Creeaza.com - informatii profesionale despre
Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice
Acasa » referate » matematica
Vectori in plan

Vectori in plan




PARTEA a II -a

I. Vectori in plan

Marimile intalnite in fizica, geometrie si alte stiinte sunt de mai multe feluri din care importante sunt doua: marimi scalare si marimi vectoriale.

Definitie. O marime este scalara, daca pentru determinarea ei este suficient sa indicam un singur numar.

Exemple: lungimea unui segment, masura unui unghi, aria unei suprafete, temperatura, etc.

Definitie. O marime se numeste vectoriala, daca ea este caracterizata de trei elemente: lungime (modul), directie si sens.

Exemple: viteza unui mobil, forta, campul electric, etc.

            In cele ce urmeaza vom nota cu P multimea punctelor unui plan.

Fie d o dreapta din plan  (dP).

Definitie Numim directie a dreptei d multimea formata din dreapta d si toate dreptele paralele cu d.

                                                                                               d

Prin urmare doua drepte d si d2 au

aceeasi directie daca sunt paralele

sau coincid.                                                                                                     d

                                                                                                                          

Fie dreapta d pe care am fixat doua                                                     B       

puncte A, B (AB). Punctele dreptei                      A

d pot fi parcurse de la A spre B (un sens

de parcurgere) sau de la B spre A (un alt sens de parcurgere, opus primului).

            In acest mod spunem ca pe dreapta d am definit doua sensuri.

            1.1 Segment orientat (vector legat)

Definitie O pereche ordonata (A,B), A, BP se numeste segment orientat sau vector legat in A si se noteaza . Punctul A se numeste originea, iar punctul B se numeste extremitatea segmentului orientat.

                                                                                       :                           B

                                                                                    A

          Vectorul legat  se numeste vectorul legat nul si are dreapta suport nedeterminata.

Definitie  Spunem ca vectorii legati  si  au acelasi sens (sunt la fel orientati) daca au aceeasi directie si extremitatile lor B,D se afla in acelasi semiplan fata de dreapta AC determinata de originile lor.


A                            B

        C                 D                     

Vectorii  si  au sensuri opuse (sunt orientati diferit) daca au aceeasi directie, si extremitatile lor B,D se afla in semiplane diferite determinate de dreapta AC.


                                         A                           B

                              D               C                     

Definitie  Se numeste modulul (lungimea, norma) vectorului , lungimea segmentului [AB].

Notatie: Modulul vectorului  se noteaza prin || sau |||| sau simplu AB. Pentru vectorul nul , || = 0.

Definitie  Se numeste versor sau vector unitate vectorul avand modulul egal cu 1.

Definitie  Numim vector liber multimea tuturor vectorilor legati care: au aceeasi directie,acelasi sens si acelasi modul.

Notatie  Vectorii liberi se noteaza cu bara deasupra a,  b,…

            Prin urmare daca  este un vector legat, atunci , reprezinta multimea tuturor vectorilor legati care au aceeasi directie, acelasi sens, acelasi modul cu vectorul .

                                                                               B

                                                           

                                                     A

                                   

Multimea vectorilor liberi din planul P o notam v.

Spunem ca vectorul legat este un reprezentant al vectorului liber  si scriem I.

         

          1.2. Relatia de echipolenta pe multimea vectorilor legati.

Definitie  Doi vectori legati ,I se numesc vectori echipolenti (adica vectorii , au aceeasi directie, acelasi sens, acelasi modul).

Scriem acest lucru astfel » (citim vectorul  este echipolent cu vectorul ).

Observatie  », daca si numai daca:

i) » (, au aceeasi directie intrucat ABCD este paralelogram, acelasi sens, acelasi modul;

ii)                  Segmentele [AD] si [BC] au acelasi mijloc.

Observatie  Daca in aplicatii intervin vectori liberi, vom lucra cu reprezentanti ai acestora, ceea ce permite sa luam originile acestor reprezentanti oriunde in plan.

          1.3. Vectori colineari

Definitie  Doi vectori liberi nenuli se numesc colineari daca au aceeasi directie. Se admite ca vectorul nul este coliniar cu orice vector.

          1.4. Egalitatea a doi vectori liberi

Definitie  Doi vectori liberi sunt egali daca au aceeasi directie, acelasi sens si acelasi modul.

Definitie  Numim vectori opusi, doi vectori cu aceeasi directie, acelasi modul si sensuri opuse.

Avem de exemplu = --  

2. Operatii cu vectori liberi

          2.1. Adunarea vectorilor liberi

1) Regula paralelogramului                                             A                     C

                                                                                      

Fie vectorii liberi ,                                                                           

                                                                                           O                       B

                                                                                                                          

                                                                                                        Fig.1

Consideram I,I. Construim paralelogramul OBCA. Vectorul  de reprezentant , reprezinta suma vectorilor si ; =+; Se arata usor ca in definitia sumei nu are importanta alegerea reprezentantilor , pentru  respectiv  (Fig.1).

2) Regula triunghiului

Fie ,Iv si  reprezentant al lui , respectiv  reprezentant al lui . Vectorul , de reprezentant  este suma vectorilor  si ;  +=(Fig.2)           

                                                                                  

                                                                   A                            B

                    

                                                              

                                                                                               Fig.2

                                                                O

Aceasta regula de adunare a vectorilor se numeste regula triunghiului.

Observatie  Daca ++=0, atunci cu vectorii ,, se poate forma un triunghi.

3) Regula poligonului

Vectorul  care inchide conturul (uneste originea primului vector cu extremitatea ultimului vector reprezinta suma vectorilor date: =++(Fig.3)

                                                                                               

                                                                            

                                

                                                                                                            

                                                                                

                                                Fig.3

             2.2.  Proprietatile adunarii vectorilor liberi

1)      Adunarea vectorilor liberi este asociativa:

(+) +  = + (+)  , () , ,  I V

Demonstratia este realizata in Fig.4 (s-a folosit pentru adunare regula triunghiului).

                                         


                                 +           +   

                              

                        (+) +  = + (+) 

                                   Fig.4

2)  Adunarea vectorilor liberi este comutativa:                                           

*+=+ , (),  I V

Demonstratia este realizata in Fig.5.

                                                                                                              *+=+       


                                                                                                                                                Fig.5

                                                                                                                     *

3)      Vectorul nul este elementul neutru pentru adunarea vectorilor liberi:      +=+= , () I V

4)      Pentru orice vector I V, exista vectorul (-)IV astfel incat

                             +(-)=(-)+=

             - se numeste opusul lui

            2.3.   Inmultirea unui vector liber cu un scalar

Definitie  Fie rI R*, I v, ¹. Produsul dintre numarul real r si vectorul liber  este vectorul notat r, care:

i)                    are aceeasi directie cu

ii)                  daca r >0 are acelasi sens cu

daca r <0 are sens contrar cu

iii)                are modulul egal cu produsul dintre |r| si || :

|r·|=|r|·||

Daca r = 0 sau = , atunci r=

                                                                                              -3                   

Exemplu                                                                                                            2

In Fig.6 sunt reprezentati vectorii , -3, 2


                                                                               

                                                                                             Fig.6

            2.4. Proprietati ale inmultirii unui vector cu un scalar

1) r (+) = r+r, () r I R, (), Iv

(Inmultirea cu scalari este distributiva fata de adunarea vectorilor)

2) (r + s) = r+ s , () r, s I R, () Iv

(Inmultirea cu scalari este distributiva fata de adunarea scalarilor)

3) r (s) = (rs)  , () r, s I R, () Iv

(Asociativitatea scalarilor)

4) 1 = , () Iv

(Numarul 1 este element neutru pentru inmultirea cu scalari)

Demonstrarea acestor proprietati se face in mod similar cu demonstrarea proprietatilor de la adunarea vectorilor liberi.

                   2.5.Vectori colineari

Definitie  Doi vectori liberi nenuli se numesc colineari atunci cand au aceeasi directie. In caz contrar vectorii se numesc necolineari. Admitem ca vectorul nul este coliniar cu orice vector.

            Din definitie, rezulta ca doi vectori sunt colineari atunci cand au aceeasi dreapta suport sau drepte suport paralele.

            Vectorilor necolineari le corespund drepte suport concurente.

In Fig.7 (a,b,c,d) sunt reprezentati vectori colineari.


                                                  

                           

                                                           

                                                                   

                                                                                                         

                                          

                           

                    a)           b)                     c)                                d)

                                        Fig.7

            Vom caracteriza conditia de coliniaritate a doi vectori enuntand urmatoarea teorema:

Teorema 1 Doi vectori nenuli ,Iv sunt colineari daca si numai daca exista r I R astfel incat = r

Demonstratie  Presupunem ca  si sunt colineari. Distingem doua cazuri:

Cazul 1: Vectorii  si au acelasi sens; In acest caz luam r = si avem ca = r (intrucat vectorii din cei doi membri au aceeasi directie, acelasi sens si |r| = |r||| = || = || ).

Cazul 2: Vectorii ,  au sensuri opuse. In acest caz luam r = - si observam ca  = r (vectorii din cei doi membri au aceeasi directie, acelasi sens (r <0) si acelasi modul).

Reciproc presupunem ca   = r

Intrucat vectorii  si r au aceeasi directie, cum  = r, rezulta ca  si  au aceeasi directie, deci sunt colineari.

Observatii

1) Colinearitatea a trei puncte

Fie A, B, C trei puncte. Ele sunt colineare (situate pe aceeasi dreapta) daca si numai daca ,  sunt vectori colineari, deci daca si numai daca, exista r I R astfel incat  = r.

2) Paralelismul a doua drepte

Vectorii  si  sunt colineari daca si numai daca dreptele AB, CD sunt paralele sau coincid.

3) ,I v  (vectori liberi nenuli) sunt colineari, daca si numai daca exista   r, s I R nenule simultan astfel incat r + s =

Rezulta de aici ca daca ,I v  sunt necolineari atunci r + s =  daca si numai daca r = s = 0.

            In cele ce urmeaza vom pune in evidenta o relatie vectoriala extrem de importanta, relatie ce va permite exprimarea vectorilor importanti intr-un triunghi. Enuntam aceasta proprietate sub forma de:

Teorema 2  Fie A, B doua puncte diferite din plan si M I [AB], astfel incat = k  , (= k), iar O un punct arbitrar al planului (Fig.8).

Atunci  =    +                           

                                                                                                        O

                                                                               A                M          B

                                                                                       Fig.8

Demonstratie  Aplicand de doua ori regula triunghiului, obtinem egalitatile vectoriale =  + ;  =  +

Conform ipotezei, putem scrie  + = k ( + ) sau     - k  = - + k , sau + k =  + k , sau  

(1 + k )  =  + k  de unde rezulta :

=    +  

Observatie  In cazul in care M este mijlocul segmentului [AB] (k = 1), relatia demonstrata devine = ( + ) si exprima in triunghiul OAB, vectorul mediana de origine O in functie de vectorii  si  care au originea comuna cu vectorul mediana.

2.6. Probleme rezolvate

1) Fie ABC un triunghi si G centrul sau de greutate. Sa se arate ca:

a)  +  +  =

b) Pentru orice punct M din planul triunghiului: ++= 3

Solutie                                                                                             A

a) Fie A` mijlocul lui [BC].

Avem  = ( +) iar                                              

 =                                                                                · G

 = - = -( +)                        B                    A`                 C

Analog  = -( +) si  = -( +)

Rezulta  +  + = -( +  + ) =

= -( + ) = - =

b) Fie M un punct oarecare din planul triunghiului

 +  +  =  +  +  +  +  +  =

= 3  + ( +  + ) = 3   (s-a tinut cont de punctul a).

Observatie  Se poate constata usor ca cele doua egalitati vectoriale de la a) si b) sunt echivalente.

2) Fie ABC un triunghi de laturi a, b, c si I centrul cercului inscris. Sa se arate ca:

a) a  + b  + c      = ;

b) Pentru orice punct M din planul triunghiului: a+b+c= =(a+b+c)

Solutie                                                                                                         A

a) Fie AA`, BB` bisectoarele unghiurilor A si B,                                                 b

iar I punctul lor de intersectie. Aplicand teorema                                                   B`

bisectoarei in triunghiul ABB`, obtinem =              c             ·I

si aplicand teorema bisectoarei in triunghiul ABC                           B                                 C

obtinem =sau =. Rezulta AB`=                                   A`     a         

Prin urmare = . Conform teoremei 2, rezulta

=+ sau =+

Dar =, deci =+  

Rezulta

=+               Analog

=+

    =+

Atunci  a + b + c =  +  +  +  +  +  = ( + ) + ( + ) + ( + ) =

b) Daca M este un punct oarecare din planul triunghiului ABC, putem scrie  sirul de egalitati:

a + b + c = a( + ) + b( + ) + c( +) = = (a+b+c)  + a + b + c = (a+b+c)     (s-a tinut cont de punctul a)

3) Fie triunghiul oarecare ABC iar H ortocentrul sau. Demonstrati ca:

a)  +  +  =  (Relatia lui Sylvester)

b)  +  +  = 2

Solutie                                                                                                               

a) Exprimam  +  +  in doua moduri:                     

i)( + ) +  si                                                                           

ii) + ( + ).                                                       

Evident ca cele doua exprimari sunt egale datorita                               

proprietatii de asociativitate a adunarii vectorilor.             

Fie M mijlocul segmentului [AB].                                                         

( + ) = , unde D este simetricul lui O fata de M si OD   AB.

( + ) +  =  +  = , unde P este al patrulea varf al paralelogramului ODPC construit pe laturile OC si OD.

Retinem deci ca i) (+)+ =, unde CP || OD deci CP AB, deci P se afla pe inaltimea din C a triunghiului ABC.

Fie N mijlocul segmentului [BC].  +  = , unde E este simetricul lui O fata de N si  ON  BC.

 + ( + ) =  +  = , unde S este al patrulea varf al paralelogramului OASE construit pe laturile OA si OE.

Retinem deci ca ii)+(+)=, unde AS||ON, deci AS  BC, deci S se afla pe inaltimea din A a triunghiului ABC.

Din i) si ii) rezulta  = , deci punctele P si S coincid. Cum unul se afla pe inaltimea din C, iar celalalt pe inaltimea din A, rezulta ca  +  +  este un vector de origine O si de extremitate punctul de intersectie a doua inaltimi ale triunghiului (ortocentrul triunghiului). Asadar am demonstrat ca  +  +  = =.

b)  +  +  =  +  +  +  +  +  = 3 +  = 3 -  = 2.

4) Sa se arate ca in orice triunghi ABC, punctele O, G, H sunt colineare (dreapta care le uneste se numeste dreapta lui Euler).

Solutie

Conform problemei rezolvate nr.1, putem scrie ca  = ( +  + ), iar conform problemei rezolvate nr.3,  =  +  + ).

Din cele doua egalitati vectoriale deducem ca  = , deci ca vectorii  si sunt colineari, si cum au originea comuna, rezulta ca punctele O, G, H sunt colineare.

5) Sa se demonstreze ca in orice trapez, dreapta care uneste mijloacele diagonalelor este paralela cu bazele trapezului.

Solutie

Fie M, N mijloacele diagonalelor AC,                 D                             C

respectiv BD. vom arata ca vectorii

si  sunt colineari.                                     M                       N

                                                              A                                                                         B 

 =   - = ( + ) -  = ( + ) - ( + ) = ( - ). Dar vectorii  si  sunt colineari, prin urmare, exista r I R a.i.  = r, asa incat  = ( - r) = , deci vectorii  si  sunt colineari, adica MN || AB || CD.

6) Sa se arate ca in orice trapez, mijloacele bazelor, punctul de intersectie al diagonalelor si punctul de intersectie al laturilor neparalele sunt patru puncte colineare.

Solutie

a) Aratam pentru inceput ca punctele O, H, E sunt colineare.

 = ( + )                                                                O

 = ( + )

Din DC || AB T  =   k T                               D           H             C

T OD = k OA si OC = kOB  deci                                          F

 = k si  = k

Atunci  = (k + k) =                   A                         E                     B

( + ) = k ceea ce exprima faptul ca vectorii ,  sunt colineari si cum au originea comuna rezulta ca punctele O, H, E sunt colineare.

b) Aratam acum ca punctele O, H, F sunt colineare (vectorii  si  sunt colineari)

 = ( + ). Am vazut la a) ca  =  = k, deci si  = k si cum triunghiurile DFC si AFB sunt asemenea, rezulta ca  = k. In aceste conditii  =  +  si intrucat  = k rezulta:   OB = OC, deci  = . Atunci  =  +  = ( +) =  , deci  =  ceea ce probeaza faptul ca vectorii  si  sunt colineari si cum au aceeasi origine rezulta ca punctele O, F, H sunt colineare.

7) Fie triunghiul ABC de laturi a, b, c, G centrul de greutate, I centrul cercului inscris. Notam= a + b +c si=  + +.

Demonstrati ca vectorii si  sunt colineari si ca 3|| = (a+b+c)| |.

Solutie

Conform problemei rezolvate 2) avem relatia a + b + c = (a+b+c) valabila pentru orice punct M din planul triunghiului. Pentru MG, rezulta: a + b +c = (a+b+c), deci  = (a+b+c). De asemenea, conform problemei rezolvate 1) avem relatia  +  +  = 3, valabila pentru orice punct M din planul triunghiului. Pentru M  I, avem  + + = 3 deci  = 3 = -3 = -. Prin urmare = -, relatie ce demonstreaza faptul ca vectorii si  sunt colineari. De asemenea ||=||, deci ||=||.

2.7. Probleme propuse

1) Fie patrulaterul convex ABCD si M, N mijloacele segmentelor [AB] si [CD]. Demonstrati ca:

a)  +  = 2;

b)  + = 2.

2) Fie paralelogramul ABCD iar O punctul de intersectie al diagonalelor sale. Demonstrati ca:

a)  + + + =;

b) Pentru orice punct M din planul paralelogramului:

 +  +  + = 4.

3) Coardele [AB] si [CD] ale cercului de centru O se intersecteaza in punctul P si sunt perpendiculare. Sa se arate ca  +  +  + = 2 .

4) In triunghiul ABC semidreapta [AD este bisectoarea unghiului , DI(BC). Sa se demonstreze ca  = .

5) In triunghiul ABC, semidreptele [AA1, [BB1, [CC1 sunt bisectoare interioare. Sa se arate ca pentru orice punct M din planul triunghiului:

 = ;  = ;  = .

6) Triunghiurile ABC si A1B1C1 au centrele de greutate G, respectiv G1. Demonstrati ca  = ( + +). Deduceti conditia necesara si suficienta ca doua triunghiuri sa aiba acelasi centru de greutate.

7) Se considera triunghiul ABC si punctele M I (AB), N I (BC), P I (CA) astfel incat  =  = . Aratati ca triunghiurile ABC si MNP au acelasi centru de greutate.

8) Fie ABCD un patrulater fixat si M un punct variabil in plan. Demonstrati ca vectorul  +  +  + trece printr-un punct fix.

9) Fie ABCDEF un hexagon regulat de latura 1. Sa se calculeze modulul vectorului  =  + + + + .

10) Fie ABC un triunghi, I centrul cercului inscris iar H ortocentrul.

a) Daca  +  + = 3, oricare ar fi M in planul triunghiului, atunci triunghiul este echilateral;

b) Daca  +  + = 3, oricare ar fi M in planul triunghiului, atunci triunghiul este echilateral.

11) Fie AA1, BB1, CC1 bisectoarele unghiurilor triunghiului ABC. Aratati ca vectorii , ,  pot forma un triunghi daca si numai daca triunghiul ABC este echilateral (vezi problema 4).

12) Fie ABC un triunghi, iar O centrul cercului circumscris. Demonstrati ca triunghiul ABC este echilateral daca si numai daca  + + =.

2.8.Descompunerea unui vector dupa doi vectori necolineari,nenuli datti

Notiunea de baza pentru multimea vectorilor liberi din plan se defineste astfel:

Definitie

Cuplul  format din doi vectori liberi necolineari si nenuli se numeste baza pentru v

Componentele unui vector intr-o baza

Fie  doi vectori fixati necolineari,nenuli si  un vector arbitrar (fig.9)

                                                           

 

                          

Consideram reprezentantii  si

Prin punctual M, extremitatea lui ducem paralele a OB respective OA care intersecteaza OA in M1 si OB in M2

 

                 B                         M

               M2

                        u

            O                  M1    A

                                                            Fig 9

Avem        (1)

Vectorii  si  sunt colineari, deci exista  a.i.

Vectorii   si  sunt colineari, deci exista  a.i.

Atunci (1) devine  relatii intre vectori legati , sau  relatii intre vectori liberi.

Vectorii ,  se numesc componentele vectorului   dupa directiile vectorilor  si .

Spunem ca am descompus vectorul  dupa directiile a doi vectori  si .

In egalitatea , numerele reale x, y se numesc coordonatele vectorului liber  in raport cu baza .

Scrierea  a lui  este unica. Intr-adevar daca , atunci prin scaderea celor doua egalitati se obtine: . Daca am avea  atunci , relatie ce arata ca vectorii liberi  si  sunt colineari, fals. Prin urmare  si apoi  si cum  nu este vector nul rezulta .

Prin urmare am demonstrat urmatoarea:

TEOREMA 3

Fie  o baza pentru v. Atunci orice vector  se scrie in mod unic in functie de vectorii bazei sub forma

(spunem ca  se scrie ca o combinatie lineara de vectorii bazei)

Aceasta scriere se numeste scrierea analitica a vectorului liber .

Numerele reale x, y se numesc coordonatele vectorului  in baza . Notam  sau .

2.9. Probleme rezolvate

1) Se considera triunghiul ABC si M, N, P mijloacele laturilor [BC], [AC], [AB]. Sa se descompuna vectorul  dupa directiile vectorilor si .

       Solutie:

Va trebui sa gasim x, yIR a.i.

= x+ y

Rezulta =+=, deci = --

       (x=y=-1)

2) Se considera patratul ABCD si punctele M, N mijloacele laturilor [BC] si [CD]. Sa se descompuna vectorul  dupa directiile vectorilor si .

Solutie:

Avem urmatoarele egalitati vectoriale (deduse din regula triunghiului)

      

Din prima rezulta , iar din cea de-a doua .

Prin urmare, , adica

(In baza (), vectorul are coordonatele ).

2.10. Probleme propuse

1) Fie triunghiul ABC si punctele M, N I(BC), PQI(AB) a.i.

Sa se descompuna vectorii  dupa vectorii necolineari si .

2) Fie paralelogramul ABCD de centu O si punctele MI(AB), NI(AD) a.i. si .

Notam  si . Descompuneti vectorii dupa vectorii necoliniari  si .





Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE Clasa: I Matematica - Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 30, fara trecere peste ordin
 Proiect didactic Grupa: Pregatitoare Cand/ cum și de ce se intampla? Roata anotimpurilor
 Brose - proiect
 Managementul Proiectelor - Controlul proiectelor, mega si micro proiecte

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 PROIECT DE DIPLOMA CHIRURGIE ORO-MAXILO-FACIALA - SUPURATIILE LOJELOR PROFUNDE DE ETIOLOGIE ODONTOGENA
 Diplomatie si conflict: relatiile internationale in timpul Primului Razboi Mondial
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”
 PROIECT DE DIPLOMA CHIMIE INDUSTRIALA SI INGINERIA MEDIULUI - TEHNOLOGIA ACIDULUI GLUTAMIC

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 Lucrare de licenta educatie fizica si sport - sistemul de selectie in jocul de handbal pentru copii de 10-11 ani in concordanta cu cerintele handbalul
 Lucrare de licenta contabilitate si informatica de gestiune - politici si tratamente contabile privind leasingul (ias 17). prevalenta economicului asupra juridicului
 LUCRARE DE LICENTA management - Impactul implementarii unui sistem de management al relatiilor cu clientii in cadrul unei societati comerciale
 LUCRARE DE LICENTA Ingineria si Protectia Mediului in Industrie - Proiectarea unui depozit de deseuri urbane pentru un oras cu 200.000 de locuitori

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 Proiect atestat profesional informatica - evidenta spital
 ATESTAT LA INFORMATICA - Gestionarea unui magazine de confectii
 ATESTAT PROFESIONAL TURISM SI ALIMENTATIE PUBLICA, TEHNICIAN IN TURISM
 Proiect atestat electrician constructor - tehnologia montarii instalatiilor electrice interioare


Ecuatii de tip Bernoulli
Functii diferentiabile
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR
Modele cu ecuatii simultane
Proprietatile functiilor de autocorelatie
Imaginea plana a unui obiect 3D
MATRICE
Puterea unui punct fata de un cerc

Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu

 


.com Copyright © 2014 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.