Reprezentarea numerelor. Operatii aritmetice.

Reprezentarea numerelor. Operatii aritmetice.

Multe sisteme de numeratie sunt folosite in tehnica digitala. Cele mai raspandite sunt sistemele zecimal, binar, octal si hexazecimal. Sistemul zecimal ne este cel mai cunoscut deoarece este sistemul pe care il folosim zilnic. Studierea caracteristicilor sale permite o mai buna intelegere ale celorlalte sisteme.

Sistemul zecimal

Sistemul zecimal foloseste 10 cifre sau simboluri si anume 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Folosind aceste simboluri ca cifre ale unui numar se pot reprezenta numere oricat de mari.

Exemple:

N = 6543₁₀ = 6

N = 65,43₁₀ = 6 + 4

Sistemul binar

Sistemul binar foloseste doar doua cifre: 0 si 1. Cu ajutorul acestora se poate reprezenta orice numar care poate fi reprezentat in baza 10 sau orice alta baza.

Numararea in binar

Secventa de numarare in binar este reprezentata in tabelul de mai jos.

Dupa cum rezulta si din tabel cu ajutorul a patru biti se pot reprezenta numerele de la 0 la 15. In general cu n biti se pot reprezenta numerele cuprinse intre 0 si 2ⁿ -1.

Conversia binar - zecimal

Valoarea zecimala a oricarui numar binar poate fi determinata prin insumarea ponderilor tuturor bitilor care sunt 1.

Exemple:

N = 110001₂ = 1 = 32+16+1 = 49

N = 100,011₂ = 1

Conversia zecimal - binar

Sa consideram pentru inceput cazul numerelor intregi pozitive. Exista doua metode de conversie.

O prima metoda este determinarea unui set de ponderi binare a caror suma este egala cu numarul zecimal.

Exemplu:

O alta metoda consta in impartirea repetata a numarului zecimal. Se incepe cu impartirea numarului zecimal la 2 si se continua cu impartirea fiecarui cat pana ce acesta devine zero. Resturile generate de fiecare impartire, citite de la ultimul spre primul, formeaza numarul binar. Ultimul rest reprezinta bitul cel mai semnificativ in timp ce primul reprezinta bitul cel mai nesemnificativ. Procedeul este prezentat in exemplul urmator:

Conversia numerelor fractionare din zecimal in binar

Pentru realizarea acestei conversii exista de asemenea doua metode.

1. Suma de ponderi

Metoda insumarii ponderilor poate fi aplicata numerelor fractionare avand in vedere ca ponderea cea mai mare este 0,5, care este 2­^-1, si ponderile urmatoare se pot obtine prin injumatatirea ponderii anterioare. Astfel se obtine lista ponderilor 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625 etc.

Exemplu:

2. Metoda multiplicarii repetate cu 2

Dupa cum s-a vazut numerele zecimale intregi pot fi convertite in binar prin impartiri repetate. Numerele fractionare zecimale pot fi convertite in binar prin inmultiri repetate. De exemplu pentru a converti numarul fractionar 0,3125 in binar se incepe cu inmultirea cu numarului initial cu doi si apoi se inmulteste fiecare rezultat fractionar cu doi pana partea fractionara a rezultatului este zero. Digitii de transport sau transportul generat reprezinta numarul binar. Primul transport generat reprezinta cel mai semnificativ bit, iar ultimul transport este cel mai putin semnificativ bit.

Exemplu:

Sistemul de numeratie in baza 8

Sistemul de numeratie in baza 8 numit si sistemul octal foloseste cifrele de la 0 la 7. Pentru numere mai mari se folosesc mai multi digiti astfel ca peste cifra 7 numaratoarea continua cu 10, 11, , 17, 20, 21, .

Conversia octal-zecimal

Evaluarea unui numar scris in octal se poate face prin inmultirea fiecarei cifre cu ponderea sa si insumarea produselor, dupa cum se poate vedea din exemplul urmator:

24,6₈ = 2 x (8¹) + 4 x (8⁰) + 6 x (8^-1) = 20,75₁₀

Conversia zecimal-octal

O metoda de conversie a numerelor zecimale intr-un numar in baza 8 este metoda impartirii repetate cu 8, care este similara cu cea folosita in conversia numerelor zecimale in binar.

Exemplu:

Conversia octal-binar

Reprezentarea fiecarei cifre octale se poate face cu ajutorul unui numar binar de trei biti, dupa cum se poate vedea si din tabelul urmator:

Pentru conversia unui numar din octal in binar se inlocuieste fiecare cifra octala cu echivalentul binar, ca in exemplul de mai jos:

Conversia binar-octal

Conversia din binar in baza opt este metoda inversa conversiei octal-binar. Se procedeaza in felul urmator: se porneste de la grupul de trei biti din dreapta si prin deplasarea spre stanga se inlocuieste fiecare grup de 3 biti cu echivalentul lui in baza 8. Daca nu exista trei biti in grupul cel mai din stanga acesta se completeaza cu unul sau doi de zero.

Exemplu:

Sistemul de numeratie in baza 16

Sistemul hexazecimal are 16 simboluri care sunt numerele de la 0 la 9 si literele A, B, C, D, E, F.

Numararea in hexazecimal se face dupa aceleasi reguli ca in zecimal, adica odata atinsa cifra maxima, care in acest caz este F, se trece la cifra urmatoare (coloana urmatoare):

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12, , 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20,.

Cu ajutorul a doua caractere hexa (numite si nible) se poate numara pana la FF₁₆ care are echivalentul 255 in zecimal. Numarul maxim cu trei caractere hexa este FFF₁₆, iar cu patru caractere FFFF₁₆.

Conversia binar-hexazecimal

Conversia binar-hexazecimal este foarte simpla, ea constand in impartirea numarului binar in grupe de 4 caractere incepand cu bitul cel mai din dreapta, si inlocuirea grupului de patru biti cu echivalentul lui hexazecimal.

Exemplu:

1011 0010 1111₂ = (1011) (0010) (1111)₂ = B 2 F₁₆

Conversia hexazecimal-binar

Pentru conversia hexazecimal-binar se procedeaza invers, adica se inlocuieste fiecare simbol hexazecimal cu grupul de 4 biti echivalenti.

Exemplu:

C1A9₁₆ = 1100 0001 1010 1001₂

Este evident ca este mult mai usor sa se lucreze cu numere hexazecimale decat cu echivalentul in binar. Deoarece conversia este usoara, sistemul hexazecimal este foarte raspandit pentru reprezentarea numerelor binare in programare si afisarea lor.

Conversia hexazecimal-zecimal

O metoda de conversie consta in inmultirea valorii zecimale a fiecarui caracter cu ponderea sa si insumarea acestor produse ca in exemplul urmator:

2AF₁₆ = 2 x (16²) + 10 x (16¹) + 15 x (16⁰) = 687₁₀

Conversia zecimal-hexazecimal

Impartirea repetata a unui numar zecimal cu 16 va genera echivalentul lui in hexazecimal format din resturile impartirii. Primul rest va genera cel mai putin semnificativ digit, in timp ce ultimul il va genera pe cel mai semnificativ.

Exemplu:

Conversia octal-hexazecimal / hexazecimal-octal

Conversia are loc in doi pasi:

Se converteste din octal (respectiv hexazecimal) in binar

Se regrupeaza numerele binare in grupe de 4 (respectiv 3) incepand de la bitul cel mai putin semnificativ

Exemplu:

= 010) (110) (101)₂ = (1011) (0101)₂ = B5₁₆

5A8₁₆ = (0101) (1010) (1000)₂ = (010) (110) (101) (000)₂ = 2650₈

Codul BCD (Binary Coded Decimal)

Codul 8421 este un tip de cod zecimal codificat binar (BCD). Zecimal codificat binar inseamna ca fiecare cifra zecimala de la 0 la 9 este reprezentata printr-un cod binar de patru biti. Denumirea 8421 indica ponderile binare ale celor patru biti (2³, 2², 2¹. 2⁰). Avantajul principal al acestui cod este conversia usoara intre numerele codului 8421 si numerele zecimale familiare. Trebuiesc tinute minte doar cele zece combinatii binare care reprezinta cifrele zecimale, dupa cum se prezinta in tabelul urmator.

Deoarece cu ajutorul a patru biti se pot obtine 16 combinatii distincte din care codul 8421 utilizeaza doar 10 exista 6 combinatii care nu se folosesc si care reprezinta coduri invalide: 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111.