Creeaza.com - informatii profesionale despre


Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Reducerea formei patratice la expresia canonica

Reducerea formei patratice la expresia canonica



Reducerea formei patratice la expresia canonica

TEOREMA 1.6.5.(Metoda  lui   Gauss). O forma patratica P   : E ® R se poate scrie totdeauna sub forma canonica printr-o schimbare convenabila a bazei spatiului.


Demonstratie. Fie o forma patratica  

P  

in care  este baza a spatiului E. Punem in evidenta toti termenii care il contin pe  si anume  in care formam patratul perfect () obtinand

  

si din care trebuie sa scadem pe

                         

Deci  P   (x) se scrie

                           P    P  ,

unde P  1() este o forma patratica care nu-l contine pe .

Procedeul se continua si pentru P   1. Dupa  astfel de operatii obtinem

P    ,

unde :

      

       B¢ noua baza(care, eventual, se determina usor folosind  schimbarile de coordonate)

        

       ceilalti coeficienti  si coordonate , i = 2, ,n, se determina din aproape in aproape.                       œ

Observatia 1.6.7. Procedeul folosit nu este unic; aici am inceput cu , dar putem incepe cu oricare   si sa le separam.

Observatia  1.6.8.  Daca ,  si P     nu este identic nula, atunci exista cel putin un element ,  pentru . Prin transformarea de coordonate

 ,  expresia formei patratice devine

                                               P    ,

in  care  cel  putin unul din elementele , , este nenul ( deoarece  ).

Presupunand  ,  procedeul  se  continua  cu  expresia  (10).

TEOREMA 1.6.6. (Metoda lui Jacobi) Fie E spatiu vectorial real, P   : E ® R o forma patratica, F    forma biliniara simetrica asociata,  o baza  in  E,

M (F    ; ),

                               P    M (F   ; BB).

Daca  toti  determinantii

(11)           

                                                         M(F   ;BB)

numiti determinanti minori principali ai matricei M(F   ; BB) sunt nenuli, atunci exista o baza

                                                 ,

obtinuta din B prin matricea de trecere triunghiulara   

(12)                               ,

in care P   are forma canonica

(13)                                       P   ,    cu      .

Demonstratie. In baza

                P   ( F   ; ,   cu    F  

Vom demonstra ca se poate determina o transformare triunghiulara de forma (12) astfel ca  0, pentru . Deoarece F   = F   , este suficient ca

(14)                 F   ,   ,  cu  ,

sau, folosind transformarea (12), F    cu  

                         F       ,   cu                                                        

(15)                 F        



Adaugam, pentru simplificarea calculelor, conditiile

(16)                             F         .

Cu dezvoltarile

   F    F    F    F  

                                    ,

pentru ca sunt scalari si  sunt dati, iar   sunt necunoscuti, relatiile (15) si (16) se scriu in sistemul (17),

pentru . Prin ipoteza Di ¹ 0, deci acest sistem va determina in mod unic co-

ordonatele   ale vectorului   in baza B. 

De exemplu,  (din rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare si omogene).

In baza astfel obtinuta, forma  patratica va avea forma canonica

P   ,

cu coeficientii

                                                            F   ,

care trebuie determinati. Pentru aceasta facem dezvoltarea

                                     F    F    F    ,

si,  tinand  seama  de  (15)  si  (16),  rezulta

                                                               .

Cu    dedus  din  sistemul  (17)  rezulta

                                                 ,  .

Pentru  ,  avem

                                      F    F   .

Pe  de  alta  parte,

                                     F    F    F  

si  rezulta

                                                .

Deci in baza , determinata prin procedeul de mai sus, forma patratica are forma canonica  (13) .          ˜

Observatia 1.6.9. Teorema lui Jacobi permite sa se construiasca o baza pentru re-ducerea formei patratice la forma canonica si sa se calculeze coeficientii formei canonice. Acesti coeficienti arata numarul termenilor negativi cat si ai celor pozitivi.

TEOREMA   1.6.7.  (Metoda  valorilor  proprii  si  a  vectorilor  proprii). Daca

P    : E ® R este o forma patratica, atunci exista o baza B¢ = (u1, u2, , un) a lui E fata de  care expresia canonica a formei este

                                           P   ,   

unde   sunt valorile proprii ale matricei  formei, fiecare valoare proprie  fiind scrisa de atatea ori cat este multiplicitatea sa, iar , i = 1, , n, sunt coordonatele  lui   in  aceasta  baza.

Demonstratie. Deoarece matricea formei P   este o matrice simetrica reala, ea admite numai valori proprii reale si se poate diagonaliza. Atunci baza cautata B¢ este formata din vectorii proprii ortonormati ai matricei formei M(F  ;). In baza B¢ obtinem expresia canonica a formei P si anume, daca M(B, B¢) este matricea de trecere de la B la B¢, prin schimbarea [] = M (B, B¢) [] ,  avem

                        P   ( F   ;.   ˜








Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE Clasa: I Matematica - Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 30, fara trecere peste ordin
 Proiect didactic Grupa: mijlocie - Consolidarea mersului in echilibru pe o linie trasata pe sol (30 cm)
 Redresor electronic automat pentru incarcarea bateriilor auto - proiect atestat
 Proiectarea instalatiilor de alimentare ale motoarelor cu aprindere prin scanteie cu carburator

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 Proiect diploma Finante Banci - REALIZAREA INSPECTIEI FISCALE LA O SOCIETATE COMERCIALA
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 CONTABILITATEA FINANCIARA TESTE GRILA LICENTA
 LUCRARE DE LICENTA - FACULTATEA DE EDUCATIE FIZICA SI SPORT
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 Proiect atestat informatica- Tehnician operator tehnica de calcul - Unitati de Stocare
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia




FORMULE
MODELAREA COMPORTARII IN FUNCTIONARE A INSTALATIILOR TEHNOLOGICE CU AJUTORUL LANTURILOR MARKOV
Sisteme de ecuatii si transformari liniare. (Regula lui Cramer)
ECUATII DIFERENTIALE
Transformari liniare simetrice
Limite remarcabile. Aplicatii
Reducerea formei patratice la expresia canonica
Transformari sinusoidale – transformata Fourier - Probleme rezolvate


Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu