CINEMATICA PUNCTULUI

Cinematica punctului studiaza miscarile mecanice ale corpurilor, fara a lua in considerare masa acestora si fortele care actioneaza asupra lor. Cinematica face un studiu geometric al miscarilor din care cauza aceasta parte a mecanicii se mai numeste si geometria miscarilor. Cinematica foloseste notiunile fundamentale de spatiu si timp. Spatiul se considera absolut, euclidian si tridimensional, iar timpul un parametru scalar independent de spatiu si continuu crescator. Notiunea de miscare este relativa. Miscarea se raporteaza in general la un reper sau sistem de referinta. Daca reperul este fix, miscarea se numeste absoluta iar daca reperul este mobil, miscarea se numeste relativa

1. NOTIUNI FUNDAMENTALE

1.1. LEGEA DE MISCARE

Fig. 1

Miscarea unui punct M este cunoscuta daca, in orice moment t, se poate preciza pozitia acestuia in raport cu un reper presupus fix, definita de vectorul de pozitie ca functie de timp (fig.1).

(1)

Pentru a defini miscarea reala, functia vectoriala descrisa de ecuatia (1), trebuie sa fie continua, uniforma, finita in modul si de doua ori derivabila. Ea constituie legea de miscare

1.2. TRAIECTORIA

Traiectoria este locul geometric al pozitiilor succesive ocupate de punct in miscare. Referitor la traiectorie, se intalnesc doua cazuri:

Cazul 1. Se cunoaste pozitia punctului, data prin functiile scalare, care definesc vectorul variabil (fig.2) si se cere sa se determine traiectoria.

Daca functia vectoriala este definita cartezian se poate scrie:

(2)

unde sunt versorii axelor Ox, Oy si Oz, ale sistemului cartezian.

Fig. 2

Proiectiile pe axe ale vectorului reprezinta coordonatele punctului M in sistemul cartezian Oxyz, sunt functii scalare de timp si se numesc ecuatii parametrice ale traiectoriei, parametrul fiind timpul t.

(3)

Prin eliminarea parametrului t in ecuatiile parametrice (3) se obtine traiectoria, ca intersectie a doua plane:

(4)

Fig. 3

Cazul 2. Se cunoaste traiectoria punctului, curba (C), si se cere sa se determine pozitia acestuia. Daca traiectoria este o curba continua, rectificabila si are in orice punct o tangenta unica, pozitia punctului se poate determina utilizand un singur parametru scalar, care este coordonata curbilinie s (fig.3).

Punctul M se deplaseaza pe curba (C) in sensul indicat de sageata. Pentru a indica pozitia la un moment dat a punctului se alege ca reper punctul M₀, care constituie originea arcelor, sensul de parcurs fiind indicat de sageata.

Pozitia punctului M pe curba, in timp este determinata de ecuatia orara a miscarii sau legea orara a miscarii:

(5)

1.3. VITEZA

Viteza este o marime vectoriala atasata punctului care precizeaza directia si sensul in care se efectueaza miscarea.

Se considera doua pozitii succesive M₁ si M₂ ale punctului M in miscarea pe curba (C), la momentele t si respectiv t+Dt, caracterizate prin vectorii de pozitie , respectiv (fig.4). Intervalul de timp Dt fiind foarte mic, se poate asimila elementul de arc M₁M₂, cu elementul de coarda M₁M₂, care reprezina modulul vectorului

Raportul se numeste viteza medie a punctului M. Cum de regula intereseaza directia si sensul miscarii in orice moment pe curba (C), se calculeaza viteza instantanee. Aceasta se realizeaza cand intervalul de timp sau .

Trecand la limita, rezulta viteza instantanee intr-un punct:

(6)

Fig. 4

Relatia (6), arata ca viteza unui punct este egala cu derivata vectorului de pozitie al punctului, in raport cu timpul (derivata in raport cu timpul a functiilor scalare sau vectoriale se va nota, in general, cu un punct, deasupra).

Viteza este tangenta la traiectorie in punctul respectiv:

(7)

unde:

(8)

este versorul tangentei.

1.4. ACCELERATIA

Acceleratia este o marime vectoriala atasata punctului in miscare si arata modul de variatie al vitezei acestui punct in decursul miscarii, ca modul, directie si sens.

Se considera doua pozitii succesive M₁ si M₂ ale punctului M in miscare pe curba (C), la momentele t si respectiv t+Dt, avand vitezele si (fig.5). Variatia vitezei in intervalul de timp Dt este:

Fig. 5

Raportul masoara variatia vitezei in timp si se numeste acceleratie medie. Prin trecerea la limita, aceasta realizandu-se cand intervalul de timp sau , rezulta acceleratia instantanee

(9)

Daca se continua derivarea in raport cu timpul, a vectorului de pozitie , se obtin vectori care se numesc acceleratii de ordin superior. Astfel, derivata a treia in raport cu timpul a vectorului de pozitie, se numeste acceleratie de ordinul al doilea sau supraacceleratie.

1.5. VITEZA SI ACCELERATIA UNGHIULARA

Fig. 6

Sunt cazuri cand pozitia unui punct pe traiectorie se poate preciza cu ajutorul unui unghi la centru q, ca in cazul miscarii circulare. Considerand ca reper, diametrul orizontal, legea de miscare a punctului M pe cerc este definita de functia:

(10)

Se considera doua pozitii succesive M₁ si M₂ ale punctului M in miscarea pe cerc, la momentele t si respectiv t+Dt, avand unghiurile la centru si (fig.6). Variatia unghiulara in intervalul de timp Dt este:

Raportul se numeste viteza unghiulara medie a punctului M. Prin trecerea la limita, aceasta realizandu-se cand intervalul de timp sau , rezulta viteza unghiulara  instantanee:

(11)

Considerand pozitiile succesive M₁ si M₂ ale punctului M in miscare pe cerc, la momentele t si respectiv t+Dt, avand vitezele unghiulare si , variatia vitezei unghiulare in intervalul de timp Dt este:

Raportul masoara variatia vitezei unghiulare in timp si se numeste acceleratie unghiulara medie. Prin trecerea la limita cand intervalul de timp sau , rezulta acceleratia unghiulara instantanee

(12)

Prin conventie, viteza unghiulara poate fi considerata un vector al carui suport este o dreapta perpendiculara pe planul traiectoriei, care trece prin punctul O. Sensul pozitiv al vectorului viteza unghiulara este dat de regula surubului, care se roteste in sensul de deplasare al punctului M. In mod similar se defineste si vectorul acceleratie unghiulara