Creeaza.com - informatii profesionale despre


Simplitatea lucrurilor complicate - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Ecuatii diferentiale lineare de ordinul intai

Ecuatii diferentiale lineare de ordinul intai



Ecuatii diferentiale lineare de ordinul intai

Au forma generala

                                 ;,                                 (3.1)

unde  sunt functii continue care depind numai de variabila independenta ,  (')  x I I  si  reprezinta datele initiale.


Vom analiza cazurile particulare:

i). Daca , atunci ecuatia diferentiala obtinuta

                                               ,                                               (3.2)

se numeste ecuatia lineara si omogena asociata ecuatiei (3.1). Aceasta ecuatie constituie un caz particular de ecuatie cu variabile separabile.

Proprietatea de existenta si unicitate a solutiilor ecuatiei (3.2) afirma ca, daca functia  este continua pe , atunci pentru orice punct  exista si este unica functia , solutie a ecuatiei (3.2) care trece prin  si are forma

                                        (')                                  (3.3)

Prin  intelegem functia care depinde de variabila independenta  si care in punctul  ia valoarea  si notam .

Intr-adevar, cu notatia , ecuatia (3.2) devine

                                         ,                                           (3.4)

si atunci  este continua si are derivata partiala  continua. Potrivit teoremei de existenta si unicitate, problema Cauchy admite o solutie unica in orice punct . Pentru a determina solutia generala a ecuatiei (3.4) distingem cazurile:

a). Daca  atunci functia   (')   este o solutie stationara a ecuatiei (3.4).

b). Daca  atunci prin separarea variabilelor din (3.4) putem scrie

                                    ,  ,                                   (3.5)

apoi se determina cate o primitiva in fiecare membru al ecuatiei (3.5). Rezulta

                                        ,   ,                                   (3.6)

unde s-a ales constanta de integrare sub forma . Din (3.6) obtinem solutia generala a ecuatiei lineare omogena asociata sub forma

                                            ,                                          (3.7)

Vom observa ca, daca  intr-un punct , atunci din (3.7), luand c = 0, regasim solutia stationara . Asadar,  este solutie particulara a ecuatiei lineare si omogene asociate.

In consecinta, familia solutiilor (3.7) impreuna cu solutia stationara (numita solutie particulara pentru ca se poate obtine din solutia generala prin particularizarea constantei (se alege c = 0)) formeaza solutia generala a ecuatiei lineare si omogene asociate (3.2) si are forma

                                                      .                                                 (3.8)

Ecuatia diferentiala lineara omogena de ordinul intai nu are solutii singulare, ea are numai o solutie particulara , .

Observatie. Deoarece, prin calcul direct, am stabilit formula pentru solutia generala a ecuatiei (3.2), evident in ipoteza continuitatii functiei , atunci putem afirma ca problema Cauchy pentru ecuatia (3.2) are o unica solutie.

Datorita liniaritatii ecuatiei omogene , putem afirma ca multimea solutiilor maximale ale acestei ecuatii,

                                                       

formeaza un spatiu vectorial. Rezultatul acesta important este dat de urmatoarea     

Teorema. Solutiile maximale ale ecuatiei lineare si omogene (3.2)  formeaza un spatiu vectorial de dimensiune , in care putem alege ca baza functia .

Observatie. Ecuatia diferentiala (3.1) se mai numeste ecuatie diferentiala afina (scalara) sau ecuatie diferentiala lineara si neomogena.

ii) Un caz particular interesant este acela in care  si  (').

Atunci, ecuatia diferentiala lineara neomogena poate fi scrisa sub forma

                                                    .                                               (3.9)

Solutia ecuatiei (3.9), care verifica conditia initiala , se obtine prin cuadraturi si avem

                                ,

sau                                                                

                           ,   .

Tinand cont ca  (') , din ultima relatie obtinem solutia problemei Cauchy (3.1) sub forma explicita

                         ,  .                        (3.10)

Pentru integrarea ecuatiei diferentiale (3.1) vom folosi metoda factorului integrant. In acest scop se scrie ecuatia diferentiala lineara neomogena (3.1) sub forma normala

                                                      ,                                               (3.11)

unde  sunt functii continue care depind numai de variabila independenta , definite prin   .

Punctele  pentru care  sunt numite puncte singulare ale ecuatiei diferentiale sub forma normala. In aceste puncte singulare existenta si unicitatea solutiei nu mai este asigurata.

In continuare, prin calcul direct, vom arata ca solutia problemei Cauchy asociata ecuatiei diferentiale lineare de ordinul intai este unic determinata. Mai precis, pentru orice  exista o unica functie  care verifica ecuatia diferentiala sub forma normala (3.11) si conditia initiala data (adica, ,).



Privind cu atentie cazul ii) constatam ca metoda folosita la determinarea solutiei sugereaza existenta unei functii , , numita factor integrant, astfel incat dupa inmultirea ecuatiei diferentiale (3.11) cu  sa o transforme intr-o ecuatie „usor integrabila

                                                                          (3.12)

Pentru aceasta vom scrie membrul stang al ecuatiei (3.12) cu ajutorul derivatei produsului . Avem

                      .

Evident, pentru ca aceasta egalitate sa aiba loc oricare ar fi x I I, trebuie sa se verifice conditia

             ,  .      (3.13)

Din ultima relatie (3.13), calculand in fiecare membru cate o primitiva, deducem

                                      , ,

sau sub forma echivalenta

                                     ,                                 (3.14)

Deoarece functia  este continua , rezulta ca ,  , este functie continua si, cum membrul drept al relatiei (3.14) este strict pozitiv, rezulta ca  . Asadar,  factorul integrant are expresia

                                ,  unde  , .                         (3.15)

Vom observa ca in calculele finale constanta  nu intervine, asa ca valoarea ei poate fi aleasa egala cu 1. Avem

                                                                                                           (3.16)

Odata cu alegerea factorului integrant sub forma (3.16), deducem ca ecuatia (3.12) poate fi scrisa sub forma

                                                                                          (3.17)

Luand primitivele in ambii membri ai ecuatiei (3.17), rezulta

                           .                             

Deoarece  nu apare explicit in calcule putem alege . Atunci ultima relatie arata ca solutia problemei Cauchy (3.1) se poate scrie sub forma

                                                                             (3.18)

Este usor de vazut ca din ecuatia (3.17), prin cuadraturi, deducem solutia generala a ecuatiei lineare neomogene (3.1) sub forma

                           ,  ,                    (3.19)

sau, daca tinem seama de expresia factorului integrant (3.16), putem scrie solutia generala sub forma echivalenta

                      ,                (3.20)

Din expresia solutiei (3.20) observam modul sub care intra coeficientii ecuatiei diferentiale, pusa sub forma normala (3.11), in structura solutiei generale.

Urmarind rationamentul de mai sus, putem considera urmatorul algoritm folosit in obtinerea solutiei generale:

Pasul 1. Se scrie ecuatia lineara neomogena sub forma normala (canonica)

                                                  .

Pasul 2. Se determina factorul integrant .

Pasul 3. Se multiplica ecuatia neomogena cu factorul integrant , si avem

                                             

Pasul 4. Se integreaza ultima relatie si se obtine solutia generala.

Mentionam ca ecuatia lineara omogena de ordinul intai nu are solutii singulare, ea are numai o solutie particulara , .

Ecuatia diferentiala (3.1) poate avea solutii singulare de forma , unde  este radacina ecuatiei .

Observatie. Pentru determinarea solutiei generale a ecuatiei diferentiale (3.1), se poate folosi metoda variatiei constantelor (sau metoda lui Lagrange[1]). In acest scop, presupunem ca ecuatia diferentiala (3.1) este scrisa sub forma normala (3.11). Structura solutiei generale sub forma (3.20) arata ca aceasta se obtine cu ajutorul solutiei generale a ecuatiei lineare omogene asociate

                                                    ,                                                  (3.21)

la care se aduna o solutie particulara a ecuatiei lineare neomogene pusa sub forma normala (3.11).

Intr-adevar, fie  solutia generala a ecuatiei diferentiale normale (3.11) si  o solutie particulara a aceleiasi ecuatii diferentiale. Atunci functia  verifica ecuatia   lineara omogena (3.21), asociata ecuatiei neomogene (3.11). Asadar, daca se cunoaste o solutie particulara  a ecuatiei neomogene (3.11) si solutia generala  a ecuatiei omogene (3.21), atunci  reprezinta solutia generala a ecuatiei neomogene (3.11).

Vom observa ca ecuatia diferentiala omogena (3.21) este cu variabile separabile si pentru , dupa separarea variabilelor, conduce la solutia generala

                                             ,   .                                      (3.22)

Pentru a determina o solutie particulara , a ecuatiei neomogene (3.11), introducem, odata cu Lagrange, functia  definita prin

                                               ,   ,                                        (3.23)

unde  este o solutie oarecare a ecuatiei lineare neomogene (3.11), deci verifica ecuatia diferentiala neomogena sub forma normala

                                       ,   .                                (3.24)

Din (3.23) deducem ca functia  este derivabila si scriind relatia (3.23) sub forma echivalenta

                                                     ,                                              (3.25)

observam ca am considerat, de fapt, solutia generala a ecuatiei omogene (3.21).



Inlocuind expresia (3.25) in ecuatia (3.24), rezulta ca functia  verifica ecuatia diferentiala

                        .

Din ultima ecuatie, prin integrare, deducem ca functia  are expresia

                                                                           (3.26)

si atunci solutia  are forma

                                                     (3.27)

Reciproc, orice functie de forma (3.27) este o solutie a ecuatiei diferentiale lineare neomogene.

Metoda folosita se numeste metoda variatiei constantelor (sau metoda lui Lagrange) intrucat relatia (3.25) arata ca expresia unei solutii oarecare a ecuatiei neomogene se obtine din solutia ecuatiei omogene (3.22), inlocuind constanta c cu o functie oarecare .

Observatie. Functia , introdusa prin relatia (3.23), asa dupa cum s-a vazut, verifica ecuatia diferentiala

si atunci functia  este o primitiva a functiei cunoscute . Solutia ecuatiei omogene are forma , , sau , unde  este o primitiva a functiei .

Dupa cum se constata, solutia ecuatiei neomogene

                                                    ,                                                        (*)

are aceeasi forma cu cea a ecuatiei omogene, numai ca functia  este primitiva a functiei cunoscute . Aceasta asemanare, ca forma, a celor doua solutii l-a condus pe Lagrange la un procedeu foarte simplu de determinare a solutiei ecuatiei neomogene, procedeu cunoscut sub numele de metoda variatiei constantelor.

Daca notam cu  solutia ecuatiei omogene, care in punctul  ia valoarea  (adica, solutia problemei Cauchy pentru ecuatia omogena), atunci putem scrie

                                           .

Folosind aceasta notatie cat si expresia (*) deducem ca o solutie particulara  a ecuatiei neomogene, care se anuleaza in , are forma

              (**)

unde  este solutia ecuatiei omogene care in punctul  ia valoarea , data de termenul liber. Relatia (**) constituie principiul lui Duhamel pentru ecuatiile diferentiale lineare sau ecuatiile diferentiale lineare cu derivate partiale.

Observatie. Ecuatia diferentiala (3.11) se poate integra folosind metoda lui Bernoulli, care consta in schimbarea de functie , unde  si  sunt doua functii derivabile, deocamdata necunoscute. Substituind in ecuatia diferentiala (3.11)  avem

sau .

Observam ca una din functii, de exemplu, functia  se poate determina  din conditia (coeficientul lui  sa fie nul)  si are forma  . Rezulta ca  trebuie sa verifice ecuatia diferentiala

sau ,

de unde obtinem

,   .

Revenind la schimbarea de functie , deducem solutia generala a ecuatiei (3.11) de forma

.

Exemple.

1. Sa se determine solutia generala a ecuatiei diferentiale

                                           ,   .

Pasul 1. Punem ecuatia data sub forma normala,  .  Avem, ,  ,  .

Pasul 2. Determinam o primitiva a functiei . Avem

, .

 Atunci factorul integrant are forma

,  .

Pasul 3. Inmultim ecuatia diferentiala sub forma normala cu factorul integrant.  Obtinem

.

sau echivalent

.

Pasul 4. Solutia generala se determina prin cuadraturi: . In final, obtinem solutia generala sub forma explicita

                                          ,  ,  .

In figura alaturata sunt reprezentate graficele solutiilor ecuatiei, , pentru valorile particulare date constantei: .

2. Sa se determine solutia generala a ecuatiei diferentiale

                                              .

Pasul 1. Ecuatia normala are forma    .  Avem, ,  ,  .

Pasul 2. Avem  , , atunci factorul integrant are forma ,  .

Pasul 3. Inmultim ecuatia diferentiala sub forma normala cu factorul integrant si obtinem

    sau echivalent   .



Pasul 4. Solutia generala se obtine prin cuadraturi:  . In final, obtinem solutia generala ecuatiei sub forma explicita

                                        ,  ,  .

In figura alaturata sunt reprezentate graficele solutiilor ecuatiei, , pentru valorile particulare date constantei: .

Structura solutiei generale a ecuatiei neomogene.

Observatie. Fie ecuatia . Cum  este o solutie a ecuatiei omogene (3.13) si deoarece  este continua si are derivata  continua, deci marginita intr-o vecinatate inchisa a punctului  atunci, potrivit teoremei lui Picard, probema Cauchy asociata are solutie unica pentru orice . Din unicitate rezulta ca nici o alta solutie, in afara de , nu se poate anula pe I.

Daca , atunci se separa variabilele si avem

                                                             .

Integrand ultima ecuatie obtinem

                                               ,

unde  este primitiva functiei  pe I. Din aceasta relatie obtinem

                                     si deci 

Deoarece  este functie continua si pastreaza semnul constant, putem scrie  si atunci solutia era forma

                                                    ,  .

Datorita liniaritatii ecuatiei omogene , putem afirma ca multimea solutiilor maximale ale acestei ecuatii,

                                                       

formeaza un spatiu vectorial unidimensional cu baza , unde este primitiva functiei .

Observatie. Daca se cunosc doua solutii  si  ale ecuatiei lineare neomogene, atunci functia  este o solutie a ecuatiei omogene asociate. Asadar, daca  este solutia generala a ecuatiei lineare omogene asociate si  este o solutie particulara a ecuatiei lineare neomogene, atunci orice solutie a ecuatiei lineare neomogene se obtine cu relatia

                                                                                                      (***)

Observatie. Daca se cunosc doua solutii pentru ecuatia lineara neomogena, atunci diferenta lor este solutie a ecuatiei omogene; orice solutie a ecuatiei omogene se obtine prin inmultirea cu o constanta a acestei diferente si deci, se pot gasi fara cuadraturi toate solutiile ecuatiei neomogene. Aceste solutii au forma

.

Relatia (***) arata ca orice solutie a ecuatiei neomogene se poate obtine daca se cunoaste solutia generala a ecuatiei omogene asociate si o solutie particulara a ecuatiei neomogene. Asa cum s-a aratat mai inainte, solutia generala a ecuatiei omogene se obtine prin cuadraturi, aceasta fiind un caz particular de ecuatie cu variabile separabile. Daca nu putem observa o solutie particulara a ecuatiei neomogene atunci, cu metoda variatiei constantelor, folosind formulele (3.25) si (3.26), putem construi o solutie particulara a ecuatiei lineare neomogene. Asadar, solutia generala a ecuatiei neomogene este complet determinata.

Exemplu. Fie ecuatia diferentiala , care admite solutiile particulare  si . Atunci:

(a). Solutia generala are forma .

(b). Functiile  si  se determina scriind ca  si  verifica ecuatia data:

  atunci,  ,  .

Observatie. Daca membrul drept al ecuatiei neomogene poate fi scris cu ajutorul unor sume finite de functii continue de forma

                                                   

atunci, pentru fiecare functie ,  se determina cate o solutie particulara, notata cu  si, folosind principiul superpozitiei efectelor (ecuatia diferentiala este lineara), atunci o solutie particulara a ecuatiei neomogene are forma

                                                   .

Intr-adevar, scriind ca  este o solutie particulara a ecuatiei neomogene, avem

.

Daca scadem aceasta ecuatie din ecuatia diferentiala normala , obtinem

.

Ultima ecuatie arata ca functia  este o solutie a ecuatiei omogene asociate si reciproc, daca   este solutia generala a ecuatiei omogene asociate, atunci

                                                  

este solutia generala a ecuatiei neomogene.

Prin urmare, datorita structurii solutiei particulare putem considera ecuatiile neomogene

                                        ,

care au, respectiv solutiile particulare  si atunci suma acestor solutii particulare este o solutie particulara a ecuatiei initiale.



[1] Lagrange Joseph-Louis (1736-1813) – matematician francez, urmas al lui Euler la Academia din Berlin. A creat mecanica analitica, dand o forma eleganta ecuatiilor de miscare in cazul sistemelor mecanice supuse la legaturi.









Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE Clasa: I Matematica - Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 30, fara trecere peste ordin
 Proiect didactic Grupa: mijlocie - Consolidarea mersului in echilibru pe o linie trasata pe sol (30 cm)
 Redresor electronic automat pentru incarcarea bateriilor auto - proiect atestat
 Proiectarea instalatiilor de alimentare ale motoarelor cu aprindere prin scanteie cu carburator

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 Proiect diploma Finante Banci - REALIZAREA INSPECTIEI FISCALE LA O SOCIETATE COMERCIALA
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 CONTABILITATEA FINANCIARA TESTE GRILA LICENTA
 LUCRARE DE LICENTA - FACULTATEA DE EDUCATIE FIZICA SI SPORT
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 Proiect atestat informatica- Tehnician operator tehnica de calcul - Unitati de Stocare
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia




Sisteme de ecuatii si transformari liniare. (Regula lui Cramer)
Ecuatii diferentiale lineare de ordinul intai
Transformari liniare simetrice
MODELAREA COMPORTARII IN FUNCTIONARE A INSTALATIILOR TEHNOLOGICE CU AJUTORUL LANTURILOR MARKOV


Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu