, b, c.

      Rezulta ca determinarea unei marimi cu o astfel de functie nu e totdeauna preferabila.

   5. 

Observam ca eroarea lui  v  este mult mai mica decat eroarea relativa a lui  x.

      Functiile cu radicali sunt deci de preferat la masurari indirecte.

     

 6. Propagarea erorilor intamplatoare

      In cazul acestor erori semnul lor este necunoscut ne mai putandu-se utiliza relatiile proprii erorilor sistematice.

      Eroarea intamplatoare rezultanta, daca se au in vedere si consideratiile facute la inceputul paragrafului 4.1. se poate evalua dupa o expresie de forma :

                                                     ( 6.19 )

care reda asa numita lege a propagarii erorilor intamplatoare.

      De exemplu daca se masoara puterea in curent continuu avem :

                                                                                   ( 6.20 )

eroarea sistematica va fi :

            sau         ( 6.21 )

adica                                                                  ( 6.22 )

 

     Eroarea intamplatoare rezultanta este :

                   ( 6.23 )

Relatiile de mai sus dovedesc ca in cazul erorilor sistematice eroarea tensiunii are pondere dubla asupra rezultatului masurarii puterii pe cand in cazul erorilor intamplatoare participarea erorii tensiunii este cuadrupla in eroarea rezultanta, impunandu-se asa dar masurarea tensiunii extrem de ingrijit.

      In cazul unui aparat de masurat eroarea rezultanta se calculeaza dupa relatia :

            unde   este o eroare singulara determinate de pilda de neliniaritatea instrumentului,de efectul de histereza etc.

      Eroarea de masurare a unei instalatii de masurat formata dintr-un sir de elemente afectate de eroarea     este :   

 

                                                                                    ( 6.25 )

   

  7. Interpretarea statistica a rezultatelor masurarilor 

      Consideratiile de mai sus vor fi extinse pentru aprecierea completa a erorilor ocazionate de procesul de masurare, in acest sens fiind necesara interpretarea statistica a rezultatelor.

      7.1. Eliminarea rezultatelor masurarilor cu caracter dispers

      Presupunem ca un sir de masurari este caracterizat de o distributie Gauss, cateva din valorile obtinute fiind mult departate  de valoarea medie . Se pune problema stabilirii conditiilor in care aceste masurari pot fi acceptate ca fiind afectate de abateri accidentale ( fig.17 ).

      Se poate accepta ca valorile masurarilor care se abat cu mai mult de   de media aritmetica sunt afectate de erori accidentale putandu-se renunta la ele       ( zona hasurata din figura ).

      De altfel pentru   probabilitatea  p=0,013 adica  in acest context limita erorii reducandu-se de la   la    pentru masurari de pretentie deosebita.

fig.17 Distributia de frecventa a sirului

Renuntandu-se la masurarile afectate de abateri accidentale, se reface calculul mediei aritmetice si a erorii medii patratice  .

      7. Utilizarea probabilitatii ca mijloc de apreciere a realizarii unui eveniment

      Presupunem ca un sir de masurari este caracterizat de o distributie de frecventa similara celei din fig.17. In cazul in care a avut loc un „accident” in desfasurarea experimentelor sau a masurarilor, curba distributiei de frecventa cunoaste forma perturbata din fig.18.

fig.18 Curba perturbata a distributiei de frecventa

       Ori de cate ori numarul masurarilor este foarte mare, distributia de frecventa ia forma din fig.17, abateri ca cele din fig.18. fiind determinate de evenimente neasteptate. Definind ca probabilitatea  p  a erorii posibilitatea ca valorile medii a doua siruri de masurari efectuate asupra aceluiasi masurand, in aceleasi conditii, sa se abata unele fata de altele, in tehnica se opereaza cu urmatoarele probabilitati limita :

      Evenimentele cu  p  > 5%  sunt cu totul intamplatoare ( accidentale ).

      Evenimentele cu  p > 1%  sunt posibile si acceptabile ( significate ).

      Evenimentele cu  1% < p <5%  pot sau nu sa fie luate in considerare dupa o analiza atenta a conditiilor in care acestea s-au inregistrat.

      Efectuandu-se asupra aceluiasi masurand doua seturi de masurari  si   este normal ca valorile medii obtinute sa se abata cu    ( vezi fig.19)

fig.19 Curbei de distributie de frecventa obtinute pt. doua seturi de masurari

        Aprecierea sigurantei masurarilor din punct de vedere statistic poate fi efectuata utilizand testul  +  sau testul Student care presupune parcurgerea urmatoarelor etape :

fig.20 Probabilitatea p in functie de n si t  p=f(n,t)

      a) Se efectueaza calculul parametrilor din tabel :

Numarul sirului de masurari

Rezultatul masurarilor

Numarul de masurari din sir

Valoarea medie

1

x

2

n

      b) Se determina valorile  t  si  n  pentru testul Student dupa relatiile :

                                      

  si

                                                                                               ( 7.2 )

c)    Probabilitatea  p = f(n,t)  proprie valorilor medii se determina din fig.20.

d)   Aprecierea veridicitatii valorilor medii.

      Daca pozitionand in fig.20 parametrii  n  si  t  se obtine  p < 0,01 , diferenta   este sigura din punct de vedere statistic, valorile   si    putand fi acceptate ca atare considerandu-se evident ca cea mai probabila valoare a parametrului investigat acea care a rezultat dintr-un sir mai mare de masurari. 

     Cand  p = 0,01 … 0,05 diferenta  este sigura pe cand daca  p > 0,05 ,  are valoare cu totul intamplatoare, adica mediile variaza necontrolat.

      Ori de cate ori  p > 0,01 rezultatele au o acoperire statistica redusa, fiind necesara marirea numarului de masurari.

      8. Erori dinamice. Proprietatile dinamice ale mijloacelor de masurat

      In afara erorilor statice tratate mai sus, in cazul in care masurandul cunoaste o variatie in timp, mai rapida sau mai putin rapida, masurarea poate fi afectata de erori dinamice.

      Astfel daca parametrul investigat   cunoaste variatia din fig.21 ( linia continua ) , semnalul de iesire  , receptionat de catre operator poate cunoaste o variatie decalata de prima, abaterea dintre cele doua curbe reprezentand tocmai eroarea inregistrata in regim dinamic de masurare.

fig.21  Aparitia erorilor dinamice

        In aceasta situatie, trebuie determinat asa numitul raspuns dinamic a unui sistem de masurat prin aceea ca poate fi stabilit raportul amplitudinilor semnalului de iesire in raport cu cel de intrare, adica cu valoarea masurandului, precum si defazajului in timp iesire – intrare, pentru fenomene periodice, de tipul celor intalnite in tehnica.

      8.1. Generalitati privind raspunsul dinamic al unui sistem de masurat

      Modelul matematic cel mai adecvat pentru studiul raspunsului dinamic al unui sistem de masurat este ecuatia diferentiala liniara neomogena cu coeficienti constanti.

      Se admite ca marimile de intrare  si cele de iesire  sunt corelate printr-o relatie de forma :

                                         ( 8.1 )

      Coeficientii  a  si   b  se presupun constanti si depind de caracteristicile fizice ale sistemului.

      Introducand operatorul diferential :    ecuatia se aduce la forma :

       

  ( 3.2 )

a carei solutie generala este :

                     unde :

 - solutia particulara ( fara nici o constanta de integrare )

 - solutia generala a ecuatiei omogene corespunzatoare cu  n  constante de integrare care se pot determina impunand  n  conditii initiale.

      Functia operationala de transfer reflecta legatura ce se stabileste intre marimea de intrare si cea de iesire in regim dinamic de functionare fiind definita dupa relatia:

                                       ( 8.3 )

Cu ajutorul ei se poate determina functia operationala de transfer globala a unui sistem de masurat cunoscandu-se functiile operationale de transfer ale partilor componente, printr-o operatie de inmultire     ( vezi transformata Laplace ).

     De pilda , se porneste de la un sistem de masurat de tipul celui schitat mai jos pentru care se gaseste o functie de transfer de forma celei din fig.2b .


fig.22 Functii de transfer pt. un sistem de masurat

        Raspunsul de frecventa la variatii armonice ale marimii de intrare poate fi stabilit pornind de la observatia ca in regim stabilizat de functionare la o marime de intrare de forma :

                                                                                                 ( 8.4 )

dupa o perioada de timp, solutia generala a ecuatiei omogene corespunzatoare tinde catre zero, adica „se stinge”, ramanand solutia particulara sinusoidala, de aceeasi frecventa   cu a marimii de intrare adica :

                                                                             ( 8.5 )

      Relatia de dependenta dintre cele doua marimi este univoc determinata daca se cunoaste raportul amplitudinilor si unghiul de defazaj.

      Ambele marimi (  si  )sunt functii de frecventa   , aceasta dependenta reprezentand raspunsul dinamic de frecventa.

      Determinarea raportului amplitudinilor si a unghiului de defazaj se poate face cu ajutorul diagramei fazorilor astfel :

fig.23 Variatia semnalului de iesire pt. un semnal armonic de intrare si curbe de raspuns de frecventa


fig.24 Diagrama fazorilor

Se porneste de la relatiile :

                                      ( 8.6 )

      Prin derivari succesive avem :

                     

              

      - - - - - - - - - - - - -- - - - - --  --             - - - - - -- - - - -- -- - - - --- - - -- -- - - -  -

            

                                                                                                                    ( 8.)

      Se inlocuieste  () in (1 )  si avem :

                    ( 8.)

din care:

                       ( 8.)

sau :

                                                                                  ( 8.7 )

      Functia de raspuns de frecventa se poate determina deci din functia operationala de transfer  (3) prin inlocuirea operatorului  D  cu  (i) :

             ( 8.8 )

Aici   este raportul amplitudinilor iar   reprezinta defazajul.

      Asa dar :

                                                ( 8.9 )

            si                                                         ( 8.10 )

    

 8. Raspunsul dinamic pentru traductoarele si aparatele de ordinul zero

      Un traductor sau aparat de ordinul zero satisface conditiile :

                                                                                       ( 8.11 )

      In acest caz  (1)  devine :

                                                                                                   ( 8.12 )

obtinandu-se de fapt o ecuatie algebrica cu un singur coeficient independent :

                                                                                                       ( 8.)

sau :                                                                                      ( 8.13 )

unde :  k  este sensibilitatea statica a traductorului.

      Deoarece ecuatia  (13)  este o ecuatie algebrica, inseamna ca marimea de iesire   va urmarii riguros pe cea de intrare  independent de rapiditatea variatiei acesteia, obtinandu-se raspunsul dinamic ideal. Un asemenea traductor este traductorul rezistiv electrotensometric.

      8.3 Raspunsul dinamic pentru traductoarele si aparatele de ordinul 1

      Functionarea acestor traductoare este caracterizata de conditia :

                                                                   ( 8.14 )

      In acest caz ecuatia (1) devine :

                                                              ( 8.15 )

ea continand doi coeficienti independenti putandu-se scrie :

      

 

                                                                                    ( 8.16 )

  

   Se noteaza :                          -  constanta de timp in [ sec ]

-   sensibilitate statica in  

avand :


                                                                                                ( 8.1) 

 

sau

                                                                              ( 8.16 )

Asa dar functia operationala de transfer pentru un traductor de ordinul 1 este :

                                                   

                                                                                                ( 8.17 )

In aceasta categorie se inscrie termoanemometrul cu fir cald. Daca se noteaza :

                      – temperatura mediului investigat.

           A             – suprafata dupa care are loc transferul termic.

           Tt           – temperatura traductor

            m           – masa elementului sesizor

                 – coeficientul de transfer termic

       c              – caldura specifica a elementului sesizor

            

                   cu               

      

                                                                    ( 8.1)

Ultima relatie reda valoarea functiei de transfer pentru termoanemometrul cu fir cald.

      Raspunsul dinamic al traductorului sau al aparatului de ordinul 1 la o marime de intrare armonica se obtine pornind de la relatia ( 17 ) care se poate scrie :

     

Expresiile raportului amplitudinilor si a defazajului sunt :

     

                ( 8.1)

      In fig.25 sunt reprezentate variatiile celor doi parametri care prezinta interes.

fig.25 Raspunsul dinamic pt. traductoare si aparate de ordinul 1

      In cazul frecventelor mici masuratorile sunt suficient de exacte.

      Pentru ca curba de raspuns dinamic sa fie cat mai plata, constanta de timp  a traductorului trebuie sa fie cat mai mica, conditie satisfacuta de traductorul termoanemometric a carui masa este extrem de redusa.

 8.4. Raspunsul dinamic pentru traductoarele si aparatele de ordinul  2

      Daca in ( 1 ) avem :

                                                           ( 8.18 )

Se zice ca aparatul sau traductorul respectiv este de ordinul doi.

      Comportarea dinamica a unui aparat de ordinul  2  este guvernata de relatia :

                                                           ( 8.19 )

sau

                                             ( 8.20 )

Se noteaza :

         – sensibilitatea statica a traductorului

       – frecventa oscilatiilor proprii neamortizate.

        – coeficientul de amortizare al miscarii.

Avand in vedere ca :

     

ecuatia ( 20` ) devine :

                                                    ( 8.20’)

      Traductorul a carui comportare dinamica este descrisa de ecuatia ( 19 ) are functia operationala de transfer de forma :

                                                            ( 8.21 )

      Membranele traductoarelor de presiune, cand asupra acestora actioneaza o presiune variabila, se comporta dinamic dupa o ecuatie diferentiala de ordinul  2  de forma :

                                 ( 8.22 )

unde :

      y - sageata membranei

      f - forta determinata de presiune, variabila in timp

      m – masa redusa a membranei

      c – constanta de amortizare a membranei

      k – constanta elastica 

Ecuatia ( 22 ) se mai poate scrie de forma :

                                                         ( 8.2)

 

sau folosind notatiile :

                           

se obtine :

                                                           ( 8.23’’)

si de aici functia operationala de transfer :

                                                                 ( 8.23’’’)

      Raspunsul dinamic al traductorului sau aparatului de ordinul  2  la o marime de intrare armonica se poate deduce scriind functia operationala de transfer de forma :

     

                                                                                                                

( 8.24 )

   

 

Raportul amplitudinilor si defazajul sunt date de relatiile :

     

si

                                    ( 8.25 )

fig.26 Raspunsul dinamic pt. traductoare si aparate de ordinul 2

E bine ca (  variaza liniar ) si foarte mare cand 

       8.5. Raspunsul dinamic al unui traductor ( aparat ) de ordin oarecare la un semnal de intrare periodic oarecare

      O functie periodica care respecta conditiile lui Dirichlet si anume :

      - este univoca

      - finisata

      - cu un numar finit de discontinuitati

- cu extreme in interiorul aceluiasi ciclu poate fi reprezentata printr-o serie Fourier de forma :

                     ( 8.26 )

unde :

        

            si

                                                                      ( 8.27 )

fig 27  Variatia unei functii periodice

      O pereche de termeni de aceiasi frecventa poate fi inlocuita printr-o functie sinusoidala de frecventa respectiva cu un anumit defazaj deoarece :

   

  

                                                 ( 8.28 )

Din care :                      

                                         

         

                si  

       Aproximarea unei functii printr-o serie Fourier este cu atat mai exacta cu cat se au in vedere mai multi termeni. Pentru aplicatii ingineresti si cu mai putin de  10  termeni se poate obtine o precizie suficienta.

      Pentru determinarea raspunsului dinamic se determina acest raspuns pentru fiecare termen sinusoidal dupa care acestia se sumeaza algebric pentru a se obtine raspunsul dinamic global.

      Cu ( 27 ) si ( 28 ) din ( 26 ) avem :

                            ( 8.29 )

      Se defineste numarul complex :

                                                                                 ( 8.30 )

si prin similitudine se poate scrie :

                              ( 8.31 )

denumit spectru discret al frecventelor de intrare.

      Pe de alta parte, functia sinusoidala de transfer a sistemului de masurat sau a traductorului denumita si raspunsul dinamic la o marime de intrare armonica sau spectrul continuu de frecventa, este de asemenea un numar complex pentru orice valoare data a frecventei.

      Daca se ia in considerare o frecventa oarecare  si se inmultesc cele doua numere complexe  si , se obtine un nou numar complex  .

       Prin sumarea acestora pentru toate frecventele se obtin spectrul frecventelor la iesire de forma :

                            ( 8.32 )

sau avem :

                ( 8.33 )

Cele de mai sus s-au facut pe baza operatiei :

                                                                ( 8.34 )

Evident o masurare corecta se efectueaza daca

              si       

     Conditiile care in mod practic nu pot fi riguros realizate. Determinarea mai exacta a marimii inregistrate se poate face prin calculul sau prin compensare dinamica.

fig.28 Variatia spectrelor de frecventa

      Prin calculul, de la marimea de iesire masurata sau inregistrata se poate ajunge la valoarea adevarata a marimii de intrare parcurgand itinerariul descris mai sus in sens invers si anume :

      - Se cunoaste  .

      - Se transforma in  conform ( 8.32 ) .

      - Din ( 34 ) se determina :

        

      - Se transforma  in  conform ( 8.29 ) . Operatiunea este laborioasa putandu-se folosi pentru compensare dinamica aparatura predestinata acestui scop.

      In acest fel se obtine valoarea efectiva a masurandului  ce prezinta interes, ne mai fiind afectata de erori dinamice.

      Tehnica de prelucrare expusa poate fi realizata in timp util cu ajutorul calculatorului.

 

      8.6. Domenii de frecvente de lucru ale traductoarelor, aparatelor si instalatiilor de masurat

      Pentru ca o instalatie de masurat sa fie utilizabila la masurare in regim dinamic, fara a se efectua corectiile respectiv calculele mentionate mai sus, este necesar ca erorile dinamice sa nu depaseasca anumite limite, pentru masurarile industriale acestea stabilindu-se la maximum ± 10 %.

      Domeniul frecventelor de lucru se caracterizeaza prin limitele inferioara si superioara de functionalitate, pentru multe instalatii de masurat limita inferioara de functionalitate, pentru multe instalatii de masurat limita inferioara fiind stabilita la .

      In fig.29 sunt schitate exemple de domenii de lucru pentru aparate de ordinul  1  ( de exemplu termometre ) si ordinul  2  ( de pilda voltmetre ) .

fig.29 Domeniul frecventelor de lucru pt. traductoare si aparate de masurat

fig.30 Domeniul frecventelor de lucru pentru traductoare si aparate astatice

 

fig.31 Functie de raspuns dinamic de frecventa

      Instalatiile de masurat care au caracteristici de forma celor din fig.29 se numesc instalatii statice.

      In cazul aparatelor sau instalatiilor astatice de masurat ( cum este cazul aparatelor seismice pentru masurarea vibratiilor ) domeniul frecventelor de lucru se stabileste ca in fig.30.

      Sunt situatii in care pentru o instalatie de masurat data si un masurand dat nu se poate evita functionarea mijlocului de masurat in domeniul de instabilitate caracterizat de  erori mai mari decat cele admisibile ( vezi fig.31 ) cand pe baza curbei de raspuns de frecventa se vor face corectiile necesare.

     

      9. Reducerea influentei incarcarii

             Cu ajutorul schemei bloc a instalatiei de masurat ( fig.32 ) vor fi interpretate in continuare

posibilitatile de reducere a erorilor si perturbatiilor .


fig.32 Schema bloc a unei instalatii de masurat afectata de erori

      9.1. Reducerea influentei incarcarii

      In timpul masurarii este indicat ca sarcina instalatiei de masurat sa fie mentinuta in limitele acceptabile fiind preferate sarcinile reduse. Dupa tipul constructiv al dispozitivului de masurat, dupa principiul de masurare, trebuie sa se foloseasca un traductor sensibil si de dimensiuni reduse, sa se dimensioneze corect circuitele electrice etc . pentru a se realiza conditia anterior enuntata.

      Astfel de pilda, la masurarea tensiunii unei surse ( fig.33 ) vom avea conform legii lui Kirchoff :

                             

      fig.33.a Masurarea tensiunii               fig 33.b  Compensator de tip Lindeck-

                                                                        Rothe

                                                                               ( 9.1 )

valoarea indicata fiind :                                                       ( 9.2 ).

Ca reactie a procesului de masurare va apare un curent I – ce conduce la o eroare de indicare :

                                                                       ( 9.3 )

      Efectul de reactie la masurare determinat de existenta rezistentei proprii a sursei si incarcarea acesteia cu curentul  I  se va estompa cu atat mai mult cu cat raportul  este mai mic.

      Pentru evitarea influentelor reactiei sistemului pot fi folosite in cazul de fata scheme speciale de masura cum sunt schemele de compensatie care elimina totalmente influenta incarcarii sistemului ( aparitia curentului  I  ) asupra procesului de masurare.

      Compensarea se bazeaza pe principiul de montaj al compensatorului Lindeck-Rothe, trebuind sa existe egalitate intre marimea de masurat si marimea de compensatie. Dupa fig.33.b,  I  dat de o sursa auxiliara  si citat la un aparat de precizie se regleaza astfel ca deviatia galvanometrului sa dispara. Atunci caderea de tensiune la bornele rezistentei etalon  este egala cu tensiunea de masurat .

      9. Indepartarea perturbatiilor exterioare suprapuse semnalului de masurat

      Pentru indepartarea perturbatiilor exterioare care pot fi distinct evidentiate, notate conventional cu , rezultatele masurarilor fie ca se corecteaza dupa schema bloc din fig.34 prin compensare cum este cazul compensarii influentei variatiei de temperatura cu timbru de compensare in cazul tensometriei rezistive, fie ca se elimina prin folosirea unor filtre de intrare adecvate ( vezi fig. 35 ) .

fig.34 Indepartarea cu veriga de corectie a perturbatiilor exterioare

 distincte fata de semnalul masurat

fig.35 Indepartarea prin filtrare a perturbatiilor exterioare

distincte fata de semnalul de masurat

fig36 Filtrarea vibratiilor ce afecteaza masurarea

      In fig.3.36 filtrul este realizat prin arcurile pe care se aseaza masa instrumentului afectat la masurare de miscarile suportului mobil.

      Daca insa perturbatia  nu poate fi separata de semnalul de masurat, fig.37, atunci nu mai este posibila filtrarea directa a acesteia.

      Perturbatiile pot avea un caracter periodic sau aperiodic ( stochastic ). Ele se indeparteaza in bune conditiuni in masura in care se pot separa spectrele marimii de masurat de spectrele semnalului perturbator cu ajutorul unor filtre de intrare sau iesire  Fig.38 ) .


fig.37 Perturbatii exterioare ce se suprapun semnalului de masurat

fig.38 Indepartarea prin filtrare a perturbatiilor

exterioare suprapuse semnalului  de masurat

fig.39 Filtrarea oscilatiilor transmise de reteaua sub presiune

      In montajul din fig.39 acumulatorul si droselul care formeaza un element static de ordinul  1  , reprezinta filtrul de intrare care protejeaza manometrul de oscilatiile transmise de reteaua sub presiune, eliminandu-le, si cu aceasta asigurand rezultatul nealterat al masurarii.

 

    9.3. Indepartarea perturbatiilor exterioare ce deformeaza masurarea prin actionare directa asupra instalatiei de masurat

      Daca perturbatiile exterioare care deformeaza masurarea pot fi puse in evidenta, actiunea lor poate fi evitata prin conexiuni de corectie cu ajutorul unor compensatoare de erori, fig.40.

fig.40  Indepartarea cu compensator de erori a perturbatiilor

                               exterioare ce afecteaza instalatia

      Daca de pilda se masoara debitul de abur ce curge printr-o conducta ( fig.41 ), datorita variatiei densitatii, mediului, simpla masurare a caderii de presiune pe diafragma  este insuficienta trebuind a se introduce corectii pentru densitate dupa valorile momentane ale presiunii si temperaturii, blocul corector indeplinind functii de calcul.

fig.41 Compensarea influentei variatiei p si t la masurarea debitului

 prin metoda strangularii

     Pentru indepartarea perturbatiilor exterioare pot fi utilizate si filtre dupa schema bloc din fig.4

fig.42 Indepartarea prin filtrare a perturbatiilor

 exterioare ce afecteaza inst. de masurat

      In acest sens incalzirea neuniforma a bratelor unei balante sub efectul radiatiei solare poate fi evitata prin filtrarea acesteia.

fig.43 Filtre pentru indepartarea perturbatiilor

exterioare ce afecteaza instalatia de masurat

si care nu pot fi puse separat in evidenta

      Daca perturbatiile exterioare care deformeaza semnalul de masurat nu sunt evidentiate separat de acesta, inlaturarea lor este mai dificila, in acest caz utilizandu-se exclusiv procedee de filtrare, in fig.43 fiind redate scheme de filtrare electrica, mecanica si hidropneumatica.

     9.4. Reducerea influentei perturbatiilor interioare

      In categoria influentelor perturbatoare interioare se incadreaza erorile dinamice si de nelinearitate ale sistemelor de masurat, erori ce pot fi evitate printr-o constructie adecvata a acestora ( pentru erorile dinamice ) si printr-o etalonare corespunzatoare a instalatiei de masurat  I.M. ( pentru erorile de neliniaritate ) .

      Erorile dinamice sunt determinate de distorsiunile in amplitudine sau in frecventa ale instalatiei de masurat. Prin conectarea in serie a unui dispozitiv de corectie  D.C. ( fig.44 ) teoretic s-ar putea realiza conditia :

                    ( 9.4 )


 

fig.44 Schema de montaj a unui dispozitiv de corectare

Ceea ce presupune prelucrarea si redarea nealterata a semnalului de intrare .

      In realitate, realizarea conditiei de mai sus care conduce la :

                                                ( 9.5 )

Nu este posibila decat in cazuri speciale, cu montaje adecvate. Daca de exemplu se are in vedere o instalatie de masurat de ordinul  1  cu sensibilitate statica  k=1 avem:

                                                           ( 9.6 )

Dispozitivul de corectie trebuind sa aiba o functie operationala de transfer de forma:

                                   ( 9.7 )

Ceea ce s-ar putea realiza dupa cum urmeaza.


           

     

fig.45 Montaj cu legatura de reactie

      Pentru montajul din fig.45 considerand ca amplificatorul este de ordinul zero se poate scrie :

                                          ( 9.8 )

       Data fiind existenta legaturii de reactie pentru instalatia de masurat cuplata in blocul de corectie. Daca parametrul  k  care este si factor de amplificare al amplificatorului este suficient de mare se deduce ca :

                                                ( 9.9 )

       Fiind astfel asigurata conditia evitarii erorilor dinamice, instalatia de masurat in ansamblul sau redand semnalul nealterat.





Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE Clasa: I Matematica - Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 30, fara trecere peste ordin
 Proiect didactic Grupa: Pregatitoare Cand/ cum și de ce se intampla? Roata anotimpurilor
 Brose - proiect
 Managementul Proiectelor - Controlul proiectelor, mega si micro proiecte

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 PROIECT DE DIPLOMA CHIRURGIE ORO-MAXILO-FACIALA - SUPURATIILE LOJELOR PROFUNDE DE ETIOLOGIE ODONTOGENA
 Diplomatie si conflict: relatiile internationale in timpul Primului Razboi Mondial
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”
 PROIECT DE DIPLOMA CHIMIE INDUSTRIALA SI INGINERIA MEDIULUI - TEHNOLOGIA ACIDULUI GLUTAMIC

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 Lucrare de licenta educatie fizica si sport - sistemul de selectie in jocul de handbal pentru copii de 10-11 ani in concordanta cu cerintele handbalul
 Lucrare de licenta contabilitate si informatica de gestiune - politici si tratamente contabile privind leasingul (ias 17). prevalenta economicului asupra juridicului
 LUCRARE DE LICENTA management - Impactul implementarii unui sistem de management al relatiilor cu clientii in cadrul unei societati comerciale
 LUCRARE DE LICENTA Ingineria si Protectia Mediului in Industrie - Proiectarea unui depozit de deseuri urbane pentru un oras cu 200.000 de locuitori

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 Proiect atestat profesional informatica - evidenta spital
 ATESTAT LA INFORMATICA - Gestionarea unui magazine de confectii
 ATESTAT PROFESIONAL TURISM SI ALIMENTATIE PUBLICA, TEHNICIAN IN TURISM
 Proiect atestat electrician constructor - tehnologia montarii instalatiilor electrice interioare


OBSERVAREA STATISTICA - Importanta observarii in cadrul cercetarii statistice
INDICII STATISTICI
STATISTICA PRODUCTIEI INDUSTRIALE
Proiectarea unei observari statistice
GRUPAREA DATELOR STATISTICE
DISTRIBUTIILE CLASICE – BAZA VERIFICARII IPOTEZELOR STATISTICE APLICABILE IN COMERT – TURISM – SERVICII
Indicatorii absoluti si indicatorii derivati
CONCEPTUL DE EROARE STATISTICA.CONTROLUL DATELOR STATISTICE
Notiuni fundamentale ale statisticii
INDICATORI STATISTICI AI IMPRASTIERII

Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu

 


Referate Statistica.com Copyright © 2014 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.