INDICATORI AI VARIATIEI SI AI IMPRǍSTIERII

Dacǎ abaterile valorilor unei caracteristici in jurul valorii medii sunt in medie mici, atunci media este reprezentativǎ, semnificativǎ, pentru valorile din care s-a calculat, si putem spune cǎ abaterile valorilor de la medie pot fi explicate pe seama actiunii unor factori intamplǎtori.

v        INDICATORI SIMPLI AI VARIATIEI

Se obtin prin compararea a doi termeni ai seriei, sau a termenilor seriei cu media lor. Acestia se pot exprima in mǎrimi absolute sau in mǎrimi relative.

a) Amplitudinea absolutǎ : se exprimǎ in unitatea de mǎsurǎ a caracteristicii . Dacǎ seria are valorile grupate pe intervale, atunci notǎm cu limita superioarǎ a ultimului interval si cu limita inferioarǎ a primului interval. " A " se mai numeste camp de variatie, plaje.

b) Amplitudinea relativǎ : se exprimǎ de regulǎ in procente

c) Abaterile intercuantilice : sunt utilizate in special la serii statistice mari sau asimetrice. Dintre acestea cel mai frecvent se utilizeazǎ variatia intercuartilicǎ si variatia interdecilicǎ.

Abaterea intercuartilicǎ

care are aceiasi unitate de mǎsurǎ, sau

Coeficientul de variatie intercuartilicǎ

Acest indicator ia valori in intervalul ( 0 - 100 % ) si se lucreazǎ cu el analog cu coeficientul de variatie.

Observatie

Intervalul intercuantilic eliminǎ valorile extreme ale seriei statistice unde se pot gǎsi si valori aberante, in schimb are dezavantajul cǎ se renuntǎ la jumǎtate din valorile acesteia.

Abatere interdecilicǎ

Coeficientul de variatie interdecilicǎ este

Acesta ia valori tot intre ( 0 - 100 % ) si are o interpretare analoagǎ cu coeficientul de variatie.

Intervalul interdecilic eliminǎ influenta valorilor extreme ale distributiei care uneori contin date aberante, dar prezintǎ avantajul cǎ se renuntǎ doar la 20% din valorile acesteia.

d) Abateri individuale : se calculeazǎ ca diferentǎ intre fiecare termen si media acestora .

e) Abateri individuale absolute :

f) Abateri individuale relative : rezultǎ ca raport dintre abaterile individuale simple sau absolute si media statisticǎ. Se pot exprima in procente

Abaterile individuale nu oferǎ o imagine de ansamblu asupra variatiei valorilor caracteristicǎ ei numai informatiei locale.

v        INDICATORII SINTETICI AI VARIATIEI

Se construiesc cu ajutorul unor medii simple sau ponderate a abaterilor simple.

a) Abaterea medie liniarǎ : este o medie aritmeticǎ simplǎ sau ponderatǎ a tuturor abaterilor absolute de la medie.

Pentru o serie simplǎ : 

Pentru serie cu frecvente absolute sau relative :

Abaterea medie liniarǎ se exprimǎ in unitǎtile de mǎsurǎ ale caracteristicii si aratǎ cu cat se abat in medie valorile individuale de la valoarea lor medie. Utilizarea modului pentru diferente este obligatorie, altfel abaterea medie liniarǎ ar fi zero :

b) Dispersia empiricǎ (statisticǎ) : se mai numeste variantǎ, si este datǎ de relatiile :

Dacǎ seria este simplǎ :

Dacǎ este cu frecvente :

c) Abaterea medie pǎtraticǎ : sau abaterea standard statisticǎ sau abaterea tip, este rǎdǎcina pǎtratǎ din dispersie .

Pentru serii simple :

Pentru distributia cu frecvente :

d) Coeficientul de variatie : numit si coeficientul de omogenitate. Se folosesc douǎ variante :

Coeficientul de variatie liniarǎ :

Coeficientul de variatie pǎtraticǎ :

Evident pentru o aceeasi distributie . Coeficientii de variatie iau valori intre 0 si 100% si dau indicatii destul de semnificative relativ la variatie, omogenitatea colectivitǎtii, calitatea grupǎrii si reprezentativitatea mediei statistice.

e) Intervalul mediu de variatie : este definit de urmǎtoarele limite :

cel liniar :

cel standard :  

Serie normatǎ ( standard ) fie o serie statisticǎ cu valorile cu media si abaterea standard : se poate construi o altǎ serie avand valorile calculate cu relatia

Aceastǎ serie ( repartitie ) statisticǎ se numeste serie normatǎ sau standard. Media acestei noi serii si abaterea standard lucru care se verificǎ usor utilizand definitiile mediei si abaterii standard. Acestei serii standard sunt utilizate pentru a compara mǎrimi ce provin de la distributii statistice diferite.

v        MOMENTE CENTRATE

Sunt indicatori numerici foarte utili construiti pe baza abaterilor de la valoarea medie a valorilor seriei. Sunt uzuale urmǎtoarele notiuni :

- abatere la constanta "a" a valorilor seriei ;

- abatere de medie ;

- abatere absolutǎ de la medie.

1. Momentul centrat de ordinul k, are expresia :

Pentru serii simple :

Pentru serii cu frecvente :

PROBLEME

A

B

1. Sǎ se determine functia empiricǎ de repartitie, apoi sǎ se reprezinte grafic.

1

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 varsta(ani)

40 50 60 70 80 90 100 110 x

2. Sǎ se calculeze frecventele relative pentru fiecare valoare sau interval:

; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; ; ;

;

; ; ; ;

; ;

3. Sǎ se prezinte grafic seriile prin histogramǎ si poligon al frecventelor (suprapus) :

frecventa

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

varsta

(ani)

2.

80

60

40

20

40 50 60 70 80 90 100 110 Masa ( Kg. )

4. Sǎ se calculeze pentru fiecare caz in parte, valoarea medie , modul si mediana .

1. 87,5 = 0,035 +

T = 45,41

T M₀ =38,75

m_e = 44,2248

m₀ = 6 ; m_e = 6

2. 105 = 2,16 + 6,16 + 14,3 + 24 + 17,85 + 6,65 + 2,1 = 73,22

. Sǎ se verifice gradul de realizare (aproximare) in identitatea lui PEARSON:

1. T T

2. T T

3. T

6. Fie seria :

Sǎ se calculeze

=

+

7. Sa se reprezinte grafic investitia in miliarde lei facuta de statul roman in diferite domenii intre anii 1920-1990.

8. Ponderea promovarii examenului de bacalaureat in orasul Zalau in ultimii 6 ani repartizati pe licee

9. Repartitia cantitatilor de precipitatii pe o perioada de 10 in orasul Zalau este:

a)     Sa se construiasca graficul repartitiei si sa se determine cantitatea medie de precipitatii pe cei 10 ani.

Sa se afle media geometrica a coeficientului de crestere de la an la an;

x_i+1-x_I=1

b)    Coeficientii de crestere de la an la an

; ; . ; ;

Media geometrica:

In schema lui Bernoulli p=. Sa se arate ca:

daca n= 1,2,3.n obtinem urmatoarele:

BIBLIOGRAFIE

G.Mihoc, N. Vicu (1980) - Teoria probabilitatilor si statistica matematica,Bucuresti: Editura Pedagogica

D. Acu, P. Dicu, M. Acu - Matematici aplicate in economie volumul III

Ana Maria Acu (2003) - Elemente de teorie a probabilitatilor si statistica matematica,Sibiu:Editura Lucian Blaga