Creeaza.com - informatii profesionale despre


Cunostinta va deschide lumea intelepciunii - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Limite de functii reale de o variabila reala

Limite de functii reale de o variabila reala





Limite de functii reale de o variabila reala.

1. Definitie. Fie  o functie reala de o variabila reala si  un punct de acumulare pentru . Spunem ca numarul  este limita functiei  in punctul  si scriem , daca pentru orice vecinatate  exista o vecinatate  a.i. .

2. Observatie. (1). Potrivit definitiei, in punctul  functia  nu este neaparat definita si daca este definita atunci in definitia limitei se ia .

(2). Daca se tine seama de definitia vecinatatii unui punct, atunci  este limita functiei  in punctul  daca si numai daca pentru orice vecinatate  exista o vecinatate  a.i. oricare ar fi  si  sa avem .

(3). Numarul  este limita functiei  in punctul  daca si numai daca oricare ar fi sirul  de puncte din , cu  si  sa avem .

Limita  exista si este finita daca si numai daca  astfel ca, oricare ar fi ,  si  sa avem .

Limita functiei  in punctul  este  (respectiv ) si scriem , daca si numai daca  astfel ca, oricare ar fi , cu  sa avem  (respectiv ) sau echivalent pentru orice interval  exista un interval  centrat in  a.i. oricare ar fi  sa avem .

3. Limitele laterale finite ale functiei  in ,  punct de acumulare pentru , se definesc astfel:

·       limita la dreapta:  a.i. oricare ar fi punctul , cu  sa avem .

·       limita la stanga:  a.i. oricare ar fi , cu  sa avem .

 Propozitie. Fie o functie reala de o variabila reala si  un punct de acumulare pentru . Daca limita functiei  in punctul  exista, atunci aceasta limita este unica.

Demonstratie. Daca  are limita  in punctul , atunci oricare ar fi sirul , ,  avem , deci toate sirurile  au limita unica .

5. Propozitie. (1).  Daca  atunci  ;

(2). Daca  atunci      (deoarece daca );

(3). Daca  atunci este posibil ca  sa nu existe;

Exemple:                                                                      (a).  nu exista, dar ;                                                                  (b).  nu exista, dar .

 6. Observatie. Fie  si . Atunci cand dorim sa punem in evidenta unele informatii despre comportarea acestor functii in  punctul ,  folosim uneori notatiile:

1). (citim: functiile  si  sunt asimptotic echivalente cand ) daca si numai daca

.

2).  (citim: functia are un ordin mai mic decat functia , cand ) daca si numai daca  .

3). (citim: functia  are acelasi ordin cu functia , cand ) daca si numai daca

unde  este o constanta independenta de .

Evident, in aceste definitii admitem ca ambele functii  sunt bine definite intr-o vecinatate  si diferite de zero in orice , exceptand eventual cazul .

Exemple:

1)  deoarece .

2)  deoarece  .

3) .                                             4) .

5) .                                     6) .

 Functii reale continue de o variabila reala

7. Definitie. Fie  o functie reala de o variabila reala si  un punct de acumulare pentru . Spunem ca functia  este continua in punctul  daca limita lui  in  este egala cu ,

.

8. Teorema. (caracterizarea continuitatii intr-un punct). Fie  si  un punct de acumulare pentru . Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(1).  functia  este continua in punctul ;

(2)   pentru orice vecinatate  exista o vecinatate  a.i. ;

(3).   a.i. oricare ar fi , cu  sa avem ;

(4).  oricare ar fi sirul  de puncte din  si  sa avem ;

(5).  oricare ar fi vecinatatea  atunci  este o vecinatate a lui  inclusa in ; altfel spus, functia  intoarce vecinatatile din  ale lui  in vecinatati ale lui  din .

Functia se numeste continua pe  daca si numai daca este continua in orice punct din .

Functia  este continua pe , daca si numai daca oricare ar fi multimea deschisa ,

atunci  este multime deschisa in  (definitia globala a continuitatii).

Daca  nu este continua in punctul , atunci spunem ca  este discontinua in  sau ca punctul  este punct de discontinuitate pentru . Deoarece  este continua in punctele izolate ale lui , atunci orice punct de discontinuitate  al lui  este punct de acumulare pentru  si evident .

9. Observatie. Daca un punct  nu apartine domeniului de definitie al lui , atunci nu are sens sa se puna problema continuitatii sau discontinuitatii in acest punct, chiar daca  este punct de acumulare pentru domeniul de definitie al lui .

Daca  este discontinua in punctul  si exista limite laterale  si , finite si , atunci  este punct de discontinuitate de speta intai. In acest caz diferenta

                                                       ,                                                   (1)

se numeste saltul lui  in .

 In caz contrar, punctul  se numeste punct de discontinuitate de a doua speta.

Functia  se numeste continua la stanga (respectiv, continua la dreapta) in , daca  (respectiv . Asadar, rezulta ca functia  este continua in  daca si numai daca exista limitele laterale ale lui  in  si avem .

10. Definitie. Fie , doua multimi si functia . Spunem ca functia  realizeaza un omeomorfism de la  la , daca se verifica conditiile:

(1).  functia  este bijectiva;

(2).  functia si functia inversa  sunt functii continue.

11. Curbe si suprafete Jordan. Fie  un spatiu euclidian n-dimensional () si segmentul  al axei reale. Daca s-a stabilit un omeomorfism intre segmentul  si o submultime , , atunci spunem ca  este un arc de curba simpla Jordan; imaginea punctelor  si  prin omeomorfismul  se numesc extremitatile curbei .

Presupunem ca s-a ales o baza in , astfel incat orice punct  este reprezentat prin coordonatele sale ,  si ca aceste coordonate sunt functii continue de variabila  si la orice valoare  corespunde un unic punct  si numai unul. Daca s-a realizat o astfel de corespondenta spunem ca s-a dat o reprezentare parametrica a lui ; reprezentarea parametrica induce pe curba o anumita orientare. Astfel de reprezentari nu afirma nimic despre netezimea curbei . Corespondenta intre punctele intervalului  si submultimea  este biunivoca cu exceptia a doua cazuri care pot fi intalnite:

·    Punctul  este imaginea prin  a doua valori diferite ,  (interioare intervalul ), caz in care  se numeste punct dublu.

·    Punctul  este numai intr-o singura situatie imaginea prin  a doua valorilor diferite, anume  si  (), caz in care  se numeste curba simpla inchisa.

Fie  o curba plana (). Daca  este curba simpla inchisa atunci ea imparte planul in doua regiuni, una interioara si alta exterioara a.i. curba  este frontiera lor comuna.

Fie  un domeniu. Daca  este un omeomorfism, atunci submultimea se numeste suprafata jordaniana.

Exemple. (1). Functia , definita prin  este un omeomorfism de la intervalul  la intervalul  si functia inversa , este definita prin

, oricare ar fi .

(2). Fie functia , definita prin , . Vom nota cu  si   functiile coordonate ale lui . Atunci

(1).   este functie continua;

(2).   si  , unde  este cercul trigonometric.

(3).  este functie injectiva pe  si pe , adica restrictiile  si  sunt functii injective si corespondenta prin  intre  si cercul trigonometric este omeomorfism.

Demonstratie. (1). Fie proiectiile canonice, , , definite prin  si  si functiile . Atunci  continua si derivabila daca si numai daca proiectiile  sunt functii continue si derivabile. Punem , unde  si .

(2). Aratam incluziunea. Fie , atunci exista  astfel incat sa avem . Deci, ,  si atunci , de unde rezulta ca .

Pentru a arata incluziunea , fie  oarecare si . Atunci  si avem  si  .

Definim . Atunci, din relatia  obtinem ca , de unde rezulta  .

Avem situatiile:

(i).  daca   atunci ;

(ii). daca   atunci ; asadar, .

Perechea , formata din:  parametrizarea ,  si imaginea din a parametrizarii, , se numeste drum parametrizat din .  

12. Observatie. Continuitatea unei functii este o notiune punctuala, ea depinde de fiecare punct in care este definita functia.

In continuare vom defini notiunea de uniform continuitate, care depinde de intreaga multime pe care este definita functia.

13. Definitie. Fie , o multime care nu contine puncte izolate si o functie. Spunem ca functia este uniform continua pe , daca

 a.i. oricare ar fi , cu  sa avem ;

Se demonstreaza imediat, afirmatiile:

(1).  O functie uniform continua pe  este continua pe .

(2). Daca functia  este lipschitziana pe , adica,

daca exista  a.i. , oricare ar fi ,

atunci  este uniform continua pe  (se alege ).

(3). functia nu este uniform continua pe  daca si numai daca  cu proprietatea ca

 exista doua puncte din , fie acestea  si , a.i. .

1 Teorema lui Weierstrass[1]. Fie , o multime compacta si  o functie continua pe , atunci functia este marginita si isi atinge marginile (altfel spus  este multime compacta.

Demonstratie. Aratam ca  este marginita. Presupunem prin absurd canu este marginita pe  si, pentru a fixa ideile vom presupune ca  nu este marginita superior. Atunci exista un sir  de puncte din , cu proprietatea ca sirul . Cum sirul  este continut in  care este marginita, rezulta ca este marginit, deci contine un subsir  care este convergent (lema lui Cesaró) catre punctul  (multime inchisa). Deoarece  este continua pe , atunci este continua in  si putem scrie ca . Pe de alta parte, subsirul , al sirului  care este convergent si tinde la , va tinde catre . Asadar, avem  ceea ce contrazice faptul ca  ia valori in , deci  este marginita superior. Analog se arata si marginirea inferioara a lui . In consecinta, exista , a.i. , . Desigur,  si . Aratam ca exista , a.i.  si respectiv . Vom arata prima afirmatie, adica exista  a.i. . Intr-adevar, in caz contrar, am avea , oricare ar fi . Fie functia , definita prin . Atunci  este functie continua pe  si ia valori pozitive. Asadar,  este marginita pe , adica exista  a.i. , oricare ar fi .

Rezulta ca , ceea ce contrazice faptul ca  este cel mai mare minorant .

15. Observatie. Daca multimea  nu este inchisa, dar este marginita, atunci  nu este neaparat marginita, sau daca este marginita, nu isi atinge marginile. De exemplu, functia , definita prin , este continua si marginita pe , insa nu isi atinge marginea superioara care este egala cu  si nici marginea inferioara care este egala cu . Functia , definita prin , este continua pe  si nu este marginita superior, pentru ca .

16. Teorema lui Heine. Fie , o multime compacta si  o functie continua pe , atunci functia este uniform continua pe .

Demonstratie. Multimea  este compacta  este multime inchisa si marginita. Vom presupune ca nu este uniform continua pe . Atunci exista  cu proprietatea ca oricare ar fi , in particular alegem  , exista doua puncte din , fie acestea  si , a.i. . Cum multimea  este marginita, atunci sirul  este marginit, deci contine un subsir convergent, fie acesta  si, . Deoarece  este punct aderent pentru multimea  a termenilor sirului, deci pentru  si, cum  este inchisa, atunci . Deoarece  este continua in  avem . Analog se arata ca exista , a.i.  si  si cum , atunci prin trecere la limita rezulta ca  si deci .

Deoarece  este continua in  atunci putem scrie   si . Din relatia

,

deducem ca  si deci diferenta  devine suficient de mica dorim. Asadar, de la un anumit rang incolo, avem , ceea ce este in contradictie cu presupunerea facuta.

17. Criteriul lui Cauchy de la siruri (teorema 2.9 si propozitia 2.20), care stabileste conditia de existenta a limitei finite a unui sir de numere reale dat, conduce la urmatorul criteriu pentru functii:

Criteriul lui Cauchy. Fie ,  punct de acumulare pentru  situat la distanta finita. Conditia necesara si suficienta ca functia  sa aiba limita finita in punctul  este ca pentru orice  sa existe o vecinatate  a.i. pentru orice , sa avem .

Demonstratie. „”. Presupunem ca  exista finita limita , . Atunci pentru orice , exista  a.i. pentru orice ,  cu  implica . Fie  oarecare, a.i.  si , . Atunci avem

.

”. Fie  dat. Presupunem ca exista  a.i. , pentru toate punctele  cu proprietatea ca , . Fie un sir particular  din  care converge catre punctul de acumulare . Vom studia sirul  al valorilor sirului ales .

Deoarece  este dat si  este functie de  bine determinata, atunci putem alege numarul natural  a.i. sa avem

  si  , pentru orice .

Dar atunci rezulta ca  si, in consecinta, sirul  este un sir Cauchy de numere reale, deci convergent catre o limita finita .

Alegem  a.i.  si  cum , pentru orice , atunci pe baza ipotezei facute, putem scrie . De aici deducem

ceea ce arata ca de indata ce  implica   si deci  tinde catre limita .

Exercitiu. Aratati ca functia , are limita in vecinatatea originii.

R. Vom arata ca este satisfacut criteriul lui Cauchy in vecinatatea originii. In acest scop, fie  si . Avem  .

Fie  oarecare, dar fixat. Este suficient sa alegem  astfel ca de indata ce  si  implica .

Deoarece , atunci  si deci, .

18. Teorema Cauchy-Bolzano. Fie  un interval si  o functie continua pe . Atunci  este un interval din .

Demonstratie. Daca  nu se reduce la un punct, fie  si  cu , doua puncte distincte din . Aratam ca . Fie  si functia , . Deoarece  este continua pe  iar  si . Atunci exista un punct  intre  si  a.i.  si deci, exista  intre  si  astfel incat .

Pentru a arata existenta punctului  intre  si  a.i. , vom considera multimea nevida . Fie  (exista  cu aceasta proprietate deoarece multimea   este marginita superior). Cum , daca  atunci exista un interval centrat in  pe care , dar acest fapt vine in contradictie cu . Daca  ajungem din nou la contradictie deoarece . Asadar, ramane unica posibilitatea .

Din teorema 18 deducem ca orice functie reala , definita si continua pe un interval compact , ia toate valorile intermediare cuprinse intre margini.

19. Teorema. Daca  este omeomorfism si  este multime compacta atunci  este multime compacta.

Demonstratie. Fie  o submultime oarecare ( are o infinitate de elemente). Deoarece  este omeomorfism intre  si , atunci exista  ( are o infinitate de elemente)  a. i. . Cum multimea  este compacta, atunci  poseda un punct de acumulare . Asadar, exista in , un sir  care converge catre . Fie sirul  si   din . Deoarece  este functie continua atunci din  (cand ) rezulta ca . Asadar, multimea infinita , fiind aleasa oarecare, poseda un punct de acumulare si deci  este compacta.

Oscilatia unei functii.

20. Fie un spatiu metric si  o multime oarecare. Definim diametrul multimii , notat cu  sau , cu ajutorul numarului

.

Numarul   se numeste distanta de la punctul  la multimea .

Daca  este multime inchisa atunci .

Fie functia . Diametrul multimii , se numeste oscilatia functiei  pe multimea  si se noteaza prin

.

Daca este un punct oarecare din  si  multimea vecinatatilor lui , atunci numarul

,

defineste oscilatia lui  in punctul .

21. Propozitie. Fie functia . Atunci avem

(1). Oscilatia  este finita daca si numai daca este marginita pe  si avem

.

(2). Daca .

22. Propozitie. Fie functia  si . Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(1). functia  este continua intr-un punctul ;

(2). oscilatia functiei  in  punctul  este nula (adica );

(3). .

Solutie. „(1)(2)”. Presupunem ca  este continua in . Atunci oricare ar fi ,  a.i. pentru orice  cu  sa implice . Asadar, fiind dat , exista o vecinatate a lui ,  a.i. oricare ar fi  sa avem . De aici rezulta ca   si  si in consecinta avem  de unde obtinem ca . Cum numarul  a fost ales arbitrar rezulta ca .

„(2)(1)”. Presupunem ca . Atunci a.i. . De aici deducem ca , de unde obtinem:, ceea ce arata ca  este continua in .

Echivalenta  se verifica imediat.

Functii continue pe portiuni. Functii etajate. Functii netede pe portiuni

23. Definitie. Fie  un spatiu metric si  un interval inchis al axei reale. Functia se zice continua pe portiuni (continua pe bucati) daca exista o partitie finita (diviziune finita)  a lui  si aplicatiile continue , unde , a.i. , adica sa avem , pentru orice .

Altfel spus, functia  este continua pe portiuni daca este continua in orice punct din  cu exceptia unui numar finit de puncte, iar in aceste puncte exista limitele laterale ale lui . Asadar, multimea punctelor de discontinuitate  ale lui  este finita si acestea sunt puncte de discontinuitate de prima speta (exista si sunt finite limitele laterale si ). Este clar ca in  nu exista , iar in  nu exista . 

2 Definitie. Functia , se zice etajata (functie in scara) daca exista o partitie finita (o diviziune finita)  a lui  a.i. , unde  sunt constante, ; altfel spus, sa avem , pentru orice , .

2 Observatie. Functia etajata ia un numar finit de valori, ; Orice functie etajata, care ia valori finite, se poate scrie sub forma

 

unde  ,  este  functia caracteristica a intervalului .

Daca una sau mai multe din constantele  iau valorile  sau , formula de mai sus ramane valabila daca se face conventia .

25. Propozitie. Multimea functiilor etajate pe  formeaza un spatiu vectorial peste corpul  al numerelor reale.

Demonstratie. Fie  si , atunci avem , deci  este functie etajata.

Fie  doua functii etajate. Atunci exista doua partitii finite ale lui , fie acestea   si  a.i.  ia valorile  pe si  ia valorile  pe . Deci, putem scrie  si . Deoarece  este fie multimea vida, fie un interval din  si atunci,  este o partitie finita a lui . Asadar,  ia valori constante pe fiecare din intervalele partitiei  si avem

deci,  este functie etajata. Evident, daca este cazul, se face conventia de calcul .

26. Propozitia. Produsul a doua functii etajate pe  este o functie etajata.

Intr-adevar, fie  si  , atunci  formeaza o partitie a lui  si  putem scrie

.

Din cele doua propozitii rezulta ca multimea functiilor etajate pe  formeaza o algebra de functii.

27. Definitie. Functia ,  spatiu metric, se zice neteda pe portiuni (neteda pe bucati) daca exista o diviziune  a lui  si functiile , , , a.i. , adica sa avem , pentru orice .

Daca   este neteda pe portiuni, atunci  este diferentiabila in orice punct din  si in orice punct  exista si sunt finite derivatele laterale  si ), iar in  exista numai  si in  exista numai  si atunci  este definita astfel:

(i).  este derivata lui  in orice , daca aceasta exista;

(ii).  ia valori arbitrare in punctele .

28. Observatie. Functiile continue pe portiuni,  formeaza o algebra de functii.

Exemplul 1. Fie intervalul  si diviziunea , care realizeaza o partitie finita a lui  si functia etajata  definita prin (graficul este realizat cu programul Mathcad).

Exemplul 2. Fie  si diviziunea , care realizeaza o partitie finita a lui . Functia  definita mai jos, este neteda pe portiuni (graficul lui  este realizat cu programul Mathcad).

Exemplul 3. Fie  si functia , definita prin . Atunci  este continua pe . Fie partitia  si intervalele  si  Evident, functia  are derivate continue pe  si pe  si avem 

Spatii de functii. Algebre de functii

Fie  si  doua multimi. Atunci notam cu  multimea functiilor .

Daca  si  sunt doua spatii metrice, atunci notam cu  multimea functiilor continue . Evident, avem .

29. Definitie. Numim algebra (-algebra) orice inel  pe care s-a dat o aplicatie , notata  (inmultirea cu scalari) a.i. sa se verifice proprietatile:

(i).   este -spatiu vectorial (grupul aditiv al inelului  este organizat ca spatiu vectorial peste corpul ).

(ii).  iar inmultirea din inelul  verifica conditia oricare ar fi  si .

Algebra  este comutativa (respectiv asociativa, cu unitate, cu divizori ai lui zero), daca inelul  este comutativ respectiv asociativ, cu element unitate unitate, cu divizori ai lui zero).

Fie  o algebra. Prin definitie, baza spatiului vectorial  este baza algebrei si dimensiunea spatiului vectorial  este dimensiunea algebrei.

Exemplu. Fie  o multime nevida, atunci multimea  in care s-au definit operatiile:

 (adunarea functiilor );

(inmultirea functiilor );

( inmultirea functiilor  cu scalari );

pentru orice  si  formeaza o algebra comutativa.

Fiind data o algebra , submultimea  se numeste subalgebra a lui , daca pentru orice   si  avem .

Numim algebra de functii pe  orice subalgebra .

Exemplu. Fie  un spatiu metric, atunci  este algebra de functii.

30. Definitie. Orice algebra  pe care s-a definit o norma , ( este spatiu vectorial, deci are sens notiunea de norma) care verifica proprietatea

oricare ar fi ,

se numeste algebra normata.

O algebra normata si completa se numeste algebra Banach.

Exemple:

(1).  Daca este o multime, atunci multimea functiilor marginite definite pe  cu valori reale, notata cu , pe care s-a definit norma , este algebra Banach.

(2).  Daca este spatiu metric compact, atunci  este algebra Banach.

Intr-adevar, daca  este spatiu metric compact, atunci orice functie continua  este uniform continua; , deci este algebra de functii pe orice spatiu metric ; cu norma convergentei uniforme ,  devine algebra normata, deoarece putem scrie

.

Functii diferentiabile de o variabila reala

31. Definitie. Fie  un interval nedegenerat,  ( este punct interior intervalului ) si functia . Spunem ca functia  este derivabila in  daca si numai daca exista  si este finita limita

                                      ,   notata cu ;                                           (1)

Numarul real  se numeste derivata functiei  in punctul .

Uneori, derivata functiei  in punctul  va fi notata prin  ; daca se folosesc notatiile , , atunci  si derivata functiei  in punctul  este limita raportului dintre „cresterea functiei ” si „cresterea argumentului in jurul punctului ”, cand .

Daca facem translatia , atunci din (5.1) obtinem (evident, daca )

                                            ;                                                (2)

Daca functia  este derivabila in orice punct  spunem ca  este derivabila pe  si datorita relatiei (2) putem scrie

                               , oricare ar fi .                                    (3)

Daca  si  este derivabila pe , se mai scrie ; uneori, pentru a pune in evidenta argumentul in raport cu care se face derivarea, se folosesc si notatiile .

32. Propozitie. Fie functia . Daca functia  este derivabila in punctul  atunci  este continua in .

Demonstratie. Deoarece functia este derivabila in  atunci limita (5.1) exista si este finita. Trecand la limita relatia,  , obtinem

deci, , care arata continuitatea functiei  in punctul .

Reciproca acestei propozitii, in general, este falsa. De exemplu, functia , definita prin

 nu este derivabila in .

Derivabilitatea acestei functii depinde de existenta limitei raportului   in punctul . Ori, in acest caz avem  si , deci limita acestui raport nu exista in  si atunci, functia modul nu este derivabila in origine.

33. Definitie. Daca  este punct de acumulare pentru  si exista limita finita

                                       ,  cu ,                                           (4)

atunci aceasta limita se numeste derivata la stanga a functiei  in . Asemanator se defineste derivata la dreapta a functiei  in , notata cu .

Daca , atunci derivabilitatea lui  in punctul  (respectiv in ) revine la faptul ca functia  este derivabila la dreapta lui  (respectiv la stanga lui ).

3 Propozitie. Fie ,  o multime deschisa si  . Functia  este derivabila in punctul  daca si numai daca derivatele laterale  si  exista, sunt finite si egale intre ele si atunci putem scrie

.

Demonstratie. „”. Presupunem ca  este derivabila in . Atunci exista finita limita (5.1) si, evident, exista  si , deci  .

”. Presupunem ca exista si sunt egale derivatele laterale ale  lui in . Vom nota cu  valoarea comuna a acestor derivate, . Aratam ca

                                                     .                                                      (*)

Fie , o vecinatate oarecare a lui . Atunci exista vecinatatile  si  ale lui  a.i. pentru orice  si  sa avem  si pentru orice  cu  sa avem . Consideram vecinatatea . Atunci pentru orice  vom avea fie , deci , fie  si deci . Aceste afirmatii arata ca se verifica definitia limitei cu vecinatati si, in consecinta, relatia (*) este verificata.

35. Definitie. Fie  un interval deschis si functia . Functia  se numeste diferentiabila in punctul  daca si numai daca exista numarul real  si o functie ,  continua in , cu  a.i. sa aiba loc relatia

                                     .                                                 (5)

Numarul  daca exista este unic determinat si avem  (se citeste,  este derivata lui  in punctul ), iar partea lineara  se numeste diferentiala lui  in  si uneori se noteaza prin

                                                 .                                                             (6)

sau, daca se noteaza , atunci se obtine notatia uzuala

                                                    .                                                                (7)

36. Lema. Fie ,  interval deschis si , si fie functia . Afirmatiile urmatoare sunt echivalente:

1)     Functia  este diferentiabila in .

2)     Exista o aplicatie lineara  si o functie ,  continua in , cu , a.i. sa aiba loc relatia

                                     .                                                 (8)

Demonstratie. „”. Deoarece  este diferentiabila in punctul , vom nota cu  si

definim functia

                            .                                         (9)

Este evident ca  este continua in  si .

”. trivial.

37. Observatie. Egalitatea (8) poate fi scrisa sub urmatoarea forma

                                   .                                              (10)

Intr-adevar, din definitia functiei  deducem ca in vecinatatea  avem

 .

38. Definitie. Fie ,  multime deschisa. Functia  se numeste diferentiabila pe  daca este diferentiabila in orice punct  si avem  definita prin  si se citeste „derivata lui  in punctul ”. Deci , , fixat.

Atunci, folosind notatia uzuala, scriem

                                                           .                                                         (11)

Spunem ca functia  este de clasa  pe  si scriem  daca si numai daca  este diferentiabila (derivabila) in orice punct din  si derivata  continua pe .

39. Observatie. Daca  este diferentiabila pe , atunci  ia valori in .

Deci  si deoarece  se identifica izometric cu , atunci putem considera pe  ca o functie definita astfel .

40. Teorema  (Operatii cu functii derivabile).

Fie , multime deschisa,  si .

(1). Daca  si  sunt diferentiabile in  atunci functia  este diferentiabila in  si avem .

(2). Daca  este diferentiabila in  si  atunci functia  este diferentiabila in  si avem .

(3). Daca , deci  este functie lineara atunci  diferentiabila in orice punct  si avem .

(4). Daca  si  sunt diferentiabile in  atunci functia  este diferentiabila in  si avem .

Demonstratie. Vom observa ca proprietatile (1) si (2) arata ca derivata este un operator (o aplicatie lineara) linear, adica  si .

(1). Scriem ca  sunt functii diferentiabile in : exista aplicatiile lineare si continue  si functiile  continue in :,  a.i.

                            unde .

                            unde .                        

Adunand aceste relatii si folosind notatiile ,  si , deducem ca functia  este diferentiabila in .

(2). Din faptul ca  este functie diferentiabila in  rezulta existenta aplicatiei lineare si continue  si a functiei  continua in  ,  a.i.

                            unde .

Inmultind aceasta relatie cu , deducem ca  este diferentiabila in , si are derivata .

(3). Din faptul ca  este aplicatie lineara putem scrie

si luand  si , rezulta afirmatia din enunt.

(4). Datorita ipotezei putem scrie

si.

Inmultind prima relatie cu  si pe cea de a doua cu  si apoi adunam aceste relatii, obtinem

,

unde  si . Relatia obtinuta arata ca   este diferentiabila in .

Observatie. Orice functie  diferentiabila in  este continua in .

41. Definitie. Fie ,  multime deschisa,  si . Functia  este de doua ori diferentiabila in daca:

(i).  exista o vecinatate , , a.i.  este diferentiabila pe ;

(ii). functia  este diferentiabila in .

In aceste conditii se noteaza .

42.Observatie. Functia  este de doua ori diferentiabila pe  daca este de doua ori diferentiabila in orice punct din ;

Functia  este de clasa  daca si numai daca este de doua ori diferentiabila pe  si derivata  este continua pe .

Generalizarea acestor definitii se poate face pentru orice intreg  si derivata .

Exercitiul 1. (Derivata functiei compuse). Fie  intervale deschise, functia , diferentiabila in , functia  diferentiabila in . Atunci functia compusa  este diferentiabila in  si are loc relatia

Exercitiul 2. (Derivata functiei inverse). Fie  intervale deschise si functia , continua si bijectiva. Daca  este diferentiabila in  si  atunci functia inversa  este diferentiabila in  si are loc relatia

Exercitiu 3. Daca  si sunt derivabile in punctul  (sau pe ) atunci functia , daca  este derivabila in (sau pe ) si avem

                                                        .

Daca  sunt derivabile de  ori in (sau pe ) atunci  este derivabila de  ori in (sau pe ) si are loc formula lui Leibniz

                                              .                                         (5.12)

Exercitiul  Fie functiile  si  diferentiabile, astfel incat are sens functia  care este diferentiabila (vom scrie, ). Atunci are loc relatia

.

Exercitiul 5. Fie functia , . Sa se arate ca  este diferentiabila in orice punct  si .

R. Potrivit relatiei (5), putem scrie (pentru ), .

Atunci, definim functia

Se verifica usor ca  este continua pe  si . Asadar,  este diferentiabila in .

Exercitiul 6. Aratati ca functia ,  nu este diferentiabila in punctul .

R. Presupunem ca  ar fi diferentiabila in . Atunci exista unic numarul  si functia ,  continua in , cu  a.i.

.

Asadar, daca , din aceasta relatie, deducem urmatoarea expresie pentru functia :

,.

Deoarece , atunci functia , daca exista, are expresia

Din continuitatea lui  deducem ca , ceea ce arata ca  ramane nedeterminat  si, in consecinta,  nu este diferentiabila in origine.

Exercitiul 7. Exista functii care sunt derivabile intr-un punct  fara ca derivata sa  sa fie continua in punctul . De exemplu, functia  este continua pe , deci si in . Derivata  exista si este egala cu zero, insa functia derivata   nu este nici macar definita in origine.



[1] Weierstrass Karl I.W. (1815-1897), ilustru matemetician german.




loading...





.com Copyright © 2017 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE Clasa: I Matematica - Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 30, fara trecere peste ordin
 Proiect didactic Grupa: mijlocie - Consolidarea mersului in echilibru pe o linie trasata pe sol (30 cm)
 Redresor electronic automat pentru incarcarea bateriilor auto - proiect atestat
 Proiectarea instalatiilor de alimentare ale motoarelor cu aprindere prin scanteie cu carburator

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 Proiect diploma Finante Banci - REALIZAREA INSPECTIEI FISCALE LA O SOCIETATE COMERCIALA
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 CONTABILITATEA FINANCIARA TESTE GRILA LICENTA
 LUCRARE DE LICENTA - FACULTATEA DE EDUCATIE FIZICA SI SPORT
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 Proiect atestat informatica- Tehnician operator tehnica de calcul - Unitati de Stocare
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia




Signatura unei forme patratice reale
Sisteme de ecuatii si transformari liniare. (Regula lui Cramer)
Definitia geometrica si cea axiomatica
MODELAREA COMPORTARII IN FUNCTIONARE A INSTALATIILOR TEHNOLOGICE CU AJUTORUL LANTURILOR MARKOV
Siruri de functii
Ecuatii de tip Riccati
SIRURI RECURENTE - TACTICA si STRATEGIE
Teoremele sumei si consecintele lor



loading...

Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu