Creeaza.com - informatii profesionale despre


Cunostinta va deschide lumea intelepciunii - Referate profesionale unice



Acasa » referate » fizica
Pendulul matematic (pendulul simplu)

Pendulul matematic (pendulul simplu)



Pendulul matematic (pendulul simplu).

Vom analiza ecuatia diferentiala care modeleaza miscarea oscilatorie[1] a unui punct material de masa m, suspendat de un punct fix , printr-un fir inestensibil de lungime , avand greutatea neglijabila, sub actiunea fortei de gravitatie[2], . Vom neglija rezistenta aerului si eventualele forte de frecare.

Sistemul format din punctul material de masa  suspendat de un fir inestensibil avand greutatea neglijabila care se misca pe un arc de cerc se numeste pendul matematic .


Consideram reperul cartezian  avand originea  in punctul fixat al pendulului si cu axa orientata catre centrul Pamantului asemanator fortei de gravitatie  (vezi fig.3).

Figura 3. Pendulul matematic.

Fig.1 Pendulul matematic.

 Avand in vedere „ legatura” punctului material , acesta este obligat sa evolueze pe cercul cu centrul in punctul  si raza , pozitia sa este bine determinata, la orice moment , de variabila de stare  care reprezinta unghiul format cu axa  si masurat in radiani. Daca notam cu  lungimea arcului de cerc  parcurs de punctul  pe cerc socotind de la pozitia de echilibru , in timpul , atunci avem

.

Greutatea corpului , atribuita atractiei gravitationale la suprafata Pamantului,  se descompune in doua componente, una pe directia firului care este anulata de tensiunea din fir, avand marimea egala cu  si o componenta dupa directia tangentei la cerc sub actiunea careia se desfasoara miscarea. Componenta tangentiala, ca functie de variabila de stare , are marimea egala cu  (semnul minus arata ca forta este dirijata in sens contrar miscarii).

Datorita legii fundamentale a lui Newton, care afirma ca acceleratia miscarii este proportionala cu forta  care produce miscarea,  obtinem ecuatia diferentiala a miscarii . Daca tinem seama de relatia care exprima lungimea arcului  cu ajutorul variabilei de stare , atunci putem scrie ecuatia de miscare sub forma

                                                  .                                                     (3.1)

Ecuatia diferentiala (3.1) este nelineara, contine derivata de ordinul al doilea a functiei necunoscute  si este cu variabile separabile. Ecuatia poate fi scrisa sub forma generala . Prin integrare se ajunge la o integrala eliptica.

In fizica, un caz interesant este acela al oscilatiilor pendulului care au o amplitudine mica (valoarea maxima a deplasarii initiale  este mica (vezi conditiile (3.4)). Considerand cazul micilor oscilatii putem lua aproximatia  si ecuatia (3.1) devine o ecuatie diferentiala lineara de ordinul al doilea 

                                                     ,                                                       (3.2)

unde .

Prin calcul direct se arata ca orice functie de forma

                                                   ,                                                     (3.3)

unde c si  sunt constante, verifica ecuatia diferentiala (3.2). Deci, ecuatia diferentiala (3.2) admite o familie de solutii care depind de doua constante arbitrare c si . Pentru a alege solutia care descrie o anumita miscare data a pendulului trebuie sa tinem seama ca miscarea  depinde de pozitia initiala cat si de viteza initiala a acestuia, deci de conditiile in care incepe miscarea (acesta este principiul determinismului al lui Newton: starea initiala a unui sistem mecanic, adica ansamblu pozitiilor si vitezelor punctelor sistemului la un moment dat, determina unic intreaga miscare). Asadar, trebuie ca la momentul initial  sa cunoastem unghiul  si viteza  (din considerente fizice putem admite ca ):



                                              si .                                               (3.4)

 Acesta este cel mai general mod de a incepe o miscare. Nu putem da, de exemplu, acceleratia cu care incepe miscarea pentru ca aceasta este determinata de pendul pentru un  dat. Substituind aceste valori in expresia (3.3) a solutiei, obtinem

                                          si                                            (3.5)

Din aceste relatii deducem expresiile constantelor  si  in functie de conditiile initiale:

                                        si  .                                         (3.6)

Asadar, de aici deducem ca functiile de forma  reprezinta toate solutiile ecuatiei diferentiale (3.2). Aceste functii sunt periodice avand perioada principala egala cu

                                                     ,                                                       (3.7)

numita perioada unei oscilatii complete. Observam ca aceasta perioada este complet determinata, iar pentru un fir mai lung este necesar de un timp mai indelungat pentru ca masa atarnata de fir sa oscileze.

Asadar, intr-o prima aproximatie putem afirma ca perioada  a pendulului, in cazul micilor oscilatii, nu depinde de modul cum acesta a fost pus in miscare (de pozitia initiala, adica de amplitudinea oscilatiei). Prin urmare, legea (3.3) determina complet micile oscilatii ale  pendulului matematic.

Observatie. Formula (3.7) poate servi la determinarea acceleratiei gravitationale (metoda pendulului). In cazul micilor oscilatii, din (3.7) obtinem

                                                         ,                                                           (3.7')

Marimile care intervin in partea dreapta a formulei (3.7') pot fi masurate: lungimea , a pendulului, se masoara cu o precizie pana la ; perioada  a micilor oscilatii se masoara cu o precizie pana la

In urma calculelor se determina valoarea acceleratiei gravitationale cu o eroare relativa de aproximativ

 (sau de aproximativ ).

Din acest exemplu observam ca fiind data o ecuatie diferentiala de ordinal al doilea, in mod natural se pune problema determinarii unei solutii[3] cunoscand valoarea ei si a derivatei de ordinul intai.

Observatie. Daca nu se neglijeaza fortele de frecare[4], evolutia miscarii pendulului matematic este descrisa de urmatoarea ecuatie diferentiala

                                            .                                              (3.8)

unde  este coeficientul de frecare (determinarea coeficientului de frecare se face experimental). Forma generala a ecuatiei (3.8) este .



[1] Miscarea oscilatorie a unui sistem fizic consta in evolutia sistemului a.i. una sau mai multe dintre marimile sale caracteristice sa ia succesiv valori pozitive si negative, simetrice cu valoarea zero.

[2]Forta de atractie gravitationala , este orientata catre centrul Pamantului, avand dimensiunea fizica . Newton a conceput atractia gravitationala ca o forta universala careia i se supun toate corpurile, atribuind greutatea corpurilor, la suprafata Pamantului, fortei de atractie universale a Pamantului; greutatea corpului este , cand punctual material de masa  este in camp gravitational. Acceleratia terestra , este acceleratia imprimata, de catre acceleratia Pamantului, unui punct material ce cade liber in vid, in apropierea solului. Marimea  variaza in functie de latitudine si de inaltimea , masurata de la nivelul marii. Valoarea a.t. la nivelul marii, la ecuator, este  

[3] Problema determinarii solutiei ecuatiei (3.2) cu conditiile initiale (3.4) se numeste problema Cauchy, sau problema cu conditii initiale, amintind ca ea a fost studiata pentru prima data, la inceputul sec. XIX, din punctul de vedere al conditiilor care asigura existenta si unicitatea solutiei de catre Cauchy. Studiul micilor oscilatii ale pendulului se gaseste, in diferite cazuri concrete, in lucrarile lui Newton, Euler, Bernoulli etc..

[4] Fortele de frecare sunt considerate proportionale cu viteza.









Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE Clasa: I Matematica - Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 30, fara trecere peste ordin
 Proiect didactic Grupa: mijlocie - Consolidarea mersului in echilibru pe o linie trasata pe sol (30 cm)
 Redresor electronic automat pentru incarcarea bateriilor auto - proiect atestat
 Proiectarea instalatiilor de alimentare ale motoarelor cu aprindere prin scanteie cu carburator

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 Proiect diploma Finante Banci - REALIZAREA INSPECTIEI FISCALE LA O SOCIETATE COMERCIALA
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 CONTABILITATEA FINANCIARA TESTE GRILA LICENTA
 LUCRARE DE LICENTA - FACULTATEA DE EDUCATIE FIZICA SI SPORT
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 Proiect atestat informatica- Tehnician operator tehnica de calcul - Unitati de Stocare
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia




CURGEREA TURBULENTA
Parametrii aerului umed
Temperatura Boyle
Forma pulsului generat de detectorii cu semiconductori
Semnale aleatoare (continue) Putere.densitate Spectrala de putere. Functii de autocorelatie.
SISTEME DE ACTIONARE (SA)
Legile generale ale spatiului si vitezei
INTERACtIUNEA ION-DIPOL INDUS


Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu