Creeaza.com - informatii profesionale despre


Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Functii diferentiabile

Functii diferentiabile



Functii diferentiabile

1. Definitie. Fie  spatii vectoriale normate finit dimensionale si ,  multime deschisa si . Functia  se numeste diferentiabila in punctul , daca exista  a.i.

                                 .                                             (1)


Aplicatia lineara si continua , daca exista, este unic determinata, se noteaza cu

                                                         .                                                         (2)

si se citeste „ derivata lui  in punctul   sau diferentiala lui  in punctul ”.

2.Lema. Fie doua spatii vectoriale normate de dimensiune finita si ,  multime deschisa si  functia . Afirmatiile urmatoare sunt echivalente:

1)     Functia  este diferentiabila in .

2)     Exista  si   functie continua in ,  a.i. sa aiba loc relatia

                                         .                                          (3)

Demonstratie. „”. Deoarece  este diferentiabila in punctul , vom nota cu  si definim functia

                                      .                                      (4)

Este evident ca  este continua in  si .

”. trivial.

Egalitatea (3) poate fi scrisa sub urmatoarea forma

                                           .                                           (5)

Intr-adevar, din definitia functiei  deducem ca in vecinatatea  (adica, este posibil ca pentru orice  sa determinam  a.i.  sa avem ), avem

 .

3. Observatie. Notam cu  cresterea functiei ” si cu  cresterea argumentului in jurul punctului ”. Atunci relatia (5) se scrie sub forma

                                      .                                      (5')

Forma lineara din partea dreapta a relatiei (5'), care reprezinta aproximarea lineara a cresterii lui , se numeste diferentiala lui  in punctul  si uneori, se noteaza cu :

                                                                                                              (6)

sau, daca notam cu , atunci formula (6) se scrie sub forma clasica

                                                                                                                   (6')

4. Definitie. Fie doua spatii vectoriale normate finit dimensionale si ,  multime deschisa. Functia  se numeste diferentiabila pe  daca este diferentiabila in orice punct  si avem  definita prin  si se citeste „derivata lui  in punctul ”. Deci , .

Functia  daca si numai daca  este diferentiabila (derivabila) in orice punct din  si  continua pe .

5. Observatie. Daca  este diferentiabila pe , atunci  ia valori in .

Deci  si deoarece  se identifica izometric cu , atunci putem considera pe  ca o functie definita astfel .

Exercitiul 1. Fie  doua spatii vectoriale normate de dimensiune finita,   multime deschisa si functia . Daca  este diferentiabila in punctul , atunci  este continua in .

R. Intr-adevar, daca functia  este diferentiabila in punctul , atunci exista o intreaga vecinatate , inclusa in , a.i. sa se verifica formula (2) oricare ar fi . Trecand la norma avem

,

de unde rezulta continuitatea lui  in punctul .

6. Teorema. (Operatii cu functii derivabile).

Fie ,  spatii euclidiene finit dimensionale (spatii Banach) si , multime deschisa,  si .

(1). Daca  si  sunt diferentiabile in  atunci functia  este diferentiabila in  si avem .

(2). Daca  este diferentiabila in  si  atunci functia  este diferentiabila in  si avem .

(3). Daca ,  functie lineara atunci  diferentiabila in orice punct  si avem .

(4). Daca  si  sunt diferentiabile in  atunci functia  este diferentiabila in  si avem .

Demonstratie. Vom observa ca proprietatile (1) si (2) arata ca derivata este un operator (o aplicatie) linear, adica  si .

(1). Scriem ca  sunt functii diferentiabile in : exista aplicatiile lineara si continue  si functiile  continue in ,  a.i.

                            unde .

                            unde .                  

Adunand cele doua relatii si folosind notatiile ,  si , deducem ca functia  este diferentiabila in .

(2). Din faptul ca  este functie diferentiabila in  rezulta existenta aplicatiei lineare si continue  si a functiei  continua in ,  a.i.

                            unde .

Inmultind aceasta relatie cu , deducem ca  este diferentiabila in , si are derivata .

(3). Din faptul ca  este aplicatie lineara putem scrie

si luand  si , rezulta afirmatia din enunt.

(4). Datorita ipotezei putem scrie

si.

Daca adunam prima relatie inmultita cu  cu a doua relatie inmultita cu  si vom tine seama de expresia lui , obtinem

,

unde

  si  .

Relatia obtinuta arata ca   este diferentiabila in  ( aplicatie lineara si este vector fixat iar  aplicatie lineara si  vector fixat.

7. Observatie. Orice functie  diferentiabila in , unde  si  sunt spatii vectoriale finit dimensionale, este continua in .

8. Teorema. (Diferetiala functiilor compuse).

Fie ,  si spatii euclidiene (spatii Banach) si multimile deschise , , ,  si . Daca functia  este diferentiabila in  si  este diferentiabila in , atunci functia compusa  este diferentiabila in  si avem

.

Demonstratie. Conform ipotezei, functiei compuse ,  ii asociem aplicatia lineara , .

Interpretam faptul ca  este diferentiabila in :   exista aplicatia lineara si continua  si functia  continua in ,  a.i.

                   unde .                             

Interpretam faptul ca  este diferentiabila in :   exista aplicatia lineara si continua  si functia  continua in ,  a.i.

                   unde .                            

Deoarece pentru orice  avem , inlocuind in relatia  valorile  si  obtinem

 .

Daca notam  si folosim atunci putem scrie

 ,

sau, pentru orice  avem

 ,

unde . Avem

,

si        ,

De aici deducem ca in relatia de mai sus ultima paranteza tinde la zero, cand  si deci,

 este diferentiabila in  si  .

Derivate partiale

Vom considera cazurile particulare cand  si .

 Definitie. Fie  o multime deschisa si functia ,  si fie punctul . Daca exista si este finita limita

             ,          (7)

atunci aplicatia se numeste derivata partiala a lui  in raport cu , calculata in punctul .                                   

Uneori, derivata partiala  se va nota cu  sau cu .

Spunem ca functia  are derivata partiala in raport cu  in  daca este derivabila partial in raport cu  in orice punct din .



Daca  admite derivate partiale in raport cu  in orice punct , atunci functia care in fiecare punct  are valoarea  se va nota cu  si se numeste derivata partiala a lui  in raport cu variabila . Daca  este derivabila in raport cu variabila  in orice punct din , atunci notam cu

                                       sau , pentru orice ,                                       (8)

derivatele partiale de ordinul al doilea ale  in raport cu variabilele  si .

In cazul particular, cand  si , notatia din formula (2) este interpretata  ca in urmatoarea

10. Teorema. Fie ,  multime deschisa,  si . Daca functia  este diferentiabila in punctul  atunci:

(1).  exista  toate derivatele partiale ;

(2). ;

(3). , ;

(4). ,

unde s-a notat  .

11. Teorema (Criteriul lui Schwarz). Fie , ,  multime deschisa. Daca se verifica conditiile:

(1). Functia  admite derivate partiale mixte de ordinul al doilea  si  intr-o vecinatate ;

(2). Derivatele  si  sunt functii continue in punctul .

Atunci are loc egalitatea .

Demonstratie. Fie punctul , oarecare, dar fixat, a.i. . Definim expresia

.

Fara a restrange generalitatea, putem presupune . Definim functia , prin relatia

.

Atunci, functia este derivabila pe intervalul  si au loc relatiile:

si .

Asadar, functia  satisface teorema lui Lagrange pe intervalul  si deci, exista  a.i. sa avem  . Folosind relatiile de mai sus, deducem ca  se poate scrie sub forma

                                 .                                  (9)

Fie acum  si functia , definita prin . Deoarece  exista in , rezulta ca functia  este derivabila pe  si avem  .

Aplicand teorema lui Lagrange pe intervalul  atunci exista  a.i. sa avem

                          .                        (10)

Comparand ultima relatie (10) cu relatia (9), deducem

                                                        .                                                       (11)

Analog, cu ajutorul functiei , deducem ca exista  a.i.

                               .                              (12)

Fie functia . Procedand ca mai sus, rezulta ca exista  a.i.

                                                        .                                                      (13)

Din (11) si (13) deducem egalitatea

                       unde   si .                     (14)

Din modul cum s-a construit egalitatea (14), rezulta ca pentru fiecare punct  exista doua numere  si  cuprinse intre  si  si doua numere  si  cuprinse intre  si  a.i.

                                                   .

Folosind continuitatea prin siruri a functiilor  si  in punctul , daca  si , cand , deducem egalitatea derivatelor mixte de ordinul al doilea in .

12. Observatie. Daca derivatele partiale mixte de ordinul al doilea  si  exista si sunt continue pe  atunci ele sunt egale pe , adica .

In cazul mai general, cand , putem enunta

13. Criteriul lui Schwarz.. Fie ,  multime deschisa si . Daca se verifica conditiile:

1). Functia  admite derivate partiale mixte de ordinul al doilea  si  intr-o vecinatate ;

2). Derivatele  si  sunt functii continue in punctul .

Atunci are loc egalitatea

 si  .

14. Observatie. O teorema asemanatoare criteriului lui Schwarz  ramane valabila si pentru derivatele partiale de ordin superior; daca mai multe derivate partiale mixte, in care variabilele in raport cu care se efectueaza derivarea intervin de acelasi numar de ori, exista si sunt continue pe  atunci ele sunt egale pe .

De exemplu, daca derivatele partiale mixte de ordinul al treilea  si  exista si sunt continue pe  atunci are loc egalitatea

.

15. Teorema.(Criteriul lui Young). Fie ,  multime deschisa si . Daca exista  derivatele partiale   si acestea sunt functii diferentiabile in , atunci exista toate derivatele partiale de ordinul al doilea in , iar derivatele partiale mixte sunt egale , 

 si  .

Diferentiala functiilor compuse de doua variabile

Vom analiza cazul functiilor de doua variabile. Fie  si  doua multimi deschise din plan si functiile ,  si , . Fie functia reala , . Atunci, putem considera functia compusa

,

definita pentru orice , cu valori reale.

Figura 1. Compunerea functiilor de doua variabile.

16. Propozitie. Daca functiile  si ,  sunt diferentiabile pe , iar functia  este diferentiabila pe , atunci functia compusa  este diferentiabila pe  si avem

                                  .                            (15)

Demonstratie. Intr-adevar, din formula diferentialei putem scrie

si daca inlocuim derivatele partiale  si  cu expresiile

,

atunci se obtine relatia cautata.

17. Observatie. Diferentialele functiilor  si  conserva forma prin operatia de compunere a functiilor, in schimb, existenta derivatelor partiale ale acestor functii poate sa nu fie conservata prin aceasta operatie.

De exemplu, fie functiile

si functia

.

Alegem  si punctul corespunzator . Functiile  si  sunt difrentiabile pe  si deci in punctul , iar functia  are derivate partiale in  (dar nu este diferentiabila in acest punct):

.

Functia compusa , definita prin expresia

 pentru ,

nu are derivate partiale in origine, deoarece functia

, nu are limita cand .

Analog, functia  , nu are limita cand .

Asadar, functia compusa  nu are derivate partiale in .

Pentru a arata ca diferentialele functiilor  si  au aceeasi forma, sa desfacem parantezele in  formula (15), dand factor comun pe  si . Avem

                                   .                             (16)

si deoarece avem

si,

rezulta ca  se scrie formal cu ajutorul relatiei

                                                         .                                                    (17)

Pe de alta parte avem

                                                         .                                                   (18)

Comparand relatiile (17) si (18) deducem ca diferentiabilele functiilor  si  au aceeasi forma si aceasta constitue invarianta diferentialei intai  fata de operatia de compunere a functiilor.

Desigur, aceasta invarianta a diferentialei este formala (comparativ cu invarianta diferentiabilitatii fata de compunerea functiilor).

Intr-adevar, relatia (17) se scrie

                   ,

de unde, observam ca in aceasta formula  si  sunt in fapt diferentialele functiilor  si , definite pentru orice . Pe de alta parte, relatia (18) se scrie complet prin formula

                                             ,

in care  si  sunt diferentialele variabilelor .

O alta proprietate de invarianta prin operatia de compunere a functiilor este existenta si continuitatea derivatelor partiale. Acest rezultat este dat de urmatoarea

18. Propozitie. Daca functiile  si , au derivate partiale continue in orice , iar functia  are derivate partiale continue pe , atunci functia compusa

,

 are derivate partiale continue pe .

Demonstratie. Deoarece functiile ,  si  au derivate partiale continue, atunci aceste functii sunt diferentiabile (si implicit continue). Asadar, functia compusa este diferentiabila si are derivatele partiale definite de formulele:

                 ;               (19)

Functiile care apar in membrul drept al acestor relatii sunt continue, prin ipoteza, cum sunt derivatele partiale ale functiilor  si  sau reprezentand compunere de functii continue. Deci, derivatele partiale  si  sunt functii continue pe .

Exercitiul 2. Aratati ca functia , unde  este de clasa  pe un anumit domeniu , verifica ecuatia diferentiala .

Indicatie. Consideram functia  si functia compusa . Atunci



.

Calculam derivatele partiale ale functiei . Avem

;

.

Exercitiul 3. Aratati ca fiecare din functiile , respectiv , unde  este de clasa  pe un anumit domeniu , verifica ecuatia diferentiala

.

Solutie. Derivam functia ca produs dintre functiile  respectiv  si functia compusa , unde : in primul caz, avem

;

.

1 Definitie. Fie si  doua spatii vectoriale finit dimensionale si  o multime deschisa si . Functia  este de doua ori diferentiabila in punctul  daca sunt verificate conditiile:

(1). functia  este diferentiabila pe o vecinatate deschisa , .

(2). aplicatia derivata  este diferentiabila in .

In aceste conditii, avem  si se va numi derivata a doua a lui  in  (se mai foloseste notatia ) si avem , adica  este aplicatie bilineara:  .

 Functia  este de doua ori diferentiabila pe  daca este de doua ori diferentiabila  in orice  punct .

Are loc diagrama:

 diferentiabila de doua ori in punctul (a,b)

 exista in  si sunt marginite

 continua in

                                                                                                                                                      

derivatele partiale de ordinul doi exista in  si sunt continue in ( a,b)

 exista in si sunt diferentiabile in

 exista in  si sunt continue in

 diferentiabila in punctul

 

 exista in

20. Propozitie. Daca functiile  si ,  sunt diferentiabile de doua ori intr-o vecinatate a punctul , iar functia  este de doua ori diferentiabila intr-o vecinatate a  punctului corespunzator , atunci functia compusa

este diferentiabila de doua ori in punctul  si avem

                        ,                   (20)

unde derivatele partiale ale functiei  sunt calculate in , iar diferentialele functiilor  si  sunt calculate in punctul .

Demonsteratie. Deoarece functiile  si  sunt diferentiabile de doua ori intr-o vecinatate , atunci exista  si  si acestea sunt diferentiabile in . Functia compusa are derivate partiale de ordinul intai si au loc relatiile (19). In membrul drept al relatiilor (19) apar numai functii diferentiabile. Atunci, functiile compuse

                                      si   ,

sunt diferentiabile in  si deci functiile  si  sunt diferentiabile in , ceea ce arata ca functia compusa este de doua ori diferentiabila in . Asadar, functia compusa  are toate derivatele partiale de ordinul al doilea si, potrivit criteriului lui Young, derivatele partiale mixte sunt egale in .

Atunci, putem scrie

.

Folosind relatiile:

si ;

;

,

deducem relatia (20).

21. Observatie. Formula (20) se scrie, formal, cu ajutorul operatorului de derivare astfel:

          .         (21)

22. Observatie.  Deoarece  este diferentiabila de doua ori intr-o vecinatate  a punctului corespunzator , ea are derivatele partiale  si  diferentiabile pe . Daca functia este diferentiabila de doua ori numai in , atunci deducem ca functia compusa are derivate partiale de ordinul intai numai in , deci  nu este de doua ori diferentiabila.

23. Observatie. Formula diferentialei de ordinul al doilea a functiei compuse se poate obtine din egalitatea

                                    ,                                   (22)

in care substituim formulele derivatelor partiale de ordinul al doilea ale functiei compuse, definite prin:

                                                                     (23)

24. Observatie. Comparand formula (20) cu diferentiala de ordinul al doilea al functiei ,

                                        ,                                           (24)

observam ca  si  difera prin termenul ; astfel, putem vorbi de noninvarianta diferentialei de ordinul al doilea.

Matricea lui Jacobi[1]. Derivatele partiale pentru functii compuse.

25. Definitie. Fie  si   o multime deschisa,  si functia , , despre care presupunem ca este diferentiabila in . Notam cu  aplicatia lineara si continua  (retinem ca  este bine definit, intrucat  poate fi definit in orice punct din ). Matricea asociata lui  (relativ la bazele canonice din  si ) se numeste matricea Jacobi (matricea jacobiana) asociata functiei  in punctul  sau diferentiala lui  in punctul  si se noteaza cu , sau cu

                           .                          (25)

26. Observatie. A determina aplicatia lineara si continua  revine la calculul matricei jacobiene  relativ la bazele canonice din  si .

 Fie vectorul . Atunci, ca mai inainte, notam cu , matricea coloana care contine componentele lui . Din definitia matricei jacobiene rezulta ca putem scrie

                           .                                     (26)

27. Corolar. Fie  si  multimi deschise, ,  si punctul . Consideram functiile . Daca functia  este diferentiabila in punctul  si functia  este diferentiabila in punctul , atunci functia compusa  este diferentiabila in  si avem

                                                      .                                                     (27)

Demonstratie. Vom observa ca aplicatiile lineare  si  exista si are loc compunerea . Functia  este o aplicatie lineara si continua. Atunci, matricea jacobiana asociata functiei  in punctul , notata , este egala cu produsul matricelor  si .

28. Propozitie. Fie ,  multime deschisa,  si . Notam cu  si , . Atunci proprietatile urmatoare sunt echivalente:

(1)  functia  este diferentiabila in  punctul  (respectiv );

(2)  functiile coordonate  sunt diferentiabile in (respectiv ).

2 Corolar. (Derivatele partiale pentru functii compuse). Fie multimile deschise  si  si compunerea functiilor . Daca  este diferentiabila in  si  este diferentiabila in  atunci functia  este diferentiabila in  si avem

                                          ,,                                    (28)

unde  si .

Demonstratie. In formula (28) derivatele partiale sunt considerate ca numere si deci in locul aplicatiei lineare  luam  si atunci in (28) derivatele partiale se inmultesc. Sa observam ca din modul cum sunt definite functiile  si , ele au cate o singura componenta si deci matricile jacobiene asociate au o singura linie. Scriind dezvoltat relatia  avem

                 ,                (29)

de unde, se deduce relatia (8).

30. Observatie. Fie . Daca exista derivatele partiale  si  intr-un punct, nu rezulta ca  este continua si diferentiabila in acel punct. Dar daca aceste derivate partiale exista si sunt continue intr-o vecinatate a punctului repectiv, atunci  este diferentiabila in acel punct.



De exemplu, functia  , nu este continua in origine si in consecinta, nu este diferentiabila in origine, desi are derivatele partiale egale cu zero in origine.

Exercitiul 4. Fie functia , unde , definita prin

.

(1). Scrieti functiile coordonate ale lui .  (R. ).

(2). Determinati derivatele partiale de ordinul intai ale functiilor coordonate.

R.

.

(3). Scrieti matricea lui Jacobi asociata functiei  in punctul .

R. .

Exercitiul 5. Fie functia , definita prin formula ,   si functia , definita prin .

(1). Determinati functia compusa , .

(2). Aratati ca functia compusa  este diferentiabila in ; calculati .

Solutie.(1). Fie  si functiile coordonate ale lui .

Atunci, punand  si  obtinem functia compusa . Deci, putem scrie,

, oricare ar fi .

 (2). Functia  este diferentiabila in orice punct  ( este functie elementara). In particular, functia  este diferentiabila in punctul  si, dupa un calcul simplu, obtinem

,

unde .

Altfel. Observam ca functia  este diferentiabila in punctul  si functia  este diferentiabila in punctul  si, potrivit corolarului 1, avem

 

Functii omogene. Teorema lui Euler pentru functii omogene. Teorema lui Lagrange.

31. Definitie. Multimea  se numeste con deschis in  avand varful in originea  daca si numai daca , atunci si , pentru orice .

Din definitie, observam ca multimea  este un con avand varful in originea , daca odata cu orice punct  din multimea  atunci intreaga semidreapta care uneste punctul cu originea  este continuta in .

Fie  un con deschis cu varful in . Functia  se numeste omogena de grad , daca si numai daca

         ,   si .              (30)

sau echivalent,

,   si .

32. Observatie. Functia omogena este definita in tot conul  cu exceptia varfului conului.

Exemple:1).Functia , unde , este omogena de gradul .

2). Functia  si , este omogena de grad .

3). Functia , este omogena de grad  .

33. Teorema (Teorema lui Euler pentru functii omogene). Fie  un con deschis cu varful in . Daca functia  este omogena de grad  si diferentiabila in punctul  (evident ) atunci are loc relatia

                            .                       (31)

Demonstratie. Fie functia , definita prin . Atunci  este derivabila pe si folosind formula de derivare a functiilor compuse avem

                       , .

Alegand , obtinem  . Pe de alta parte, daca tinem seama ca  este omogena de grad , prin derivarea functiei  obtinem:

                                .

Daca functia  este omogena de grad si diferentiabila in orice punct  , , atunci are loc relatia

                    .              (32)

Relatia (32) ne permite sa demonstram urmatoarea

34. Teorema (Reciproca teoremei lui Euler). Fie  un con deschis cu varful in . Daca functia  este diferentiabila in orice punct ,  si verifica (32),

                    ,

atunci  este o functie omogena de grad  pe .

Demonstratie. Fie , un punct oarecare din conul . Atunci  si functia , definita prin ,  este derivabila pentru orice . Avem

, ,

deci  este constanta pe . Asadar, , adica

, ,

care arata ca  este omogena pe .

35. Teorema cresterilor finite. Fie  si functia . Daca  este continua pe  si diferentiabila pe , atunci exista  astfel incat

                                                  .                                                (33)

Demonstratie. Fie , , unde functii reale de variabila reala definite prin , sunt functiile coordonate ale lui . Din ipoteza deducem ca aceste functii sunt continue pe  si derivabile pe . In consecinta, functia , definita prin

, ,  unde ,

satisface conditiile teoremei lui Lagrange pe . Asadar, exista  a.i.                                                     

Pe de alta parte, avem:    si

.

Inlocuind aceste relatii in formula lui Lagrange, dupa simplificarea cu , obtinem (33).

36. Lema. Fie  un interval deschis, un spatiu vectorial normat,,  diferentiabila in  si . Atunci

.

Demonstratie. Din definitia diferentialei, avem . Deoarece  atunci   si deci, .

37. Teorema cresterilor finite. Fie , un interval inchis al axei reale,  un spatiu vectorial normat si functiile  si . Presupunem ca sunt verificate conditiile:

(1). functiile  sunt continue pe ;

(2). functiile  sunt diferentiabile pe ;

(3). ;

Atunci are loc inegalitatea

                                                   .                                                  (34)

38. Corolar. Fie ,  spatiu vectorial normat si functia . Daca  este continua pe , diferentiabila pe  si , unde , atunci

                                                     .                                                    (35)

Demonstratie. Alegem functia , definita prin . Atunci, din ipoteza, rezulta ca  si din teorema cresterilor finite, obtinem (35).

3 Corolar. Fie  spatii vectoriale normat,  o multime deschisa si convexa si functia  diferentiabila pe . Atunci, oricare ar fi , are loc inegalitatea:

                                            .                                          (36)

Demonstratie. Fie , unde  este multime convexa. Atunci  contine segmentul

.

Consideram functia ,  si functia compusa . Atunci  este diferentiabila pe  si avem . Folosind observatia de mai jos obtinem:

,  unde .

Potrivit corolarului 38, avem , de unde se obtine inegalitatea (36).

40. Observatie. Fie ,  aplicatii lineare si continue. Atunci .



[1] Jacobi Carl (1804-1851), matematician german. Este fondatorul teoriei functiilor eliptice impreuna cu N.H.Abel. A dezvoltat teoria determinantilor functionali, numiti de atunci jacobieni.









Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE Clasa: I Matematica - Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 30, fara trecere peste ordin
 Proiect didactic Grupa: mijlocie - Consolidarea mersului in echilibru pe o linie trasata pe sol (30 cm)
 Redresor electronic automat pentru incarcarea bateriilor auto - proiect atestat
 Proiectarea instalatiilor de alimentare ale motoarelor cu aprindere prin scanteie cu carburator

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 Proiect diploma Finante Banci - REALIZAREA INSPECTIEI FISCALE LA O SOCIETATE COMERCIALA
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 CONTABILITATEA FINANCIARA TESTE GRILA LICENTA
 LUCRARE DE LICENTA - FACULTATEA DE EDUCATIE FIZICA SI SPORT
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 Proiect atestat informatica- Tehnician operator tehnica de calcul - Unitati de Stocare
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia




Reducerea formei patratice la expresia canonica
ECUATII DIFERENTIALE
Limite de functii reale de o variabila reala
Binomul lui Newton. Puterea unui polinom
SECVENE PSEUDOALEATOARE
Valoarea medie a produsului
INDICATORI DE POZITIE
Teoremele sumei si consecintele lor


Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu