Creeaza.com - informatii profesionale despre


Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Transformari liniare simetrice

Transformari liniare simetrice





Transformari liniare simetrice

DEFINITIA 1.5.4. O transformare liniara F   a unui spatiu euclidian in el insusi se  numeste simetrica daca satisface conditia


(5)                                             (,F   ())=(F   (),),   ' I E.

In  cele  ce  urmeaza  vom  considera  dim E = .

TEOREMA  1.5.4.  Conditia  necesara  si  suficienta  ca  transformarea  liniara        F   I L  (E, E)  sa fie simetrica este ca:

 i) matricea asociata ei intr-o baza ortonormata data sa fie simetrica ;

ii) produsul scalar (,F    ()) sa fie real, '  I E.

Demonstratie. i)  Fie  B = (e1, e2, ,en)  o  baza  ortonormata,  adica

                                     

Consideram  doi  vectori   si I E   care,  in  baza  B, se  exprima  sub  forma

                         si respectiv  .

Reamintim  expresia  produsului  scalar

      

adica

(6)                                 (B[]B, B[]B) = []tB[]B  .

Scriind  relatia  (5)  sub  forma  matriceala  avem

            (B[]B, B×M(F    ; B)×[]B) =  (B×M(F    ; B)×[]B, B[]B)

si,  folosind  (6),  obtinem  urmatoarele  forme   echivalente

                  []tB × M (F   ; B) × []B = (M(F   ; B)×[]B)t[]B    Û 

            Û  []tB × M (F   ; B) × []B = []tB × Mt (F   ; B) × []B Û

Û    M (F   ; B) = Mt (F   ; B).  

ii)  Daca F     este simetric, atunci (,F   ()) = (F   (),) = , unde bara orizontala de deasupra perechii de paranteze inseamna conjugatul complex. Deci                                 (,F   ()) =  si (,F   ()) este real, ' I E.

Reciproc, daca (,F  ()) este real, atunci (,F  ()) = = =                 = (F   (),) si, prin urmare, F     este simetric.                              

TEOREMA 1.5.5. Fie E un R - spatiu  vectorial, F   IL  (E, E) si B baza a lui E.  Daca M(F   ; B) I M(n, R) si M(F   ; B) = Mt (F   ; B), atunci toate valorile proprii, distincte sau nu, ale endomorfismului F     sunt reale.

Demonstratie. Fie M(F   ; B) matricea transformarii F    fata de o baza ortonormata  din E si ecuatia caracteristica asociata ei 

det(M (F   ; B) - lIn) = 0.

Cum aceasta ecuatie este de gradul n in l, ea are n radacini distincte sau nu in corpul numerelor complexe C. Fie l0 una din ele si []B o solutie nenula a  ecuatiei vectorilor proprii (4) din §1.4.3. Consideram relatia (4) din § 1.4.3 sub forma

 
(7)          M (F   ; B) []B = l0 []B,  care,  conjugata  complex,  da

(8)        unde =M(F   ; B), deoarece M(F   ; B) IM(n; R). Amplificand  la  stanga  pe  (7)  cu   si  pe  (8)  cu   []tB ,  avem

(7¢)                    M (F   ; B) []B = l0[]B

(8¢)                  []Bt M (F   ; B) =  []Bt

Aplicam  transpusa  relatiei  (8¢)  si  obtinem

                                       M (F   ; B) []B = []B   ,



care,  comparata  cu  (7¢),  da

                                               

si,  cum  ¹ 0E ,  rezulta  ,  deci   I R.  ˜

TEOREMA 1.5.6. Subspatiul ortogonal unui vector propriu al unei transformari liniare simetrice  F   , este invariant fata de  F   .

Demonstratie. Fie  un vector propriu al lui F   corespunzator valori proprii reale l0, a carei existenta este asigurata de teorema precedenta si notam cu E0 subspatiul lui E  ortogonal pe . Atunci pentru ' I E0 avem

(,F   ()) = (F   (),) = (l0 , ) = l0() = 0 ,

adica si F   () I E0  si, prin urmare,  E0 este invariant fata de F     .       ˜

TEOREMA 1.5.7. Pentru orice transformare liniara simetrica F   exista o baza ortonormata in E fata de care matricea ei sa aiba forma diagonala.

Demonstratie. Fie  un vector propriu unitar pentru F   si  subspatiul cu  dimensiuni ortogonal pe ,  fiind invariant fata de F   , restrictia F   ¢, a lui F   la , este o transformare liniara de asemenea simetrica pe. Considerand un vector propriu unitar  pentru F   ¢, el este propriu si pentru F     si ortogonal pe . Fie apoi  subspatiul cu  dimensiuni ortogonal pe  si .  este de asemenea invariant fata de F   ¢ si fie  un vector propriu unitar al restrictiei F   ¢¢ a lui F     la . Vectorul  este propriu si pentru F     si ortogonal pe  si . Continuand acest proces, dupa  pasi  obtinem in  o baza ortonormata , formata din vectori propii pentru F  . Conform T.1.4.4, matricea transformarii M(F   ; B) are forma diagonala .     ˜

Din  aceasta  teorema  rezulta

Consecinta 1.5.4. Subspatiile proprii ale unei transformari liniare simetrice au dimensiunile egale cu ordinele de multiplicitate ale valorilor proprii corespunzatoare si sunt ortogonale doua cate doua.

Practic, pentru a reduce matricea unei transformari liniare simetrice F   IL  (En, En)  la forma diagonala printr-o schimbare ortogonala de baza, procedam astfel:

-  Consideram o baza ortonormata , fata de care matricea transformarii  este M(F   ; B) cu M (F   ; B) = Mt (F   ; B).

-  Scriem ecuatia caracteristica

det (M(F   ; B)  - In) = 0

si gasim radacinile  care, dupa cum am vazut, vor fi toate reale. Forma  diagonala a matricei transformarii F     va fi

                                    M(F   ; B¢), cu baza B¢  necunoscuta.

 -  Daca ne intereseaza si baza ortonormata B¢ fata de care matricea M(F   ; B¢) are forma  diagonala de mai sus, cum aceasta trebuie sa fie formata din vectori proprii, procedam in felul  urmator. Consideram ecuatia vectorilor proprii

(M (F   ; B) - lIn)[]B = []B

si inlocuind, pe rand, cu fiecare radacina caracteristica , determinam subspatiile  proprii . Cu ajutorul procedeului Gram-Schmidt construim, pornind de la un sistem  fundamental de solutii ale sistemului (M (F   B) - In)[]B = []B, cate o baza   ortonormata in fiecare . Cum subspatiile  sunt ortogonale cate doua si suma dimensiunilor lor este , rezulta ca aceste baze vor constitui impreuna o baza ortonormata  in , fata de care matricea transformarii F     are forma diagonala M(F   ; B¢).









Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE Clasa: I Matematica - Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 30, fara trecere peste ordin
 Proiect didactic Grupa: mijlocie - Consolidarea mersului in echilibru pe o linie trasata pe sol (30 cm)
 Redresor electronic automat pentru incarcarea bateriilor auto - proiect atestat
 Proiectarea instalatiilor de alimentare ale motoarelor cu aprindere prin scanteie cu carburator

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 Proiect diploma Finante Banci - REALIZAREA INSPECTIEI FISCALE LA O SOCIETATE COMERCIALA
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 CONTABILITATEA FINANCIARA TESTE GRILA LICENTA
 LUCRARE DE LICENTA - FACULTATEA DE EDUCATIE FIZICA SI SPORT
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 Proiect atestat informatica- Tehnician operator tehnica de calcul - Unitati de Stocare
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia

Sisteme de ecuatii si transformari liniare. (Regula lui Cramer)
Transformari liniare simetrice
MODELAREA COMPORTARII IN FUNCTIONARE A INSTALATIILOR TEHNOLOGICE CU AJUTORUL LANTURILOR MARKOV



Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu