ETAPELE PROIECTARII SISTEMELOR DE REGLARE NUMERICE

ETAPELE PROIECTARII SISTEMELOR DE REGLARE NUMERICE

1. Deducerea functiilor de transfer discretizate.

Procesele cu functionare continua pot fi descrise prin functiile de transfer aproximative de forma (3.13, 3.14, 3.15):

(3.13)

(3.14)

(3.15)

Avand in vedere conditiile impuse de functionarea elementelor de executie, convertorul analog-numeric (CAN) prin care se cupleaza regulatorul sau sistemul de conducere numeric, la partea fixa, trebuie sa contina un extrapolator de ordinul zero, ce poate fi descris printr-o functie de transfer de forma (3.16) ce se include in partea fixa a sistemului.

(3.16)

In acest caz functia de transfer discreta a partii fixe (cu extrapolatorul incorporat) rezulta prin aplicarea transformatei Z.

(3.17)

Daca se alege perioada de esantionare T_e astfel incat, timpul mort t=kT_e, atunci rezulta formele echivalente pentru functiile (3.13 - 3.15):

(3.18)

Pentru forma (3.14) functia de transfer in Z are forma:

(3.19)

unde: ; ; ;

Pentru forma (3.15) o serie de lucrari [61, 59] propun extensia algoritmului prezentat pentru poli reali, dar trebuie facuta precizarea ca perioada de esantionare trebuie aleasa in asa fel incat sa asigure convergenta seriilor de forma:

Transformata z devine:

(3.20)

avand in vedere faptul ca polii S₁,₂ ai polinomului caracteristic sunt complex conjugati.

din care rezulta: ; ;

; ;

;

;

Pentru functii de transfer mai complexe se utilizeaza descompunerea functiei, intr-o suma de termeni simplii.

(3.21)

Rezulta simplu transformata z a functiei de transfer:

(3.22)

deoarece

2. Proiectarea regulatorului aplicand relatiile de la sistemele continue.

Utilizand relatiile de acordarea de la sistemele continue, se determina parametrii de acordare K_R, T_I , T_D pentru regulatorul cu functia de transfer de forma:

(3.23)

unde aT_D este constanta de timp parazita necesara implementarii regulatorului D real si a se alege uzual egal cu 0,1.

Pentru implementare se realizeaza transformata z a functiei de transfer H_R(s) sub forma [61].

(3.24)

unde: ; ;

;

sau utilizand aproximarea rezulta formele simplificate:

;

;

3. Metode de proiectare a regulatoarelor numerice.

3.1. Aspecte generale privind proiectarea regulatoarelor numerice.

Structura simplificata a buclei de reglare, utilizand un regulator numeric este prezentata in figura 3.21.

Fig. 3.21. Structura de reglare cu regulator numeric

Procedand similar ca la sistemele continue se impune si in acest caz, functia de transfer a sistemelor in circuit inchis H₀(s) definita prin:

(3.25)

unde

Din (3.24.) rezulta:

(3.26)

Pentru implementarea functiei H_R(z) din (3.26.) este necesar ca aceasta sa indeplineasca conditia de cauzabilitate, si anume, ca ordinul numaratorului sa fie mai mic sau egal cu ordinul numitorului. Se observa din (3.24.) ca regulatorul PID real indeplineste aceste conditii.

Din conditia de stabilitate a sistemului in circuit inchis rezulta ca radacinile ecuatiei caracteristice sa fie situate in interiorul cercului de raza unitate.

Dar, ecuatia caracteristica are forma:

(3.27.)

Rezulta in acest caz ca, 1-H₀(z) trebuie sa contina ca zerouri toti polii lui H_PF(z), iar H₀(z) trebuie sa contina ca zerouri toate zerourile lui H_PF(z).

O serie de cercetatori in domeniu, au stabilit anumite posibilitati de determinare a functiei H₀(z) pentru cerinte impuse sistemului in circuit inchis. Se vor prezenta cateva metode aplicabile sistemelor cu timp mort sau a sistemelor de ordin superior ce pot fi aproximate prin functii de transfer simple de forma (3.13 - 3.14).

3.2. Metoda Dahlin.

Se aplica in cazul proceselor ce pot fi aproximate printr-o functie de transfer in circuit inchis cu timp mort t si se impune ca in circuit inchis sa se pastreze acelasi timp mort t si o constanta de timp impusa T, in general, aleasa mai mica decat constanta dominanta a partii fixe.   In acest caz se impune:

sau (3.28)

unde t=kT_S

In acest caz T se alege ca parametru de acordare; iar regulatorul va fi descris de functia de transfer de forma:

(3.29.)

unde P(z)=1-az^-1+az^-2(1-z^-(k+1)+1++az^-m(1-a^-(k+1)+m az^-k)),  , iar m este un intreg cuprins intre 2 si k.

Daca regulatorul contine la numitor un factor de forma (1-z^-1) atunci D(z) are o actiune cu efect de integrator, ceea ce asigura eroare stationara nula, in functionarea sistemului in circuit inchis.

Daca functia de transfer a partii fixe este de forma (3.13), cu transformata z, (3.18), atunci regulatorul este de forma:

(3.30.)

Iar daca este de forma (3.14) cu transformata z (3.19), regulatorul are forma:

(3.31.)

Exemplul 1. Utilizarea regulatorului Dahlin

Se considera instalatia tehnologica prezentata in subcapitolul 3.3. cu functia de transfer (3.8.) si aproximata printr-un proces de ordinul I cu metoda Cohen - Coon cu functia de transfer 3.10. de forma:

(3.32.)

unde s-au luat constantele de timp in minute T=2,66 min.

Se alege o perioada de esantionare T_S <T/8 =0,32, si din conditia ca t=1=KT_S este convenabil sa se aleaga T_S = 0,25 min., deci K=4.

In acest caz (3.32.) devine:

(3.33.)

Utilizand (3.29.) rezulta functia de transfer a regulatorului:

(3.34.)

rezultatele simularii sunt prezentate in figura 3.22.

Se observa salturile mari ce apar in semnalul de la iesirea regulatorului, ba mai mult uneori pot apare oscilatii puternice ale acestei comenzi fapt ce nu este suportat de elementul de executie. Un exemplu concludent in acest sens este dat in [94].

Exemplul 2 Se considera un proces de ordinul II cu timp mort descris prin functia de transfer de forma:

(3.35.)

si functia de transfer discreta pentru T_S=0,1, k=3 este de forma:

(3.36.)

Alegand constanta de timp a procesului in circuit inchis T=0,15 s rezulta regulatorul proiectat, cu metoda Dahlin de forma:

Raspunsul sistemului in circuit inchis este prezentat in figura 3.23. Se observa si aici caracterul puternic oscilant al comenzii data de regulator, variatie in general neacceptata de elementul de executie chiar daca raspunsul sistemului ne satisface.

In functia de transfer a regulatorului apare un pol de forma 1+0,709z^-1 ce conduce la aparitia oscilatiilor mentionate. Se recomanda inlocuirea lui z 1 in acest termen si recalcularea regulatorului, ce va avea functia de transfer de forma

Raspunsul sistemului este prezentat in figura 3.24.