Dezintegrarea radioactiva

Dezintegrarea radioactiva.

In cazul fenomenului dezintegrarii radioactive[1], pe baza datelor experimentale, se admite ca viteza de dezintegrare a unui material radioactiv (numarul de nuclee dezintegrate in unitatea de timp), la momentul , este proportionala cu numarul total de nuclee din substanta radioactiva nedezintegrata existent la momentul respectiv. Prin urmare, daca este numarul de nuclee din substanta nedezintegrata prezent la momentul atunci, potrivit ipotezei facute, putem scrie

, (1.1)

unde este constanta de proportionalitate (constanta dezintegrarii), care depinde de material; semnul minus, din membrul al doilea al egalitatii, arata ca prin dezintegrare cantitatea de substanta descreste. S-a notat cu numarul mediu de nuclee nedezintegrate prezente in intervalul de timp , iar , cand . Prin trecere la limita, cand , din (1.1) obtinem ca functia , care descrie evolutia in timp a cantitatii de substanta radioactiva, trebuie sa verifice ecuatia diferentiala de ordinul intai

. (1.2)

Multimea solutiilor ecuatiei (1.2) este de forma

, (1.3)

unde este o constanta de integrare. Daca la momentul initial exista nuclee din substanta radioactiva nedezintegrata (vom scrie ), atunci deducem ca valoarea constantei de integrare este egala cu si unica solutie a ecuatiei (1.2), functie numai de timpul , are forma

. (1.4)

Solutia (1.4) reprezinta numarul mediu de nuclee prezente in materia studiata la momentul de timp . Numarul este cunoscut sub numele de durata mijlocie de viata a nucleului. Timpul de injumatatire se defineste ca timpul dupa care ; la acest moment de timp, in medie, jumatate din nucleele prezente initial s-au dezintegrat. Notand cu timpul de injumatatire, avem

. (1.5)

Observatie Materialul radioactiv poate fi folosit drept "ceas" pentru masurarea timpilor lungi (timpi mai lungi decat o zi). De exemplu, natura a furnizat un numarator pentru ani, in forma inelelor copacilor si, uneori putem folosi aceste inregistrari naturale ale timpului pentru a determina cat timp a trecut de la un eveniment anterior oarecare. Cand nu putem numara anii pentru masurarea timpilor lungi, folosim materialul radioactiv. In acest caz nu avem un eveniment periodic, ca in cazul zilei sau a oscilatiilor pendulului, ci un nou fel de "regularitate". Asa cum s-a precizat, pe baza experimentala, aflam ca radioactivitatea unei probe de material descreste cu o aceeasi fractiune pentru cresteri succesive egale ale varstei sale. Activitatea de dezintegrare descreste cu jumatate in decursul fiecarui timp de injumatatire , vezi fig. 1.

Figura 1. Descresterea in timp a radioactivitatii. Dezintegrarea descreste cu jumatate

in decursul fiecarui "timp de injumatatire" .

Asadar, observam ca daca radioactivitatea descreste la jumatate in (zile), atunci ea descreste la un sfert in alte (zile) si asa mai departe. Cum in intervalul de timp sunt timpi de injumatatire, atunci fractiunea ramasa dupa acest interval de timp este egala cu . Daca am cunoaste ca o bucata de material, sa zicem o bucata de lemn, continuse, la formare, o cantitate de substanta radioactiva si constatam prin masuratoare directa ca acum contine cantitatea , atunci putem determina varsta obiectului egala cu , rezolvand ecuatia .

Observatie . Ecuatia diferentiala de forma

,

descrie si alte procese evolutive din stiintele biologice, sociologice, economice, fizice, etc..

Exemplu. O roca contine doi izotopi radioactivi, si (apartinand la aceeasi serie radioactiva) astfel incat se dezintegreaza in si acesta se dezintegreaza intr-un nucleu stabil (aici vom face referire la cantitatea de substanta nedezintegrata , de la momentul , notata ). Presupunem ca viteza cu care izotopul se dezintegreaza in este egala cu Deoarece viteza de dezintegrare a lui este proportionala cu cantitatea de substanta nedezintegrata , atunci avem

. (1.6)

Presupunand ca si conditia initiala este , sa se determine masa a izotopului , pentru .

Substituind valoarea lui in ecuatia (1.6) obtinem

. (1.7)

Ecuatia (1.7) admite solutia generala

. (1.8)

Conditia initiala individualizeaza solutia problemei initiale prin determinarea constantei de integrare. Deci, masa , a izotopului , este definita de relatia

. (1.9)