UNIVERSITATEA 'STEFAN CEL MARE' SUCEAVA

Facultatea de Silvicultura

REFERAT

LA

BIOSTATISTICA

Tema lucrarii:

A.   

Sa se analizeze structura unui arboret de molid in varsta 70 ani

prin metode ale statisticii matematice,

potrivit observatiilor inregistrate in tabelul datelor initiale

si urmarind cuprinsul prezentat anterior.

B.   

Sa se stabileasca prin metode ale statisticii matematice

semnificatia diferita dintre 3 esantioane cu volum egal.

CUPRINS:

Tema lucrarii

Tabelul datelor initiale

Formarea distributiei empirice unidimensionala a diametrului de baza si prelucrari primare

Stabilirea numarului de clase

Determinarea amplitudinii clasei

Gruparea arborilor in clase si formarea distributiei empirice

Interpretari

Reprezentari grafice

Histograma frecventelor absolute

Poligonul frecventelor absolute

Ogiva frecventelor absolute cumulate

Determinarea indicilor de pozitie ai distributiei empirice a diametrului de baza

Calcului mediei aritmetice

Determinarea medianei (analitic si grafic)

Determinarea modului (analitic si grafic)

Interpretari

Calculul indicelor de variatie ai distributiei empirice a diametrului de baza

Calculul variantei

Calculul abaterii standard

Calculul coeficientului de variatie

Interpretari

Determinarea valorilor indicilor de forma ai distributiei empirice a diametrului de baza

Indicele asimetriei si eroarea acestuia

Indicele excesului si eroarea acestuia

Interpretari

Comparatie intre distributia experimentala si unele distributii teoretice

Ajustarea distributiei experimentale a diametrului de baza dupa legea distributiei teoretice normale

Controlul normalitatii prin testul de ajustare

Folosirea distributiei teoretice Charlier tip A pentru ajustarea distributiei experimentale a diametrului de baza

Test de ajustare pentru distributia Charlier tip A

Reprezentari grafice si interpretari

Determinarea intervalelor de incredere a mediilor aritmetice pentru trei probe referitoare la caracteristica diametru de baza

Constituirea celor trei probe si determinarea principalilor indicatori statistici

Intervalele de incredere ale mediilor

Interpretari

Compararea mediilor aritmetice a celor trei probe

Examinarea semnificatiei diferentei dintre variantele probelor folosind testul Ficher

Examinarea semnificatiei diferentei dintre mediile aritmetice prin testul Student

Analiza simpla a variantei

Pregatirea datelor pentru analiza simpla a variantei

Analiza simpla a variantei

Testarea semnificatiei diferentelor dintre mediile aritmetice ale celor trei probe

Analiza corelatiei

Formarea distributiei empirice bidimensionale a caracteristicilor diametru de baza si grosimea dubla a cojii

Calculul coeficientului de corelatie pentru legatura corelativa anterioara si stabilirea semnificatiei acestuia.

12. Analiza regresiei

12.1 Determinarea ecuatiei de forma liniara simpla pentru legatura corelativa dintre inaltime si diametru

Analiza de ansamblu si concluzii finale

2. Tabelul datelor initiale

3. Formarea distributiei empirice unidimensionala a

diametrului de baza si prelucrari primare.

3.1. Stabilirea numarului de clase

Pentru prelucrarea este necesar ca datele sa fie grupate in clase. La gruparea datelor initiale in clase si la formarea sirului statistic o deosebita importanta o are stabilirea numarului de clase ce urmeaza a se forma.

Gruparea in clase se face in functie de diametrul de baza. Initial se stabileste un numar provizoriu de clase conform tabelului de echivalenta dintre numarul de unitati N si numarul de clase k. Numarul de clase se afla prin interpolare liniara.

k = 11   N
K	11

N- numarul total de arbori 

k- numarul de clase

3.2. Determinarea amplitudinii clasei

Marimea clasei se determina in functie de amplitudinea de variatie W si numarul provizoriu de clase formate k.

W = Xmax. -Xmin., 68-28=40

W - amplitudinea de variatie

a=3.73 valoarea obtinuta se rotunjeste la cel mai apropiat intreg par, deci

a = 4

3.3. Gruparea observatiilor in clase si formarea distributiei empirice unidimensionale

Gruparea arborilor in clase

Pentru o cat mai usoara prelucrare a datelor, valorile experimentale se dispun in serii de distributii. O serie de distributie este formata din doua siruri de valori: un sir al valorilor experimentale si un sir ce poarta denumirea de frecvente. Acestea pot fi absolute si relative. Astfel:

Frecventa absoluta: - simpla reprezinta numarul de unitati statistice inclus in acea clasa clasa

- cumulata reprezinta un sir de valori ce se obtine prin cumularea

frecventelor absolute corespunzatoare claselor

Frecventa relativa: - simpla se determina efectuand raportul intre frecventa absoluta

simpla si volumul populatiei respective

- cumulata reprezinta un sir de valori ce se obtine prin cumulareafrecventelor relative corespunzatoare claselor.

Suma frecventelor relative trebuie sa fie egala cu 1.

3.4. Reprezentari grafice

Histograma frecventelor absolute

Poligonul frecventelor absolute

Ogiva frecventelor absolute cumulate

3.5. Interpretari

Dupa formarea distributiei empirice unidimensionale dupa diametrul de baza se observa o grupare a arborilor in clasele centrale. Se observa de asemenea ca cea mai mica frecventa se inregistreaza in clasa cu centrul de diametru 68, iar cea mare frecventa in clasa cu centrul de diametru 40 de unitati.

4. Determinarea indicilor de pozitie ai distributiei experimentale a diametrului de baza

4.1. Calculul mediei aritmetice.

Media aritmetica se calculeaza cu ajutorul formulei pentru valori grupate in clase:

unde : - media aritmetica

ni - frecventa absoluta simpla

xi - centrul clasei de diametre

Determinarea mediilor de ordin superior ( Xp, Xc

Determinarea se face cu formula:

Xp= 45.76 Xc= 46.58

unde: _p - media patratica

_c - media cubica

k - ordinul ; k=2 pentru media patratica si k=3 pentru media cubica

k' - numarul de clase

n_i - frecventa absoluta simpla

x_i - centrul clasei de diametre

4.2. Determinarea medianei M_e ( analitic si grafic )

Mediana reprezinta acea valoare care imparte sirul statistic sau seria de distributie in doua parti egale. Se calculeaza cu ajutorul formulei pentru valori grupate in clase:

Me

unde: Me - mediana

X_Me - limita inferioare a clasei

a - amplitudinea clasei

N - volumul probei

S_n - frecventa absoluta cumulata pana la clasa imediat inferioare 

clasei mediane

n_Me - frecventa absoluta a clasei mediane in functie de N/2

Pe cale grafica mediana se determina pe graficul Ogiva frecventelor absolute cumulate. Frecventa absoluta cumulata a clasei mediane este punctul prin care se traseaza o paralela la abscisa graficului. Aceasta se prelungeste pana intersecteaza graficul. Din acest punct se coboara pe abscisa si se determina valoarea grafica a medianei.

4.3. Determinarea modului ( analitic si grafic )

Modul reprezinta valoarea cu frecventa cea mai mare intr-o serie de distributie. Modul se determina pentru distributii unimodale, care au un singur maxim.

	Mo = 40.35

unde: X_Mo - limita inferioara a clasei nodala

a - amplitudinea clasei

n_o - frecventa absoluta a clasei nodale

n - frecventa absoluta a clasei imediat inferioare celei nodale

n - frecventa absoluta a clasei imediat superioare celei nodale

Determinarea grafica a modului se face pe Histograma frecventelor absolute. In clasa modala, cu frecventa cea mai ridicata, se traseaza intersectia a doua segmente ce unesc limitele clasei cu limitele claselor alaturate. Din punctul de intersectie se coboara cu o paralela la ordonata pana la intersectia cu abscisa, determinandu-se astfel modul.

4.4. Interpretari

Media aritmetica, media patratica, media cubica, mediana si modul sunt indicatori statistici de pozitie care sintetizeaza informatiile referitoare la zona catre care tind sa se centralizeze valorile experimentale. Din calcul a rezultat ca valorile experimentale tind spre clasele centrale.

5. Calculul indicilor de variatie ai distributiei experimentale a diametrului de baza.

tabel nr. 3

5.1. Calculul amplitudinii de variatie

Amplitudinea de variatie reprezinta diferenta dintre valoarea maxima si valoarea minima din sirul statistic.

w = Xmax - Xmin,  W = 40

5.2. Determinare variantei s²

Varianta sau dispersia reprezinta media patratelor abaterilor fata de media aritmetica. Unitatea de masura a variantei este patratul unitatii de masura a caracteristicii studiate. Aceasta se calculeaza cu ajutorul formulei pentru valori grupate in clase:

s² = 74.50

unde: s² - varianta

n_i - frecventa absoluta simpla

x_i - centrul clasei de diametru

N - numarul de unitati statistice analizate

5.3.Determinarea abaterii standard s

s = 8.63

5.4. Calculul coeficientului de variatie

Coeficientul de variatie se calculeaza ca raport procentual intre abaterea standard si media aritmetica.

s%=19.2

5.5. Interpretari

La acest punct s-au calculat indicii de variatie :amplitudinea, varianta, abaterea standard, coeficientul de variatie. In cazul analizarii unei distributii experimentale trebuie sa se determine gradul de imprastiere a valorilor experimentale fata de valorile centrale .In aceasta distributie sa observat ca a fost inregistrata o dispersie de 19.35%.

6. Determinarea indicilor de forma ai distributiei empirice a diametrului de baza

6.1. Indicele asimetriei A si eroarea acestuia s_A

Pentru estimarea acestuia se compara media aritmetica cu modul si se observa ca distributia prezinta o asimetrie pozitiva sau de stanga. Acesta se calculeaza prin formule cum ar fi relatia lui PEARSON pentru distributii usor asimetrice sau relatia momentelor.

A = 0.53

unde: ni - frecventa absoluta simpla

xi - centrul clasei de diametru

x - media aritmetica

N - numarul de unitati statistice

s - abaterea standard

- momente centrate corectate

Mo - modul

Este de asemenea insotit de o eroare.

sA = 0,50

6.2. Indicele excesului E si eroarea acestuia sE

Excesul reprezinta deplasarea curbei distributiei experimentale pe verticala in raport cu distributia normala. Acesta se calculeaza prin doua formule si este insotit de o eroare.

E = -0.19 sE= 1.99

unde: n_i - frecventa absoluta simpla

x_i - centrul clasei de diametru

x - media aritmetica

N - numarul de unitati statistice

s - abaterea standard

- momente centrate corectate

6.3. Interpretari

Indicele asimetriei si excesului sunt indici de forma. Pentru estimarea indicelui asimetriei se compara media aritmetica cu modul. Deoarece media aritmetica este mai mare decat modul rezulta ca avem o asimetrie negativa sau de dreapta. Raportul dintre indicele asimetriei si abaterea sa este mai mic decat 2, deci distributia experimentala nu prezinta asimetrie semnificativa. De asemenea si raportul dintre exces si abaterea sa este mai mic decat 2, deci distributia nu prezinta un exces semnificativ.

7. Comparatie intre distributia experimentala si unele distributii teoretice

7.1. Ajustarea distributiei experimentale dupa legea distributiei teoretice normale.

Ajustarea consta in inlocuirea unui set de experimentale cu un set de valori teoretice. Conditia pentru aplicarea acestui tip de ajustare este ca populatia sa fie omogena. Conditia pentru ca ajustarea sa se considere incheiata este sa existe egalitate intre volumul real si volumul obtinut prin insumarea frecventelor absolute teoretice. Ajustarea se face in mai multe etape:

* - se determina abaterile normate ui pentru fiecare clasa formata in distributia experimentala;

** - se determina frecventele teoretice relative corespunzatoare functiei de distributie normale normate; aceste valori au fost luate din tabele.

*** - se determina frecventele absolute teoretice.

Tabel nr. 5

Nr. crt.	xi	ni	ui	f(ui)	-teoretic	rotunjit

unde: x_i - centrul clasei de diametru

n_i - frecventa absoluta simpla experimentala

- frecventa absoluta simpla teoretica

u_i - variabila normala normata

f(u_i) - functia de distributie normala

Verificarea grafica se face prin reprezentare. Ajustarea este corecta daca punctele experimentale sunt apropiate de curba teoretica.

Dupa aplicarea ajustarii trebuie sa se faca un test de ajustare.

7.2. Controlul normalitatii prin testul de ajustare

Tabel nr. 6

c _exp c _teoretic

7.3 Folosirea distributiei teoretice CHARLIER de tip A pentru ajustarea distributiei experimentale a diametrelor de baza.

Folosind distributia CHARLIER de tip A, deci a derivatelor de ordin superior se poate obtine o distributie teoretica mai flexibila. Se observa ca aceasta ia in considerare indicele asimetriei si excesul. Pentru a ajusta distributiile experimentale cu ajutorul acesteia se porneste de la valorile determinate pentru frecventele relative teoretice ale functiei normale normate, iar valorile derivatelor se iau din tabele

unde: x_i - centrul clasei de diametru

n_i - frecventa absoluta simpla experimentala

- frecventa absoluta simpla teoretica

u_i - variabila normala normata

f(u_i) - functia normala normata

A - indicele asimetriei

E - excesul

(u_i) - functia de frecventa CHARLIER de tip A

Verificarea grafica se face prin reprezentare. Ajustarea este corecta daca punctele experimentale sunt apropiate de curba teoretica.

Dupa aplicarea ajustarii trebuie sa se faca un test de ajustare.

7.4 Test de ajustare pentru distributia CHARLIER tip A

Tabel nr. 8

c _exp c _teoretic

7.5 Reprezentari grafice si interpretari.

In urma compararii datelor experimentale cu cele teoretice, respectiv cea a lui experimental, obtinut prin calcul, cu teoretic extras din tabele in functie de numarul de grade de libertate f si procentul de transgresiune q, rezulta ca distributia experimentala nu difera semnificativ de distributia normala si de asemenea nu difera semnificativ nici fata de cea CHARLIER de tipA..

Faptul ca punctele distributiei experimentale sunt apropiate de curba teoretica verifica rezultatul obtinut analitic.

8.Determinarea intervalelor de incredere a mediilor aritmetice pentru 3 probe referitoare la caracteristica diametrului de baza.

8.1 Constituirea celor 3 probe si determinarea principalilor indicatori statistici.

Cele trei probe au un volum de cate 20 unitati statistice, au o structura omogena si au fost alese aleatoriu. Calculul indicatorilor statistici s-a facut cu ajutorul formulelor pentru valori negrupate.

Tabel nr. 9

s²= ; =

unde: N - numarul de unitati ale probei

- media aritmetica a probei

s² - abaterea patratica

s% - coeficient de variatie

- abaterea mediei aritmetice

8.2 Stabilirea.intervalelor de incredere ale mediilor pentru cele trei probe

Pentru determinarea intervalului de incredere trebuie sa se stabileasca valorile corespunzatoare a testului t in functie de precizia urmarita care se iau din tabele. Intervalul de incredere este egal cu media aritmetica plus/minus produsul dintre valoarea lui t si abaterea standard a mediei aritmetice.

Tabel nr.10

t*

9.Compararea mediilor aritmetice a celor 3 probe.

9.1 Examinarea semnificatiei diferentei dintre variantele probelor folosind testul Ficher.

Pentru examinarea semnificatiilor dintre variantele probelor se face raportul acestora, doua cate doua, si se obtin valorile lui F experimental. Acestea se compara cu valorile lui F teoretice.

,

*(1.,2.)

s = 14.17 t_exp.= 0.333

*(2.,3.)

s = 12.196 t_exp.= 0.858

*(1.,3.)

s= 12.67 t_exp= 1.2

*(1.,2.) Fexp Fteoretic

*(2.,3.) Fexp Fteoretic

*(1.,3.) Fexp F_teoretic = 2.16

9.2 Examinarea semnificatiei diferentei dintre mediile aritmetice prin testul Student.

In ambele cazuri daca se compara valorile lui t obtinute experimental cu cele teoretice luate din tabele se observa ca t experimental este mai mic decat t teoretic, deci rezulta ca diferentele intre medii nu sunt semnificative.

10.Analiza simpla a variantei

10.1Pregatirea datelor pentru analiza variantei.

Aceasta etapa este o etapa premergatoare calcului variantei.

Tabel nr. 13

unde: Ti - este suma diametrelor dintr-o proba

c= c=133396.

10.2.Analiza simpla a variantei

Q_F= s²_F= S²_E=

Qe=Q-Q_F

Q=  F_t=3.15 F_exp

Deoarece valoarea experimentala testului F este mai mica decat valoarea teoretica calculata pentru o probabilitate de transgresiune de 5% rezulta ca cele trei probe nu difera semnificativ.

10.3 Testarea semnificatiei diferentelor dintre mediile aritmetice ale celor trei probe.

Sd=2.748

D_L

11.Analiza corelatiei

11.1 Formare distributiei empirice bidimensionale pentru analiza legaturi corelative dintre diametrul de baza si inaltimea arborilor

Caracteristicile studiate sunt influentate de o serie de factori care actioneaza simultan. Influenta acestor factori se caracterizeaza prin valori diferite ale caracteristicilor studiate care sunt corelate intre ele. In cazul in care este un numar mare de valori pentru care s-au masurat caracteristicile se justifica gruparea in clase si se obtine o distributie experimentala bidimensionala. Fiecare valoare din tabel n_y este o frecventa de clasa. Coloanele si randurile formeaza distributii pe clase. Frecventele suma formeaza distributii marginale.

Reprezentand grafic aceste valori se obtine un nor de puncte care poarta denumirea de nor statistic - camp de corelatie, graficul numindu-se corelograma. Din grafic se observa ca este o legatura liniara, din ce in ce mai puternica si de asemenea ca legatura este directa, deci pe masura ce creste valoarea pentru caracteristica x creste valoarea si pentru caracteristica y.

11.2 Calculul coeficientului de corelatie pentru legatura corelativa anterioara si stabilirea semnificatiei acestuia.

=

Coeficientul de corelatie se calculeaza cu formula:

r*** = 0.7799

12Analiza regresiei

121. Determinarea ecuatiei de regresie lineare simple pentru legatura corelativa dintre grosimea dubla a cojii si diametru de baza.

Regresia este o metoda statistica prin care se cerceteaza posibilitatea exprimarii cu ajutorul unor ecuatii a legaturii statistice care exista intre media valorilor unei caracteristici rezultative notata cu y si valorile experimentale ale unei variabile factoriale x. Determinarea ecuatiei se face in mai multe etape:

- stabilirea tipului de regresie;

- determinarea parametrilor ecuatiei de regresie;

- evaluarea preciziei de estimare a ecuatiei de regresie.

Determinarea se poate face prin mai multe metode. In acest caz se foloseste metoda coeficientului de regresie.

b=0.41 s_y=4.51

a=17.57

unde: N - volumul de unitati statistice

- media aritmetica

n_y - frecventa de clasa

s² - varianta

Verificarea se face grafic: se traseaza dreapta a carei ecuatie s-a dedus, aceasta trebuind sa imparta norul statistic in doua parti egale. De asemenea punctul M de coordonate x si y trebuie sa cada pe dreapta.

13Analiza de ansamblu si concluzi finale

Analiza statistica este fenomenul de masa supus legilor statistici ,aceste legi se manifesta in conditi variabile in timp si spatiu.Pentru a realiza o analiza statistica trebuie tinut cont de anumite etape : culegerea de date din teren , prelucrarea informatiilor prin diferite procedee specifice statistice matematice,mai trebuie a vut in vedere obtinerea unor indicatori statistici

In silvicultura studiul din punct de vedere statistic se face pe grupe de diametre si inaltimi.Toate aceste analize statistice ne dau indicati asupra intregului volum de lemn prin economisirea de timp si reducerea masuratorilor

Conform legii numerelor mari influenta valorilor intamplatoare asupra diferentelor dintre indici statistici ai probelor de volum redus si aceiasi indici corespunzatori intregi populati, se pot diminua pe masura ce sunt incluse un numar din ce in ce mai mare de unitati din esantion

Indici statistici trebuie testati adica trebuie determinat daca abaterea acestaora este de natura obiectiva .Valorile observate constituie scopul statistici.In functie de natura observatiilor acestea pot fii calitative sau cantitative,totalitatea acestor valori observate constituind o populatie statistica, aceasta va fi studiata prin intermediul probelor.

In lucrarea de fata sa studiat un arboret de molid in varsta de 70 de ani fiind luate in calcul diametrele de baza si inaltimile arborilor .Pentru caracterizarea volumelor sunt folosite procese si fenomene de masa In urma calculelor statistice s-a obtinut media aritmetica ,mediana si modulul .Cel mai important indice al distributiei statistice este reprezentat de media aritmetica

In capitolul cinci al lucrari s-a avut in vedere calculul momenelor centrate ,iar pentru cele de ordin doi si patru s-au aplicat corectiile lui Sheppard.

Indici de forma a distributiei experimentale sunt :asimetria (A) si excesul (E) care pot fii insotiti de erori ( Sa si Se ).

Comparand distributiile teoretice cu cele experimentale se observa daca distributia diametrelor de baza se supune unor legii naturale.Testul X² arata ca distributia Charlie ajusteaza bine distributia experimentala

Din totalul populatiei au fost extrase trei probe a cate 20 de arbori luindu-se in considerare diametrul de baza si inaltimea arborilor .Anlizandu-se corelatia dintre diametrul de baza si inaltimea arborilor s-a ajuns la concluzia ca intre diametrul si inaltime exista o legatura semnificativa

In ultimul capitol sa efectuat analiza regresiei cu ajutorul acuatiei de regresie liniara si metoda celor mai mici patrate.

Proiect la biostatistica - qgasesc.com