Creeaza.com - informatii profesionale despre


Cunostinta va deschide lumea intelepciunii - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Forma diagonala

Forma diagonala



Forma diagonala

O preocupare importanta in cele ce urmeaza este determinarea unei baze in E,

astfel  incat   matricea   unui   endomorfism  F   I L  (E,E)  sa  aiba  forma  cea  mai  simpla,  asa  numita  forma  canonica . Pentru  acest  motiv,  determinarea  unei  baze  in  care matricea endomorfismului F   are forma diagonala, prezinta un interes deosebit. Dat  fiind un endomorfism prin matricea sa intr-o baza arbitrara, aceasta operatie se numeste  reducerea matricei respective la forma diagonala sau diagonalizarea matricei.


DEFINITIA1.4.6. Vom spune ca endomorfismul F  I L  (E,E) este diagonalizabil  daca exista  o  baza  B  in  E  in care 

M(F   ;B)

este  o  matrice  diagonala,  adica  K  pentru  i ¹  j.

TEOREMA 1.4.6. Un endomorfism F   I L  (En, En) este diagonalizabil daca si numai daca exista o baza a spatiului Vn formata din vectori proprii ai endomorfismului.

           Demonstratie. Daca F   este diagonalizabil, atunci exista o baza a spatiului fata de care matricea este diagonala

M(F   ; B).

Rezulta

F   ( F   ;)

si cum F  (B)=( F  (),F  (),…,F  ()), obtinem F   , ceea ce inseamna ca vectorii  sunt vectori proprii  ai  endomorfismului F   .

Reciproc, daca  este o baza in En formata de vectorii proprii ai lui F   , adica F   , atunci matricea lui F     in aceasta baza este

M(F   ; B*)= F   ,…, F     .

Desigur, unele dintre numerele  pot fi egale.                             

TEOREMA1.4.7. Pentru endomorfismul  F   I L  (En, En), dimensiunea unui subspatiu propriu este cel mult egala cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii corespunzatoare subspatiului.

Demonstratie. Fie  o valoare proprie multipla de ordinul m si E0 subspatiul propriu corespunzator, cu . Fie  o baza a subspatiului propriu. Completam aceasta baza pana la o baza in En de forma . Deoarece vectorii , sunt vectori proprii corespunzatori valorii proprii , avem         F    si

F    . Matricea lui F     in aceasta baza este

M(F     ‚, B)

astfel ca polinomul caracteristic al lui F     are forma   

( M(F    ; B),

unde  este un determinant de ordin .

In concluzie,  implica, iar implica . Deci. 



TEOREMA 1.4.8. Un endomorfism F   I L  (En, En) este diagonalizabil daca si numai daca polinomul caracteristic are toate radacinile in campul peste care este luat En si dimensiunea fiecarui subspatiu propriu este egala ca ordinul de multiplicitate al

 valorii proprii corespunzatoare.

Demonstratie. Presupunem ca endomorfismul F  este diagonalizabil. Rezulta ca exista o baza              formata din vectori proprii pentru F   , fata de care matricea lui F     este diagonala. Fie  

         ,

adica  sunt valorile proprii ale lui F     de multiplicitati  cu . Fara a reduce generalitatea, putem admite ca primii  vectori din baza  corespund lui , urmatorii  lui , etc. In concluzie, vectorii  apartin subspatiului propriu corespunzator valorii proprii , ceea ce inseamna ca numarul lor  este mai mic sau cel mult egal cu , adica . Pe de alta parte, conform teoremei 1.4.7, avem .  In concluzie .  Analog, rezulta .

Reciproc, presupunem ca .  Consideram multimea , cu , formata din vectori din En astfel incat primii  vectori sa constituie o baza in E1, urmatorii  sa constituie o baza in E2 si asa mai departe. Folosind inductia asupra lui p se arata ca B este o baza a lui En. Fata de aceasta baza B matricea lui F     este

                        M(F   ; B),

adica o matrice diagonala.                                                   ˆ

Consecinta 1.4.1.  Daca F   I L  (En, En) este diagonalizabil, atunci En este suma directa a subspatiilor proprii asociate valorilor proprii  ale endomorfismului, adica .

Procedeu de diagonalizare a unui endomorfism. Practic se parcurg urmatoarele etape :

1) Fixam o baza B in En si determinam matricea M(F   ; B).

2) Determinam valorile proprii care sunt solutii in K ale ecuatiei .

3) Daca exista  valori proprii distincte  cu ordinele de multiplicitate , calculam rangul fiecarei matrice M(F   ; B). Daca

rang(M(F   ; B) , ( F    I  )) este numarul solutiilor independente ale sistemului omogen (M(F   ; B), atunci (conform teoremei 1.4.8)  endomorfismul F     este diagonalizabil.

4) Se rezolva cele  sisteme omogene  (M(F   ; B),   . Un sistem fundamental de solutii, pentru un asemenea sistem, reprezinta coordonatele vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii .

5) Matricea lui F   , in raport cu baza formata din vectorii proprii ai lui F   , are pe diagonala  elementele , adica valorile proprii.

6) Notam prin DIM (n, n, K) matricea diagonala atasata lui F     in raport cu baza formata din vectorii proprii ai lui F   . Daca CIM (n, n, K) este matricea ale carei coloane sunt vectorii proprii care alcatuiesc noua baza a lui En, adica matricea de trecerea de la baza initiala din En (baza canonica B) la baza formata din vectorii proprii, atunci  

D = C-1× M(F   ; B)× C









Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE Clasa: I Matematica - Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 30, fara trecere peste ordin
 Proiect didactic Grupa: mijlocie - Consolidarea mersului in echilibru pe o linie trasata pe sol (30 cm)
 Redresor electronic automat pentru incarcarea bateriilor auto - proiect atestat
 Proiectarea instalatiilor de alimentare ale motoarelor cu aprindere prin scanteie cu carburator

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 Proiect diploma Finante Banci - REALIZAREA INSPECTIEI FISCALE LA O SOCIETATE COMERCIALA
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 CONTABILITATEA FINANCIARA TESTE GRILA LICENTA
 LUCRARE DE LICENTA - FACULTATEA DE EDUCATIE FIZICA SI SPORT
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 Proiect atestat informatica- Tehnician operator tehnica de calcul - Unitati de Stocare
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia




UNGHIUL - TEST
Vectori proprii. Valori proprii. Definitii. Proprietati
Limite remarcabile. Aplicatii
Coeficientul de corelatie pentru 2 variabile aleatoare
Ecuatii diferentiale lineare de ordinul intai
Transformari sinusoidale – transformata Fourier - Probleme rezolvate
Conditionarea problemei si stabilirea algoritmilor
Analiza Matematica – Functii


Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu