Creeaza.com - informatii profesionale despre


Cunostinta va deschide lumea intelepciunii - Referate profesionale unice



Acasa » referate » fizica
Aproximatia Stokes; miscari 2-D si 3-D

Aproximatia Stokes; miscari 2-D si 3-D



Aproximatia Stokes; miscari 2-D si  3-D

Aproximatia Stokes a ecuatiei Navier-Stokes se obtine din (11.3) prin neglijarea fortelor masice de inertie, ceea ce este echivalent cu ipoteza Re 0   (v. relatia (7.1)).

Miscarile plane sunt miscari bidimensionale (respectiv miscari 2-D), independente de axa Ox3, axa considerata perpendiculara pe planul in care are loc miscarea, x3 = constant (v. figura 11.12). Intr-o astfel de miscare, ecuatiile (11.6) devin


,                                                          (11.100)

,                                                         (11.101)

,                                                                          (11.102)

unde campul de presiune (in care se poate include si forta masica) si cele doua componente ale vitezei nu depind decat de coordonatele x1 si x2, cu v3 = 0.

Un alt caz apropiat miscarii 2-D  este miscarea plan-paralela, curgerea fiind caracterizata de campul de viteze v1(x3) si v2(x3), x3 definind directia normala planului in care are loc miscarea (v. §11.4).

Revenind la miscarea plana si folosind definitia functiei de curent

,                                                                 (11.103)

rezulta imediat ca singura componenta  a rotorului vitezei (ce este indreptata pe directia axei Ox3) are expresia

,                                               (11.104)

ecuatia de continuitate (11.102) fiind satisfacuta identic.


     Fig. 11.12.  Miscarea plana a unui curent de fluid in jurul unui corp.

Relatiile (11.100) si (11.101) capata astfel expresiile

,                                                                        (11.105)

,                                                                          (11.106)

ceea ce este echivalent cu relatia

.                                                                                    (11.107)

Adoptand un formalism similar se pot studia si miscarile axial simetrice.

Deci, intr-o miscare plana, permanenta si izocora, ecuatia de miscare a unui fluid Newtonian in aproximatia Stokes se reduce la faptul ca functia de curent este biarmonica in domeniul curgerii, presiunea si vartejul fiind armonic conjugate.

Folosind aceeasi metodologie, se obtine expresia completa a ecuatia     Navier-Stokes (11.4) pentru miscarea plana in care unica necunoscuta este functia de curent , respectiv

.                                 (11.108)

Relatiile (11.105) si (11.106) reprezinta conditiile Cauchy-Riemann pentru ca functia complexa

                                                                      (11.109)

sa fie olomorfa (aici  reprezinta coordonata din planul complex).

In consecinta, miscarea analizata se poate studia cu ajutorul functiilor complexe.12

Solutii analitice exacte pentru ecuatia (11.107) se pot obtine daca domeniul plan in care are loc curgerea permite formularea unor conditii la limita corespunzatoare pentru linia de curent. Ca exemple de miscari ce se preteaza la o astfel de rezolvare putem remarca: (i) miscarea generata de rotatia unui cilindru infinit in apropierea unui plan13 si (ii) miscarea generata de translatia unui piston intr-un canal plan.14

Un tip de miscare ce se poate considera similar miscarii plane, respectiv plan-paralele, este miscarea ce are loc intre doua plane foarte apropiate, axa 0x3 fiind perpendiculara pe aceste plane (v. figura 11.13).


Fig. 11.13 Miscarea Hele-Shaw intre doua plane paralele; distanta h dintre cele doua plane este cu mult mai mica decat dimensiunile caracteristice  pe  directiile Ox1  si Ox2, componenta  vitezei  v3  fiind



identic nula.

Intr-o astfel de miscare, denumita miscarea Hele-Shaw sau miscarea pseudo-paralela15, cinematica miscarii este descrisa de urmatoarele componente ale vitezei:

                                       (11.110)

Pentru domenii complexe ale curgerii, miscarile plane, axiale simetrice sau in cazul general miscarile tridimensionale (3-D) sunt solutionate numeric. O astfel de rezolvare, avand la baza metoda diferentelor finite aplicata ecuatiei (11.108) pentru miscarea permanenta in jurul diferitelor corpuri aflate intr-un canal plan, este prezentata in Dumitrescu si Cazacu16. In prezent exista numeroase coduri numerice ce permit rezolvarea completa 3-D a ecuatiei Navier-Stokes avand la baza metode numerice dintre cele mai diverse (diferente finite, element finit, volum finit, analiza spectrala).

Dintre codurile numerice comerciale cele mai folosite se remarca FLUENT, FIDAP, POLYFLOW, PDFLEX. In figura 11.14 se prezinta solutia numerica a ecuatiei Navier – Stokes pentru miscarea plana stationara in jurul unui profil „T“, comparativ cu vizualizarile obtinute experimental (codul FLUENT,    Re = 40). In figura 11.15 este reprezentata solutia numerica pentru curgerea plana intr-o bifurcatie (codul POLYFLOW, Re = 1000). In prezent in cadrul laboratorului REOROM din UPB se desfasoara un program de investigare experimentala a curgerii fluidelor viscoelastice in bifurcatii, cu aplicatii in domeniul bio-medical  (v. figura 11.16). Asa cum se poate observa, rezultatele experimentale si cele numerice sunt calitativ similare.

Analizand structura curgerilor laminare plane si axial simetrice in geometrii complexe, respectiv spectrul curgerii (distributia linilor de curent in campul curgerii), se observa existenta unor zone de recirculare („separare“) a curentului de fluid numite si curgeri  „secundare 2-D“ (v. figurile 11.14 si 11.15). Curgerile secundare 2-D apar la schimbarea directiei sau sectiunii curgerii principale, respectiv amonte sau aval de corpurile ce se afla in curentul de fluid, la numere Reynolds mai mari decat o valoare Recr1 determinata de geometria locala a curgerii.

Miscarea isi pastreaza insa caracterul laminar pana la atingerea numarului Reynolds critic Recrt,  Recrt > Recr1, corespunzator aparitiei miscarii turbulente. Aparitia unei suprafete de separare in domeniul curgerii nu este numai „preludiul“ miscarii turbulente. In unele cazuri curgerile secundare 2-D anticipeaza aparitia miscarilor laminare 3-D in configuratii plane sau axial simetrice. Dintre exemplele „clasice“ se mentioneza: (i) curgerea la o largire brusca de sectiune (v. figura 11.17) si (ii) curgerea intr-o conducta cilindrica curba (v. figura 11.18).


   

   

              a                                                           b

Fig. 11.14. Distributia linilor de curent in jurul unui profil „T“: a  simulare numerica; b – experiment (simularile numerice au fost realizate folosind codul FLUENT la T. U. Darmstadt, pe aceasta cale autorul multumeste Prof. K. Hutter pentru asistenta acordata; experimentele s-au realizat in cadrul  Laboratorului de strat  limita si turbulenta  din  UPB, sub  indrumarea Prof. V.

Panaitescu, cu sprijinul dr. ing. Daniela Nistoran si  dr. ing. E. Brujan).

 



 a

 

 b

 


Fig. 11.15. Simularea numerica a curgerii intr-o bifurcatie plana:                a reprezentarea vectorilor de viteza; b – reprezentarea linilor de curent in zonele curgerilor secundare (simularile numerice s-au realizat cu POLYFLOW  la  Universitatea Catolica din Louvain  la  Neuve, pe aceasta cale  autorul   multumeste   Prof.  R.  Keunings   pentru   sprijinul   acordat;



simularile au fost realizate de ing. Angela Neagoe).

Curgere secundara  3-D

 

Curgere secundara 3-D

 
           

 curgeri “secundare – 2D”

 

Fig. 11.16. Vizualizarea curgerii unui fluid newtonian intr-o bifurcatie de conducta (curgere 3-D, Re = 18.000); geometria este similara cu geometria 2-D folosita in simularile  numerice  prezentate  in   figura  11.15  (vizualizare efectuata  in cadrul

laboratorului REOROM din UPB).


Fig. 11.17. Miscarea la o largire brusca a unei sectiuni plane sau axial simetrice (de la diametrul d la diametrul D). Aparitia curgerilor secundare 2-D simetrice   (l11 = l12)  la  Recr1  este  urmata  la  un  numar  Recr2  >  Recr1  de  pierderea simetriei

(l11  l12) si deci de transformarea miscarii intr-o miscare 3-D.


Fig. 11.18.               Miscarea intr-o conducta cilindrica curba devine o miscare 3-D prin aparitia mai intai a „curgerilor secundare 3-D“, curgeri ce au loc intr-un plan  perpendicular  pe  axa  conductei  (in  lungul  careia  are  loc  curgerea

principala).



12 Homentcovschi, D., Functii complexe cu aplicatii in stiinta si tehnica, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1986

13 Ionescu, D. Gh., La methode des fonctions analytiques dans l’hydrodynamique des liquides visqueux, Rev. Mec. Appl., 7(4), 675 – 709, 1963

14 Katopodes, F. V., Davis, A. M. J., Stone, H. A., Piston flow in two-dimensional channel, Physics of Fluids, vol. 12(5), 2000

15 Constantinescu, V. N., Dinamica fluidelor vascoase in regim laminar, Ed. Academiei, Bucuresti, p. 411, 1987

16 Dumitrescu, D., Cazacu, M. D., Theoretische und experimentelle betrachtungen über die strömung zäher flűssigkeit um eine platte bei kleinen und mittleren Reynoldszahlen, ZAMM, 50, 257 – 280,  1970








Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE Clasa: I Matematica - Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 30, fara trecere peste ordin
 Proiect didactic Grupa: mijlocie - Consolidarea mersului in echilibru pe o linie trasata pe sol (30 cm)
 Redresor electronic automat pentru incarcarea bateriilor auto - proiect atestat
 Proiectarea instalatiilor de alimentare ale motoarelor cu aprindere prin scanteie cu carburator

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 Proiect diploma Finante Banci - REALIZAREA INSPECTIEI FISCALE LA O SOCIETATE COMERCIALA
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 CONTABILITATEA FINANCIARA TESTE GRILA LICENTA
 LUCRARE DE LICENTA - FACULTATEA DE EDUCATIE FIZICA SI SPORT
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 Proiect atestat informatica- Tehnician operator tehnica de calcul - Unitati de Stocare
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia




Semnale aleatoare (continue) Putere.densitate Spectrala de putere. Functii de autocorelatie.
CARACTERISTICI GENERALE ALE MIJLOACELOR SI METODELOR DE MASURARE
Conditii de trecere la suprafata de separatie dintre medii magnetice diferite
Prize de pamant
VASCOZITATEA SANGELUI
Solutii in miscari de rotatie
CALCULUL MODAL CU CONSIDERAREA COMPORTARII SPATIALE A STRUCTURILOR
ECUATIA LUI BEWRNOULLI


Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu