TRANSFORMATA LAPLACE

TRANSFORMATA LAPLACE

1.INTRODUCERE

Lucrarea prezinta teoria transformatei Laplace, necesara oricarui student in anul I de la facultatiile cu profil tehnic, prezentand modul in care se transmit semnalele analogice in circuitele electronice moderne.

2.CAPITOLUL 1

O finctie se numeste original Laplace daca indeplineste urmatoarele conditii:

1) pentru orice

2) f este continua pe portiuni pe intervalul

3) exista siastfel incat pentru orice

deci - vezi Fig. 1.

Fig. 1 - curba inchisa γ

Vom nota cu O multimea functiilor original Laplace.

Conditia 1) este naturala si corespunde faptului ca multe functii de timp (semnale) devin semnificative din punct de vedere fizic incepand de la un anumit moment de timp (ales t=0). Conditia 2) si 3) sunt utile pentru constructile matematice care urmeaza. Reamintim ca o functie este continua pe portiuni daca pe orice interval compact are cel mult un numar finit de discontinuitati si are limite laterale finite in orice punct. O functie continua pe portiuni este evident integrabila pe orice interval compact. Reamintim de asemenea ca daca si deci ,,atunci f este prin definitie continua pe portiuni in cazul cand si au aceasta proprietate; in plus, pentru orice ,

Conditia 3) numita si conditia de crestere exponentiala (cu indicele s₀) va asigura convergenta integralei care defineste transformata Laplace.

Fie o functie fixata, cu indicele s₀. consideram semiplanul drept din planul complex al variabilei s. Atunci pentru orice , integrala improprie

este absolut convergenta.

Rezultatele obtinute pot fi sintetizate intr-un tabel care trebuie retinut:

Folosind rezultate de analiza matematica demonstrate in anul I pentru integrale improprii reale cu parametrii (lesne de extins la cazul functiilor cu valori complexe), vom obtine inca un rezultat de baza din teoria transformarii Laplace.

Fie cu indicele s₀. Atunci functia complexa este olomorfa in semiplanul drept .

Observatie: In conditiile teoremei de mai sus, avem . Intr-adevar, daca ,atunci am vazut ca pentru Re s> s₀.

Asadar, nu orice functie complexa este transformata Laplace s unei functii din O (de exemplu, nu satisface conditia anterioara, deoarece ).

BIBLIOGRAFIE:

1. O. Stanasila,V. Branzanescu, Matematici Speciale,ALL Bucuresti 1998

2. Gh. Oprisan, Curs de matematici speciale

3. O. Stanasila, Anailya matematica reala si complexa,Teora Bucuresti 2000