Aproximarea variationala

Aproximarea variationala

Printre ecuatiile diferentiale de tip eliptic (asa cum este ecuatia Helholtz) exista doua clase de ecuatii interesante din punctul de vedere al microundelor: problema determinista si problema de valori proprii. Pentru aceste probleme, aproximarea variationala este foarte eficienta, garantind convergenta in conditii destul de putin restrictive. Aceasta aproximare consta in a gasi o functie care minimizeaza o anumita integrala. Aceasta functie este solutia problemei de cimp.

Fie L un operator autoadjunct si definit pozitiv. Vom avea:

a)     Problema determinista

Aceasta consta in rezolvarea ecuatiei :

Unde este o functie de pozitie. De exemplu, pentru si o distributie de sarcina electrica, rezolvarea ecuatiei (1) ne da potentialul electric u corespunzator conditiilor la limita de tip Dirichlet sau Neumann. Pentru moment ne vom concentra asupra conditiilor la limita omogene ( sau ). Daca obtinem ecuatia Laplace, iar daca atunci ecuatia (1) reprezinta o ecuatie Helmholtz neomogena pentru o componenta vectoriala a potentialului vector, in care f este o densitate de curent multiplicata cu

In cazul problemei deterministe, functionala ce urmeaza a fi minimizata este:

Unde u si f sunt presupuse functii reale. In cazul unor functii complexe, functionala utilizata este:

Produsul scalar utilizat este:

Unde W este volumul in care se calculeaza cimpul. Acest produs scalar asigura propietatea de operator autoadjuct pentru L si de operator pozitiv definit, pentru conditiile pe frontiera Dirichlet si Neimann care intereseaza in cursul nostru. Aceaste propietati sunt conditii necesare pentru ca funtionala F sa-si atinga minimul pentru solutia ecuatiei (1). In plus acest minim este:

Pentru produsul scalar considerat, aceasta inseamna:

Pentru conditiile la limita care ne intereseaza, aceasta se reduce la:

Aceasta integrala este proportionala cu energia inmagazinata in volumul W. Cimpul se configureaza astfel incit energia inmagazinata sa fie minima !

b)     Problema valorilor proprii

Functionala (2) nu poate fi utilizata intr-o problema de valori proprii:

Deoarece mebrul drept in (8) nu este o functie cunoscuta. In acest caz se foloseste functionala:

Unde . Aceasta functionala este numita raportul lui Rayleigh. Daca este limita inferioara a functionalei, obtinuta pentru , atunci este cea mai mica valoare proprie a operatorului L, iar este vectorul propriu corespunzator.

Pentru a demonstra acest lucru, fie o functie arbitrara din domeniul de definitie al operatorului L ( Fie a un numar real arbitrar. In consecinta . Dorim sa cercetam conditiile in care F este stationara in jurul lui . Inlocuind

in (9) obtinem:

Deoarece si h sunt fixate, F este o functie doar de a. Derivind F in raport cu a si impunind conditia ca aceasta derivata sa se anuleze pentru , obtinem:

Cu si , substituim din (9) in (12) si obtinem:

Deoarece h este arbitrar, din (13) rezulta:

Relatia (14) arata ca este valoarea prorie , iar este functia proprie corespunzatoare. Se demonstraza ca daca functia minimizeaza functionala (9) si este ortogonala cu

Atunci este a doua valoare proprie . Asemanator, definind un spatiu Hilbert ortogonal lui si , se obtine a treia valoare si functie proprie, si asa mai departe.

Deoarece minimul funtionalei (9) corespunde la cea mai mica valoare proprie, putem rescrie functionala sub forma:

Numaratorul este pozitiv daca operatorul L este pozitid definit. Numitorul este pozitiv ca propietate a produsului scalr, prin urmare:

Egalitatea in (17) se obtine doar pentru valorile si functiile proprii. In caz contrar, relatia este strict pozitiva Prin urmare o alternativa in minimizarea functionalei (90 este minimizarea :

Ecuatia diferentiala a carei solutie este o functie care minimizeaza o functionala se numeste ecuatia lui Euler. Prin urmare interesul nostru este de a gasi functionale a caror ecuatie Euler este ecuatia Helmholtz, ecuatia Laplace, etc..

c)     Conditii de frontiera naturale

Conditiile de frontiera naturale sunt acelea pe care solutia care minimizeaza o functionala le verifia automat. Sa reconsidera functionala (2)

Fie functia care minimizeaza functionala F, si o alta functie in care nu este neaparat o functie din domeniul operatorului L. Derivind in raport cu a, facind apoi , si in final egalind derivata cu zero, obtinem:

Aplicind acum identitatea lui Green, (relatia (200 devine:

Relatia (21) trebuie sa fie valabila pentru orice h. Acest lucru se va intimpla cind vor fi satisfavute simultan relatiile:

Relatiile (220 arata ca fubctia care minimizeaza functionala (19) (functionala a carei ecuatie Euler este (22a) satisface in mod natural conditia Neumann pe frontiera. Prin urmare doar conditia de tip Dirichlet trebuie impusa explicit.

d)     Metoda Rayleigh-Ritz

In literatura sunt date diverse functionale a caror minimizare ne dau o solutie a ecuatiei diferentiale care intereseaza in electromagnetism. Intrebarea care se pune in continuare este cum aflam functia care realizeaza aceasta minimizare. Cea mai cunoscuta metoda este Rayleigh-ritz.

Presupunem un sir finit de n functii:

Unde sunt coeficienti numerici arbitrari. Inlocuind (23) in (2), obtinem:

Dorim sa determinam acei coeficienti care minimizeaza (25):

Rearanjind (24) in ordinea puterilor lui

Scriem k in locul lui j in a doua suma din (26) si tinem seama ca L este auto-adjunct:

Derivind (27) in raport cu si egalind cu zero, obtinem:

Sub forma matriciala relatia (28) devine

Sistemul de ecuatii (29) se rezolva pentru a deduce coeficientii

Printr-o abordare identica, metoda se aplica si in cazul problemei de valori proprii, obtinindu-se sistemul:

Daca functiile de test sunt ortogonale, atunci valorile proprii apar doar pe diagonala principala:

Exemplu:

Ecuatia Helmholtz (19 sau 20, cap1) corespunde la operatorul , iar functionala de minimizat este:

Fie functia de test:

Unde functiile din baza contin variatia spatiala a problemei, iar sunt, in metoda elementului finit, valorile componentei de cimp in nodurile retelei de discretizare. Urmind procedura de mai sus obtinem sistemul de ecuatii:

Impunind conditia Rayleigh-Ritz pentru functionala in care in loc de u apara obtinem ecuatia de valori proprii:

Odata alese functiile bazei, se determina valorile proprii si vectorul propriu

Sa detaliem calculele, considerind problema unidimensionala:

O alegere simpla a functiei de test este aproximarea cubica:

Pentru a satisface conditiile la limita, intre coeficienti trebuie sa existe relatiile:

In acest caz, functia test, pusa sub forma canonica (33), este:

Elementele din matricile Rayleigh-Ritz :

pot fi acum evaluate:

Ecuatia matriciala de rezolvat va fi:

Cu solutia:

Functia test astfel calculata este: