Problema lui Cauchy

Problema lui Cauchy

Pentru o ecuatie diferentiala data, asa cum s-a vazut din exemplele analizate in cap.I, apare ca naturala problema determinarii unei solutii cand se cunoaste valoarea ei (eventual valorile derivatelor ei daca ecuatia este de ordin mai mare sau egal cu doi) intr-un punct dat . Din punctul de vedere al conditiilor care asigura existenta si unicitatea solutiei, aceasta problema a fost formulata si studiata pentru prima data de A. Cauchy[1] si de aceea o retinem ca Problema lui Cauchy sau problema cu conditii initiale. Pentru ecuatiile diferentiale se pot formula si alte probleme cum ar fi problemele la limita, care se disting esential de problemele initiale (vezi exemplul **)

Problema lui Cauchy se enunta astfel: fiind date functia , continua pe multimea , numita camp vectorial, care defineste ecuatia diferentiala de ordinul intai sub forma normala (1.3),

, ,

si valoarea initiala (oarecare dar fixat), se cere sa se determine o solutie , a ecuatiei diferentiale (1.3), care verifica conditia initiala

, (1.6)

pentru orice alegere a valorii initiale .

Observatie. Problema valorilor initiale

,, (*)

poate fi exprimata cu ajutorul ecuatiei integrale echivalente (presupunand ca si sunt continue)

. (**)

Observatie. Relatia (**) nu este o formula, ea este o ecuatie deoarece contine necunoscuta in ambii membrii.

Intr-adevar, integrand ambii membri ai ecuatiei (*) intre si si folosind conditia initiala , atunci se obtine de forma (**). Mai mult, orice solutie a problemei (*) este solutie a ecuatiei (**). Reciproc, daca functiile si sunt continue, atunci o solutie a ecuatiei (**) verifica problema initiala (*).

In ipoteza continuitatii, problema initiala (*) si ecuatia integrala (**) sunt echivalente in sensul ca ele au aceleasi solutii.