Legea de racire a corpurilor

Legea de racire a corpurilor.

In cazul sistemelor omogene, cand campurile implicate depind numai de timp, legea de racire, stabilita experimental de Newton, arata ca un corp cu o temperatura mai ridicata decat aceea a mediului ambiant, se raceste astfel incat diferenta de temperatura, in unitatea de timp (viteza de racire a corpului), este proportionala cu diferenta dintre temperatura corpului si temperatura mediului ambiant.

Pentru a obtine modelul matematic al evolutiei procesului de racire, vom considera un corp aflat la   temperatura care este introdus intr-un mediu ambiant, cu temperatura constanta . Daca admitem ca viteza de variatie a temperaturii este proportionala cu diferenta si, cimpul de temperatura depinde numai de timpul t, , atunci potrivit legii de racire (procesul de racire este considerat continuu) putem scrie, pe un interval de timp , relatia

, (2.1)

unde , cu cand , este temperatura medie a corpului pe intervalul considerat. Trecand la limita cand , obtinem ecuatia diferentiala de ordinul intai

, si . (2.2)

Constanta h nu depinde de timpul t, de temperature mediului ambient sau de functia necunoscuta T(t), ea depinde de mediu si de corpul considerat. Determinarea constantei se face experimental.

Pentru a obtine solutia ecuatiei (2.2) este necesar sa se precizeze conditia initiala:

, unde (2.3)

Deducem astfel, ca solutia problemei initiale (2.2)-(2.3) poate fi scrisa sub forma

. (2.4)

Exemplu. Daca plasam un termometru care arata intr-un mediu cu o temperatura constanta egala cu si dupa 6 minute termometrul arata se cere temperatura pe care o indica termometrul dupa 20 minute.

Solutie. Din conditiile date avem: , , si dupa temperatura are valoarea egala cu . Inlocuind in (2.4) avem ,

de unde gasim

. (2.5)

Inlocuind aceasta valoare in expresia (2.4) obtinem solutia de forma

. (2.6)

Dupa 20 de minute temperatura are valoarea .

Figura 2. Evolutia racirii temperaturii ( ⁰C).

In cazul sistemelor neomogene, cand marimile implicate in studiu depind de punct si de timp, legea de racire a lui Newton, se enunta astfel: fluxul de caldura prin suprafata laterala a corpului este proportional cu diferenta dintre temperatura corpului si temperatura mediului ambiant.

Asadar, putem scrie

, unde , (2.7)

h este constanta pozitiva care depinde de material, de gradul de izolare termica a frontierei corpului iar k este constanta de conductibilitate termica. Marimile implicate in relatia (2.7) sunt functii de punctul x si de timpul t; .

Viteza de variatie a cantitatii de caldura din interiorul elementului de volum este proportionala cu viteza de variatie a temperaturii elementului de volum :

, (forma locala) (2.8)

unde q este cantitatea de caldura pe unitatea de volum si C_V este caldura specifica pe unitatea de volum.

Forma integrala a legii de conservare a caldurii in corp, daca nu exista surse de caldura (caldura care iese prin suprafata corpului este egala cu viteza de pierdere a caldurii din interior) devine:

. (2.9)