Verificarea ipotezelor statistice referitoare la egalitatea a doua valori medii

VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE REFERITOARE LA EGALITATEA A DOUA VALORI MEDII

Verificarea ipotezelor statistice referitoare la egalitatea a doua valori medii, care au fost obtinute prin prelucrarea datelor de sondaj, este o optiune la care se recurge atunci cind este necesar sa se cunoasca pozitia statistica a doua colectivitati prin prisma valorilor lor medii.

a) Cazul I: Verificarea egalitatii a doua valori medii in urmatoarele conditii:

- volumul celor doua esantioane, (dupa unii autori aceasta limita este considerata ca fiind de 30 unitati statistice)

- se cunosc dispersiile caracteristicii statistice, , aferente celor doua colectivitati totale din care s-au extras esantioanele de volum .

In aceasta varianta de calcul se utilizeaza ”Criteriul z”. Se determina valorile medii aferente caracteristicii studiate, pentru cele doua esantioane si se verifica egalitatea dintre marimea z-statistic cu marimea -tabelar.

Daca 

se accepta ipoteza nula si deci se conchide ca intre cele doua medii nu este o diferenta semnificativa. Colectivitatile din care au fost extrase esantioanele sunt asemanatoare.

Nota: este factorul de probabilitate care corespunde legii de repartitie normale in functie de probabilitatea cu care se doreste sa fie garantata testarea (sau de riscul de genul I acceptat - pragul de semnificatie - q”) extras din Anexa 2.

b) Cazul II: Se verifica egalitatea a doua medii calculate pe baza a doua esantioane extrase din aceeasi colectivitate statistica totala, atunci cand,

-

- nu se cunoaste dispersia caracteristicii statistice, pentru colectivitatea totala din care s-au extras esantioanele de volum .

Se utilizeaza ”Criteriul z”

Daca 

se accepta ipoteza nula si deci se conchide ca intre cele doua medii nu este o diferenta semnificativa.

Nota: Dispersiile sunt estimatii ale dispersiei caracteristicii statistice din colectivitatea totala, calculate pe baza celor doua esantioane constituite, astfel:

c) Cazul III

- cand

- se constituie doua esantioane de volum

- nu se dispune de nici-o informatie cu privire la dispersia caracteristicii statistice din colectivitatea totala sau din colectivitatile totale, in functie de modalitatea folosita la constituirea esantioanelor.

Se utilizeaza ”Criteriul t”, daca,

se accepta ipoteza nula si deci se conchide ca intre cele doua medii nu este o diferenta semnificativa.

Nota:- Toate calculele sunt efectuate pe baza datelor de sondaj si, deci, indicatorii obtinuti au semnificatia de marimi estimate.

este factorul de probabilitate care corespunde legii de repartitie student in functie de probabilitatea cu care se doreste sa fie garantata testarea (sau de riscul de genul I acceptat – pragul de semnificatie - ”q”) si de numarul gradelor de libertate, , (Anexa 4).

In cazul utilizarii ”Criteriului t”, se procedeaza in prealabil la verificarea ipotezei privind egalitatea dispersiilor , cu ajutorul ”Criteriului F”, astfel:

Daca se confirma inegalitatea urmatoare ,

in care, sunt marimi tabelare care corespund legii de repartitie Fisher, se conchide ca cele doua dispersii de sondaj, , nu difera semnificativ intre ele si in consecinta pot fi considerate ca fiind estimatii ale aceleasi dispersii generale, iar , (Anexa 5).

Daca nu se confirma egalitatea dispersiilor , numarul gradelor de libertate pentru factorul de probabilitate, “t”, se calculeaza astfel:

d) Cazul IV

Verificarea ipotezei privind egalitatea a doua valori medii poate fi efectuata si cu ajutorul ”Criteriului F” (analizei dispersionale).

Tabloul sinoptic al rezultatelor

Daca, ,se accepta ipoteza nula si deci diferenta dintre cele doua medii (de sondaj) este nesemnificativa ().

Nota

, - media mediilor calculate pentru fiecare din cele doua esantioane sau grupe

Daca se confirma faptul ca diferenta dintre cele doua medii (de sondaj) este nesemnificativa este o estimatie a mediei caracteristicii statistice din colectivitatea totala, , iar pentru dispersia caracteristicii studiate se poate calcula urmatoarea estimatie:

deoarece se considera ca cele doua esantioane sunt extrase din aceeasi colectivitate statistica totala.

Exemplul

Pentru un grup format din 150 adulti s-a calculat inaltimea medie, cu o estimatie a abaterii standard, si pentru un al doilea grup de 176 adulti se constata o medie a inaltimii, cu o estimatie a abaterii standard,

Sa se verifice ipoteza ca diferenta dintre valorile medii ale inaltimii calculate pentru cele doua grupe de adulti este intamplatoare si in consecinta sunt estimatii ale aceleiasi medii generale.

Ipoteza nula se respinge. Diferenta dintre cele doua valori medii nu este intamplatoare si deci grupurile studiate difera semnificativ intre ele.

Exemplul

Tabelul 32

Numarul randurilor: i = 1,…,m   ;Numarul coloanelor: j = 1,…,v

Numarul total al unitatilor statistice:

Pentru a verifica ipoteza nula, , in cazul utilizarii Criteriului t, se procedeaza, in prealabil, la verificarea ipotezei nule, , cu ajutorul Criteriului F, astfel:

In aceste conditii se infirma ipoteza nula, privind egalitatea dispersiilor salariului lunar in cele doua grupe de subiecti, iar pentru calculul numarului gradelor de libertate necesar aplicarii Criteriului t, se foloseste urmatoarea relatie:

Deoarece, , se respinge ipoteza nula privind egalitatea valorilor medii aferente celor doua grupe de subiecti, cu o pobabilitate de 95%. Diferenta dintre mediile salariului lunar obtinut de subiectii celor doua grupuri departajate dupa vechimea in munca, nu este intamplatoare.

Exemplul : Verificarea ipotezei nule privind egalitatea mediei de sondaj “” cu o valoare ipotetica, “m

Cazul 1.

Valoarea medie (m) a unui apartament, format din doua camere, situat in imediata apropierea a unei piete agroalimentare este apreciata la suma de 60.000 unitati monetare. Se presupune ca valoarea acestui tip de locuinte creste cu cat acestea sunt mai aproape de piata.

Pentru a testa presupunerea enuntata s-a constituit un esantion, format din 15 apartamente similare (n), situate in zona pietei, prin folosirea unui procedeu aleatoriu (trageri la sorti fara revenire). In urma evaluarii acestora a rezultat o valoare medie () de 63.500 unitati monetare si o estimatie a abaterii medii patratice (s) de 5.500 unitati monetare. Se doreste a se testa aceasta ipoteza pentru un prag de semnificatie de 5%.

Verificarea ipotezei nula, se realizeaza cu ajutorul Criteriului t.

Deoarece se respinge ipoteza nula privind egalitatea statistica a celor doua valori medii. Diferenta de 3.500 unitati monetare, dintre cele doua valori medii, este semnificativa din punct de vedere statistic, cu o probabilitate de 95%. Valoarea medie a unui apartament este mai mare in zona din apropierea pietei.

Nota: Valoarea tabelara, , a fost extrasa din Anexa 4, varianta b) pentru probabilitatea de 95%, cu un prag de semnificatie repartizat bilateral in raport cu originea.

Cazul 2.

Un politician sustine ca la viitoarele alegeri va primi 60% dintre voturile cetatenilor, (p = 0,6). Prin aplicarea unui procedeu de tip aleatoriu s-a constitut un esantion, format din 120 de persoane si a rezultat ca 60 dintre acestia ar vota, la viitoarele alegeri, cu politicianul respectiv. Poate fi considerata adevarata afirmatia politicianului pentru un prag de semnificatie de 5%

Verificarea ipotezei nula, se realizeaza, in acest caz, cu ajutorul Criteriului z, deoarece volumul esantionului (n) este mai mare de 40 unitati de sondaj.

Media de sondaj, pentru o caracteristica alternativa, este reprezentata prin proportia subiectilor care dau un raspuns pozitiv in totalul unitatilor de sondaj, .

Se constata ca, , fapt ce motiveaza respingerea ipotezei sustinute de politician. Diferenta de 10 puncte procentuale, dintre cele doua valori medii, este semnificativa din punct de vedere statistic, si prin urmare, ipoteza formulata este infirmata cu o probabilitate de 95%.

Nota: Valoarea tabelara, , a fost extrasa din Anexa 2.

Cazul 3.

Durata de servire a clientilor intr-un magazin, pentru 16 clienti care au format un esantion, costituit in mod aleatoriu, este exprimata in minute. Se doreste sa se aprecieze, cu o probabilitate de 95%, ca durata medie de servire a unui client este de 8 minute.

Datele masuratorilor efectuate precum si rezultatele intermediare necesare testarii propuse sunt prezentate in tabel.

Tabelul 33

Media duratei de servire a clientilor la nivelul esantionului:

minute

Estimatia abaterii medii patratice:

Testarea propusa se realizeaza cu ajutorul Criteriului t, astfel:

Deoarece se accepta ipoteza nula. Cu o probabilitate de 95% se conchide ca diferenta de 0,125 minute, dintre cele doua valori medii, este nesemnificativa si ipoteza formulata este confirmata statistic.

Deasemenea, se poate demonstra ca valoarea ipotetica de 8 minute, aferente in medie pentru servirea unui client, este localizata in interiorul intervalului de incredere calculat pe baza sondajului, in conditiile unei probabilitati de 95%, astfel:

Nota: Valoarea tabelara, , a fost extrasa din Anexa 4.

Distributia Student

a) Valorile lui “t”  in functie de probabilitatea si numarul gradelor de libertate “f”

b) Valorile lui “t”  in functie de probabilitatea si numarul gradelor de libertate “f”

Anexa 5

Distributia Fisher

Valorile raportului corespunzatoare probabilitatii P(F F_q) = 95% si numarul gradelor de libertate “f₁” si “f₂”. Dispersia mai mare, in cazul nostru se ia la numarator.

= numarul gradelor de libertate aferente dispersiei de la numarator

= numarul gradelor de libertate aferente dispersiei de la numitor