Creeaza.com - informatii profesionale despre


Simplitatea lucrurilor complicate - Referate profesionale unice
Acasa » referate » fizica
Evaluarea incertitudinii de masurare a calelor plan paralele cu interferometrul koesters modernizat

Evaluarea incertitudinii de masurare a calelor plan paralele cu interferometrul koesters modernizat




EVALUAREA INCERTITUDINII DE MASURARE A CALELOR PLAN PARALELE CU INTERFEROMETRUL KOESTERS MODERNIZAT

Evaluarea incertitudinii de masurare a calelor plan paralele prin metoda interferometrica ( metoda cunoscuta a fractiilor exacte sau excedentelor fractionare) s-a realizat prin aplicarea riguroasa a Ghidului ISO de Exprimare a Incertitudinii de Masurare, incluzand tratarea si corelarea termenilor de ordin superior.

Ghidul de Exprimare a Incertitudinii de Masurare isi gaseste o larga aplicare in masurari, in comunitatea stiintifica. Metodele prezentate in Ghid sunt aplicabile in multe scenarii de masurare; totusi, pentru aplicarea corecta a regulilor sale, au fost exemplificate cazuri specifice de masurare. Detaliile de efectuare a masurarii se reflecta in modul de evaluare a incertitudinii, astfel incat fiecarei masurari particulare i se asociaza o incertitudine unica de masurare, functie de practica curenta a laboratorului. Exista o stransa corespondenta intre un model de ecuatie si masurarea in sine care consta in primul rand in formularea corecta a cailor de evaluare a incertitudinii de masurare asociate. Descrierea metodei de masurare, stabilirea ecuatiilor model si evaluarea incertitudinii conform Ghidului pentru masurarea calelor plan paralele cu interferometrul modificat prin proiect sunt cei trei pasi parcursi pentru a caracteriza din punct de vedere metrologic performantele noului echipament.



Masurarea calelor plan paralele prin metoda interferometrica

Definitia unitatii SI de lungime: metrul este lungimea drumului parcurs de lumina, in vid intr-un interval de timp de 1/ 299 792 458 s. Interferometria optica ofera o metoda de determinare a numarului de lungimi de unda in vid corespunzator lungimii unei cale plan paralele. Lungimea unei cale plan paralele este considerata ca distanta (pe perpendiculara) intre un punct de referinta al suprafetei calei si suprafata optica a materialului pe care este aderata cala plan paralela. Interferometrul pentru cale plan paralele modernizat si amplasat intr-un laborator nou renovat cu conditii de mediu controlate, unde se asigura temperatura de (20 0,5) 0C si umiditatea relativa controlata (40 ) %. Se utilizeaza doua surse de lumina, lasere cu He-Ne stabilizate in frecventa 633 nm respectiv 543 nm ( fabricatie Brown Sharpe) etalonate initial la NPL si retalonate la BEV Austria .

Sursele de lumina sunt aranjate pe masa interferometrica iar surselor de alimentare (inclusiv pentru laserii de aliniere) sunt pozitionati intr-un rac special cu ventilatie stfel incat caldura lor sa nu influenteze interferometrul. Selectoarele de radiatii de tip obturator mecanic cu comandata automata sunt pozitionate in imediata vecinatate a ferestrei laser. Un sistem optic compus din oglinzi, colturi de cub, capcane optice, filtre neutre aduc cele doua fascicule laser pe aceeasi directie cu reglajul intensitatii functie de necesitati. Obiectivul unui microscop focalizeaza radiatia selectata pe suprafata de capat a unei fibre optice monomod, ce trimite lumina pe o distanta de 3 m spre fanta de intrare a interferometru. Fibra atinge un difuzor care care vibreaza silentios, pentru a elimina zgomotele atunci cand se selecteaza unul din fascicolele laser. Fibra este aliniata la celalalt capat astfel incit sa devina sursa punctiforma pentru colimatorul de intrare al interferometrului ( reglaj axial fin). Interferometrul insusi este pasiv termic: temperatura interna este controlata cu doi termistori Hart si un termocuplu YPS de contact perntru temperatura calei, iar conditiilor de mediu (T, P, pH2O, Co2, viteza aer) din laborator sunt monitorizate si masurate cu difersi senzori Hart, Vaissala in vederea calcularii unor corectii ulterioare. Etalonarea senzorilor de temperatura se face periodic in raport cu un termocuplu etalon Pt100 etalonat la PTB utilizind un cilindru masiv de cupru. Senzorii de presiune si de umiditate Vaisala sunt etalonati de producator.

Programul de calculator realizat prin proiect permite determinarea lungimii calelor aplicand metoda excedentelor fractionare, utilizand metoda pentru 2 lungimi de unda de referinta. Cele 2 lungimi de unda date in vid in Mise en pratique ( sau preluate din certificatele de etalonare NPL) sunt corectate pentru indicele de refractie al aerului din interioarul interferometrului folosind formula empirica data de Edlen, modificata de Birch si Downes.

Lungimea fiecarei cale este corectata functie de proprietatile calei. Proprietatile de material ale calelor sunt considerate uniforme pentru un set, iar proprietatile optice se masoara folosind un bloc de 4 cale in serie, experiment pachet, pentru a determina valoarea medie a schimbarii de faza prin reflexie optica. Coeficientul de dilatare termica al calelor se considera valoarea coeficientului de dilatare termica lineara dat de fabricant (adica a = 11,5. 10-6 /K pentru otel)

Lungimea masurata a calei sau blocului de cale se exprima cu ajutorul abaterii d ,

l = L + d (1)

unde valoarea pozitiva a lui d indica faptul ca lungimea masurata, reala, a calei este mai mare ca lungimea nominala L (respectiv cea marcata de producator pe suprafata), iar valoarea pozitiva a lui d indica faptul ca lungimea masurata estye mai mica. Pentru a permite o masurare a lungimii prin metoda interferentiala, calele trebuie sa fie executate in tolerante foarte strinse, abaterea de la lungimea nominala a calei trebuie sa fie foarte mica (mai mica de 100 nm) si avind calitati excelente de planitate, paralelism si finisarea suprafetei.

Exprimarea incertitudinii

Exprimarea evaluarii incertitudinii prezentate in continuare este conforma cu regulile general acceptate international pentru evaluarea si exprimarea incertitudinii pe baza Ghidului de incertitudine. Ghidul contine definitii detaliate ale conceptelor statistice si de terminologie, ecuatii generale pentru incertitudinile standard si extinse, cat si recomandari care se refera la cazuri speciale de incertitudine

Incertitudinea standard compusa

Incertitudinea standard compusa u c(d) este un estimator al abaterii standard a distributiei valorilor posibile (sau probabilitatea de distributie) a abaterii de la lungimea nominala a calei d, daca aceasta este masurata interferometric. Incertitudinea standard compusa, asa cum implica numele ei, este suma patratica a incertitudinilor u (xi) a tuturor factorilor de influenta xi fiecare avand o pondere asupra coeficientului de sensibilitate (5.1.2 Ghid):

uc 2 (d) = (2)

unde u(xi) este incertitudinea standard atribuita marimilor de influenta xI si unde coeficientii de sensibilitate

ci = ci, j = cI,j,j = (3)

sunt derivatele partiale ale ecuatiei model.

Este convenabil sa se creada ca ec. (2) consta din 2 parti: termenii de varianta ce contin u2 (xi) si termenii de ordin mai inalt ce contin u2 (xi) si u2 (xj). Daca se modeleaza efectele termice din metrologia dimensionala, termenii de ordin mai inalt sunt intotdeauna semnificativi, daca nu dominanti, prin contributia lor la incertitudine. Idin acest motiv in metrologia dimensionala, termenii de ordin mai inalt pot fi evaluati ca termeni ai variantiei.

Lungimea nominala

Lungimea nominala L este folosita prin conventie in calculul coeficientilor dependenti de lungime. Diferenta ce apare din calculul acestor mici corectii ca rezultat al substituirii lui L in locul lungimii masurate l este neglijabil.

Evaluarea incertitudinilor tip A si tip B

In Ghid se face o distinctie considerabila intre evaluarea incertitudinilor de tip A si de tip B. In mod simplu evaluarea incertitudinii de tip A implica evaluarea statistica a datelor experimentale din masurari repetate. Abaterea standard se evalueaza din datele experimentale si e folosita ca incertitudine standard. Pentru evaluarea incertitudinii de tip B pentru masurari repetate ce nu pot fi izolate de influente, incertitudinea trebuie obtinuta prin alte metode bazate pe experienta si expertiza metrologica si conform Ghid (pct. 4.2, 4.3).

Majoritatea evaluarilor sunt de tip B. In unele cazuri, se fac masurari repetate in scopul de a izola influenta parametrilor. Asemenea masurari repetate pot fi un suport puternic pentru a argumenta evaluarea parametrilor de tip B; acestia nu implica in mod necesar evaluarea incertitudinii de tip A.

Distributia dreptunghiulara se utilizeaza frecvent la evaluarile de tip B, si este utilizata in diferite situatii si in calculul ulterior. Conform pct. 4.4.5 din Ghid (v. fig. 2 din Ghid, pag.17), daca datele estimate ale distributiei incertitudinii unui parametru de influenta sunt limitate, adesea aproximari adecvate utilizate pentru stabilirea limitei superioare + a si inferioare -a a unui domeniu sunt echiprobabile. Incertitudinea standard este adeseori data ca a /. In mod similar, o citire cu un sistem cu afisare digitala cu rezolutia b are o incertitudine standard de b / (v. F. 2.2.1 Ghid). Citirile digitale se considera ca au o distributie dreptunghiulara limitata de:

+ a = + b/2 si - a = - b/2.

Efectele terminale si dependenta de lungime

Incertitudinile calelor plan paralele pot fi grupate in cele datorite efectelor dependentei de lungime si cele datorite efectelor terminale. In general, calele plan paralele dintr-un set au toate aceeasi inalta calitate a finisarii si geometriei suprafetelor terminale, astfel incat un set poate fi caracterizat printr-o singura valoare pentru caracterizarea efectelor terminale, plus un alt coeficient ce caracterizeaza modificarea incertitudinii functie de lungimea nominala. Din acest motiv incertitudinile se grupeaza pe 2 grupe: efecte terminale si efecte dependente de lungime. Efectele terminale sunt cele ce apar din calitatea fetelor optice active ale calelor si interactiunile lor cu sistemul de masurare si, prin definitie, sunt dependente de lungimea calei. De exemplu aderarea este un efect terminal. Invers, efectele dependente de lungime apar din totalitatea proprietatilor calelor si ale mediului (de ex, aer) si, prin definitie, sunt independente de efectele terminale. Dilatarea termica este un exemplu de influenta dependentei de lungime.

Incertitudinea extinsa

Este de dorit sa se exprime incertitudinile astfel incat majoritatea i valorilor obtinute prin masurare sa fie in domeniul de incertitudine al valorii masurandului. Incertitudinea extinsa

U = k.uc (d),

este definita ca incertitudine standard compusa multiplicata printr-un factor de acoperire k (6.2 Ghid). Valoarea factorului de acoperire se alege functie de nivelul de incredere aproximat care va facilita interpretarea incertitudinii. Majoritateaq masurarilor sunt exprimate pentru o valoare a lui k cuprinsa intre 2 si 3. INM a ales pentru exprimarea incertitudinii extinse k = 2, corespunzator unui nivel de incredere aproximat de 95 %, considerand distributia normala (v. 6.2.2. Ghid).

Multiplicarea prin factorul de acoperire nu aduce nici o informatie noua; este o conventie. Importanta este evaluarea incertitudinii standard compuse.

Este important sa se faca distinctia intre incertitudinea standard u , pentru care k = 1 sau valoarea 1s, si incertitudinea extinsa U = ku, unde k>1 . In capitolele urmatoare incertitudinile cu diferite valori k se vor ajusta pentru nivelul 1s (k = 1) pentru a lucra cu incertitudini standard in intreaga evaluare.

Modele de ecuatii

O masurare sofisticata prin metoda interferometrica a unei cale este o oportunitate pentru stabilirea modelului unei ecuatii in care parametrii de influenta sunt cat mai izolati posibil, ei vor reflecta influentele altor parametrii in cadrul evaluarii corelatiilor. Tehnicile sugerate de Ghid se pot aplica pentru fiecare din influente. Urmatorul model de ecuatii functie de parametrii de influenta se prefera in scopul prezentarii mai convenabile a evaluarii incertitudinii. Abaterea la lungimea nominala masurata a unei cale este:

d = l - L

d = l fit - L + lt + lw + lA + lW + ln + lG + lF

unde:

Cea mai buna solutie de calcul a lungimii calei, bazata pe metoda fractiilor exacte, pentru un numar q lungimi de unda, poate fi exprimata prin:

lfit = (5)

Influenta parametrilor cu impact asupra valorii lungimii o au masurarea fractiilor de franje de interferenta Fi si lungimile de unda in vid ln cu incertitudinile u(Fi ) si respectiv uc(li Acest model de ecuatie se discuta in detaliu mai jos.

L este lungimea nominala a calei; se presupune ca u(L) = 0.

Corectia de temperatura a calei este:

lt q a.L (6)

Aceasta corectie apare din abaterea de temperatura a calei q = 20 - tg in grade Celsius si 20 0C este temperatura standard de referinta conform ISO pentru masurari dimensionale. Coeficientul de dilatare termica a al materialului calei este furnizat de producator si este exprimat in mod obisnuit in unitati ppm /K. Incertitudinile asociate acestei corectii includ pe cele determinate de abaterea temperaturii uc(q ) si pe cele ale coeficientului de dilatare termica lineara u(a

lw este lungimea atribuita grosimii stratului de aderare. Valoarea asteptata a acestei corectii este zero, (lw ) = 0, deoarece lungimea calei este definita inclusiv stratul de aderare [3]; totusi incertitudiunea asociata variatiei grosimii stratului de aderare u( lw ) nu este zero.

Corectia erorilor frontului de unda lA rezulta din imperfectiunile opticii interferometrului cu o incertitudine u (lA ). Valoarea asteptata a acestei corectiii este zero, dar incertitudinea nu este zero.

Corectia de oblicitate

lW = W.L = ( (7)

( ppm = parti per milion = 1 x 10-6)

este corectia lungimii data de deriva fazei ca rezultat al schemei optice si a proprietatilor de aliniere inerente interferometrului INM.

Aceasta incertitudine este uc(lW ), care depinde de lungimea focala a lentilei colimatorului f, dia-metrul aperturii a si deviatia laterala x, cu incertitudinile asociate u( f ), respectiv u( a ) si u( x ).

- Corectia datorita indicelui de refractie al aerului este

ln = (n - 1) L , unde n este indicele de refractie al aerului calculat pe baza ecuatiei Edlen versiune modificata. Incertitudinea standard compusa atribuita corectiei indicelui de refractie al aerului uc(ln ) include componentele incertitudinilor standard asociate cu :

- valorile empirice ale modelului Edlen u(E);

factorii de densitate ai mediului functie de temperatura uc(t), presiune uc(p ), continutul de vapori sau umiditatea relativa uc(R), continutul de CO2 uc([CO2]);

valorile lungimilor de unda in vid ale luminii uc(ln,, l

Corectiile de geometrie a blocului de cale lG, tinand cont de abaterile de la planitate si de la paralelism ale calei. Incertitudinea asociata acestei corectii este uc(lG).

Corectia schimbarii de faza:

lF   (8)

este o corectie tinand seama de efectul diferentei intre lungimea optica aparenta si lungimea mecanica. Incertitudinea ei este u( lF

Evaluarea incertitudinii

Aplicarea ec. (2) si (4) permite obtinerea incertitudinii standard a valorii d in termeni de valori masurate si corectii:

uc(d) =c2l fit uc2 (l fit c2l t uc2 (l t c2l w u2 (l W c2l A u2 (l A c2l W u c lW

c2l n u c ln c2l G u lG c2l F u c (lF (9)

unde fiecare contributie este descrisa in detaliu mai jos.

Definitiile variabilelor utilizate in evaluarea incerttitudinilor standard si valorile componentelor incertitudinilor sunt sintyetizate in tabelul 1. Acest capitol furnizeaza o discutie a fiecarui caz individual. De notat ca unele incertitudini tabelate se refera uneori la senzori izolati, dar cel mai frecvent la acele sisteme specifice interferometrului pentru cale al INM. Calibrarea acestor sisteme si incertitudinile asociate nu poate sa fie aplicate sistemelor de masurare diferite de interferometrul pentru cale al INM.

Tabelul 1

componente ale incerti-tudinii stan-dard

u(xi)

Surse

Incertitudini standard

u(xi)

Incertitudini standard

relative

cxi =

uI d cxi .u(xi)

nm nm

uc l fit

u (li

u (Fi )

Cea mai buna valoare a lungimii (v.text)

Lungimea de unda in vid

Laser He-Ne etalonat

deriva pe 1 an

Lungimi de unda lampa 114 Cd

Fractiuni de franje

(**)

0,01 franje

0,002 x 10-6

0,01 x 10-6

0,02 x 10-6

L / q. li

L / q. li

L / q. li

li / 2. q

0,012. L / mm

uc q

uc(t )

uc(q

u(a


Efecte termice

temperatura calei

Senzor etalonat performante

Gradient cala

Coeficient de dilatare termica

mK

5 mK

0,66 x 10-6/ K

(!)

a .L

a .L

(20 - tg)L=

50 L mK

0,034.L / mm

0,058.L / mm

0,033.L/ mm

u a ) uc(q

Termeni de ordin mai inalt ai temperaturii calei

0,66 x 10-6/K

(6 mK)

L

0,004 L/ mm

u lw

Aderare

6 nm

u lA

Optica interfe-rometrului

Erori ale fron-tului de unde

3 nm

uc(lW

uc 1 (lW

uc 2 (lW

Oblicitate

- dimensiunile

sursei

- termeni de aliniere de ordin mai inalt

mm

0,05 mm

0,3x10-6L /  mm

0,002.L / mm

0,008.L / mm

uc(ln)

u(E )

uc (t)

uc (p )

uc (R )

Indicele de re-fractie al aerului

Ecuatia Edlen

Temperatura aerului

Calibrare

Capabilitatea dis-pozitivului de citire (*)

Deriva

Presiunea aerului

Calibrare

Capabilitatea dis-pozitivului de citire (*)

Deriva

Umiditate

Calibrare

Capabilitatea dis-pozitivului de citire (*)

Deriva

1 x 10-8

2,5 mK

0,1 mK

2 mK

50 Pa

Pa

54 Pa

1,2 %

0,1 %

L

9,5x10-7 L/K

9,5x10-7 L/K

9,5x10-7 L/K

2,7x10-9L/Pa

2,7x10-9L/Pa

2,7x10-9L/Pa

8,5x10-7 L

8,5x10-7 L

8,5x10-7 L

0,010 .L /mm

0,002 L/ mm

0,0001 L/ mm

0,002 L/ mm

0,135 L/ mm

0,011 L/ mm

0,146 L/ mm

0,010 L/ mm

0,001 L/ mm

0,009 L/ mm

uc (ln , l

Lungimea de unda in vid

0,01 x 10-6

1,2 x 10-5 L

neglijabil

u (lG )

Abaterea de la planitate/ para-lelism a calei (*)

2 nm

2

uc( lF

Corectia de schimbare de faza

6 nm

6

Incertitudinea standard compusa u2(d ) = [ 9,32 + 0,2142 (L/ mm)2] nm2

Incertitudinea extinsa linearizata pentru factorul de acoperire k=2 U = [ 19 + 0,28 (L/ mm)] nm

(*) termeni necorelati

(!) cale executate din otel , unde a = 11,5 x 10-6 / K

pe baza a 5 lungimi de unda, aplicand metoda fractiilor exacte.

Evaluarea lungimii prin metoda fractiilor exacte

Surse de lungimi de unda in vid

Sursele de lumina folosite pentru masurarea lungimii calelor, cat si incertitudinile stan-dard compuse sunt indicate in tabelul 2. Etalonarea lungimii de unda a laserului in vid este efectuata pe loc (in-house) in raport cu etalonul primar, cu un laser He-Ne stabilizat prin absorbtie saturata pe 127I2 [4]. Incertitudinea de etalonare a laserului este 1,3 fm (1 MHz) sau 0,002 x 10-6 l deriva in timp de 1 an a frecventei laserului este in medie 13 fm (5 MHz) sau 0,01 x 10-6 l Incertitudinea standard compusa a lungimii de unda in vid a laserului este deci:

uc l ) = = 0,01 x 10-6 l (10)

Surse optice si incertitudinile standard Tabelul 2

Surse

Culoarea

Lungimi de unda in vid

lv /nm

Incertitudinea 1s

106 uc (lv lv

Laser He-Ne

Lampa 114Cd

Rosu

Rosu

Verde

Albastru

Violet

Lampa cu Cd fara electrozi functioneaza in concordanta cu prevederile definmitiei metrului din 1963 Incertitudinea data in documentele CIPM de 0,07 x 10-6l este considerata pentru un nivel de incredere de 99%, corespunzator unui factor de acoperire k = 2,58 [4.3.4 Ghid] astfel incat:

uc l ) = 0,07 x 10-6l /2,58 = 0,03 x 10-6l ( 11 )

Masurarea fractiunilor de franja

Aplicand metoda traditionala a fractiilor exacte pentru masurarea lungimii calelor, lungimea se determina prin masurare secventiala a diferentei de fractiuni a franjelor de interferenta formate pe fata superioara a calei in raport cu cele formate pe fata optic plana, pentru diferite lungimi de unda a luminii. Prin calcul se determina lungimea calei prin masurarea acestor fractii, bazat pe reprezentarea lungimii l printr-un seturi unice ale ordinelor de interferenta mi corespunzator lungimilor de unda li :

l m l m l /2 = ..= mi li/2  (12)

unde mi sunt numere reale ce constau dintr-o parte intreaga ki si o parte fractionara Fi

Valorile lungimilor evaluate de INM pe baza relatiei (12) sunt determinate cu un program pe calculator prin metoda regresiei. Masurararea incepe prin determinarea fractiunilor de franje Fi in mediul ambiant pentru 5 lungimi de unda li date in tabelul 2. Fractiunile masurate sunt co-rectate pentru indicele de refractie al aerului (12) si cu relatia li = ni . laer i. Termenul ni

reprezinta indicele de refractie evaluat pentru li si pentru parametrii (instantanei) ai densitatii aerului in momentul determinarii. Programul pe calculator testeaza pe trepte de lungime abate-rile de la lungimea nominala, facand proba valorilor reziduale d åi (Fi - Fi c) insumate pentru toate lungimile de unda utilizate in masurari, unde Fi reprezinta fractiunea masurata corectata si Fi c fractiunea calculata bazata pe calculul lungimii. Criteriul de alegere al solutiei este minimum rezidual al sumei d

In scopul unei evaluari profitabile a incertitudinii de masurare, se alege utilizarea rezultatului lungimii masurate ca ecuatie model, neglijand detaliile specifice ale aplicarii la INM a metodei fractiilor exacte. Deci forma generala a lungimii calei, mediata pentru q lungimi de unda utilizate pentru masurare, poate fi exprimata prin:

l fit =

unde corecftia indicelui de refractie al aerului ln = (n - 1) L este considerata ca fiind o corectie pozitiva pentru rezultatul masurarii (incertitudinea sa este discutata mai jos). Din cauza zgomo-tului in masurarea experimentala a fractiunilor de franje, valorile lfit, i e difera usor. Ec. (13) expri-ma media valorilor lfit, i pentru q lungimi de unda folosite in masurari. Este util si corect sa se tina cont in efectuarea mediei si de relatia dintre fractiunile de franje masurate si parametrii lun-gimilor de unda in vid la evaluarea incertitudinii. Pe de alta parte, evaluarea repetata a indicelui de refractie pentru fiecare li nu este aceeasi ca medie si nu imbunatateste astfel masurarile. Corelatiile dintre componentele ce afecteaza solutia lungimii si valoarea indicelui de refractie al aerului sunt mici (v. tabelul 1). Si diferentele ce apar in incertitudinea standard compusa uc (d) ca rezultat al simplificarii sunt neglijabile.

Urmand procedura de mai sus (2) se aplica la (13). Coeficientii de sensibilitate pentru varianta si termenii de ordin mai inalt sunt dati in tabelul 3. Asociind coeficientii de sensibilitate cu incertitu-dinile si incluzand sumele notate se obtin urmatoarele contributii la incertitudinea compusa:

uc2 (l fit ) =

+ (14)

Coeficientii de sensibilitate pentru evaluarea lungimii  Tabelul 3

Termenii variantei

Termeni de ordin mai inalt

xi



ci =

ci, j

xj = ki Fi li

cI,j,j

xj = ki Fi li

ki

Fi

li

li (2 q)

li (2 q)

(ki + Fi ) (2 q)

0 0 1 / (2 q )

0 0 1 (2 q)

1 / (2 q) 1 / (2 q) 0

0 0

0 0 0

0 0 0

Consideram ki reprezinta ordinul de interferenta intreg calculat pentru lungimea calei, se pre-supune ca algoritmul pentru sortarea ordinului a ales solutia corecta a lungimii. Deci u (ki )= 0.

O valoare incorecta a lui ki constituie o gafa (v. pct. 4.3.7 din Ghid). Contributia termenilor de ordin mai inalt din (14) este gasita neglijabil de mica; cei ce aduc o contributie semnificativa sunt:

uc2 (l fit ) = (15)

Incertitudinea standard de citire a fractiunilor de franje a fost determinata experimental (tip A) fiind de 0,01 franje, determinata din 5 citiri ale fractiunilor de franje. Aceasta valoare este repre-zentativa pentru toate fractiunile de masurare, independent de lungimea de unda. Contributia in-certitudinii atribuite lungimilor de unda in vid ale luminii sunt date in tabelul 2. Prin convenienta termenul de ordin II din ec. (15) pot fi scrisi utilizand (12) astfel:

(ki + Fi ) (2 q) = L / (q. li

Astfel pentru cele q = 5 lungimi de unda utilizate de NRC la etalonarea calelor plan paralele si indicate in tabelul 2:

uc2 (l fit ) = = (0,633 nm)2 (0,644 nm)2

+ (0,509 nm)2 (0,468 nm)2 + ( 0,002.L)2 + ( 0,006.L)2 + ( 0,006.L)2 + ( 0,006.L)2 +

( 0,006.L)2 = (1,2 nm)2 + [ ( 0,012 .L / mm)2 nm]2 = [ 1,4 + 1,4 x 10- 4( L/ mm)2] nm2 (16)

unde L / mm reprezinta lungimea in mm.

Incertitudinea atribuita efectelor termice

Revenind la (6) corectia de temperatura este lt q a L. Tabelul 4 listeaza coeficientii de sen-sibilitate pentru termenii variantei de ordin mai inalt. Asociind coeficientii de sensibilitate cu incertitudinile se obtin urmatoarele contributii la incertitudinea compusa:

uc2 (l t ) = (q a )2. u2(L) + (a.L)2 u2(q q..L)2 u2(a a u (L) u2(q ) + L2 u2(a). u2(q (17)

Termenii ce aduc o contributie mai inalta sunt considerati in detaliu mai jos.

Coficientii de sensibilitate pentru efecte termice  Tabelul 4

Termenii variantei

Termeni de ordin mai inalt

xi

ci =

ci, j =

xj = L a q

cI,j,j =

xj = L a q

L

a

q

q a

q..L

a.L

0 q a

q 0 L

a L

0 0

0 0 0

0 0 0

Incertitudinea de masurare a temperaturii calei

Pentru a evalua componentele din ec (17) atribuite masurarii temperaturii calei (a.L)2. u2(q ) se foloseste incertitudinea compusa de masurare a temperaturii calei, in care uc (q ) = uc (tg ) include 2 componente: incertitudinea standard compusa atribuita masurarii temperaturii folosind termis-tori ai INM uc (t) (acesta include componentele de trasabilitate a calibrarii, capabilitatea citirii, si deriva intre calibrari descrise mai jos) si incertitudinea standard atribuita posibilului gradient de temperatura al calei u (qgrad ). Expresia u2(q ) este o incertitudine compusa constand din patratul sumelor:

a.L)2. u2(q a.L)2. u2 c( q a.L)2. [u2 c(t) + u2(qgrad (18)

Evaluarea este in acest caz pentru cale din otel , unde a = 11,5 x 10-6 /K.

Incertitudinea standard compusa atribuita masurarii temperaturii bazata pe calibrarea termistorilor si performante este (v. cap. 5.5.4 mai jos):

u c(t ) = = 3 mK (19)

deci contributia la incertitudinea compusa a abaterii de la lungimea nominala este:

u c(t ) a.L = (0,003 K) (11,5 x 10-6 /K) = 0,034 (L / mm) nm (20)

Stabilitatea termica a laboratorului INM si experienta noastra ce caracterizeaza proprie-tatea de deriva termica a incintei interferometrului sunt astfel incat contributia la incertitudine ce reflecta gradientul termic potential al calei este 5 mK sau

u qgrad a.L = ( 0,005 K) (11,5 x 10-6 /K) L = 0,058 (L/mm)

Incertitudinea coeficientului de dilatare termica

Ca o estimare conservatoare, incertitudinea standard a coeficientului de dilatare termica u a) este considerata ca 10 % din valoarea declarata de producator cu o distributie dreptun-ghiulara. Valoarea temperaturii calei este estimata si inregistrata pentru fiecare cala;

q este considerata nu mai mare de 50 mK. Pentru siguranta acestui exemplu, se presupune ca temperatura masurata a calei era 19,950 0C, deci componenta din ec. (17) ce reprezenta con-tributia variantei lungimii calei datorita coeficientului de dilatare termica al otelului calei este:

u(a q.L = 0,033 (L / mm) nm (22)

La evaluarea incertitudinii unui intreg set de cale s-a ales selectarea unor largi valori ale q observate in timpul masurarilor setului, deci abaterile de la 20 0C sunt mici si destul de consec-vente pentru intregul set. O tratare mai riguroasa ar fi evaluarea incertitudinii pentru fiecare din calele setului, in care caz valoarea masurata a q a fiecarei cale va fi utilizata aici.

Termenii de ordin mai inalt ai incertitudinii dilatarii termice si ai temperaturii de masurare

Termenii din ec (17) ce aduc o contributie insemnata la incertitudinea compusa de masurare a lungimii este L2.u2(a). u2(q ) in care incertitudinea de masurare a temperaturii calei u2(q )este incertitudineaq compusa descrisa mai sus. Substituind valorile:

.u(a). u(q ).L = (0,66 . 10-6 /K) . 0,004 (L/ mm) nm (23)

5.3 Stratul de aderare

Variatia rezutatelor masurarii datorita stratului de aderare a fost evaluata experimental prin masurarea repetata a unei cale din carbura de tungsten cu L = 2,5 mm, cu o singura aderare si masurari prin readerare. Abaterea standard 1s atribuita efectului de aderare este u (lw) = 6 nm-. Aceasta este o incertitudine datorita efectului de capete. Coeficientul de sensibilitate este:

Clw = = 1 (24)

Optica interferometrului

Erorile frontului de unda

Componentele optice modificate ale interferometrului au fost facute la OPTICA ROMANA pentru a indeplini standardele de inalta calitate specifice acestei aplicatii a interferometrului. Placile optic plane folosite pentru interferometrul de cale INM sunt de planitate superioara, (mai buna de l / 20). Calitatea optica a interferometrului este astfel incat corectia de lungime a calei datorita efectului distorsiunii frontului de unda nu este garantata, totusi incertitudinea atribuita opticii care nu este ideala si a aberatiilor frontului de unde este determinata prin realizarea masurarii lungimii unei placi optic plane fara cala. Pentru aceasta s-a curbat un fir pentru a reprezenta conturul unei cale pe o sticla plana, astfel incat masurarea franjelor pe acest contur al calei sunt chiar cele de pe sticla optic plana. Pentru cazul cel mai defavorabil observatiile exercitiului de testare se repeta se obtine o valoare este tipic zero in jurul a 5 nm. Aceasta valoare reprezentata de zona marginala cu o incertitudine standard asociata acestui efect care este in mod uzual u (LA) = 5/ nm = 3 nm. Coeficientul de sensibilitate este :

Cl A = == 1 (25)

Oblicitate

Corectia de oblicitate este:

lW = (26)

unde a - este diametrul fibrei

f - este lungimea focala a lentilei colimatoare

x - este abaterea laterala a aperturii colimatorului fata de axa optica a instrumentului.

Avand x = 0 din caracteristica schemei interferometrului Michelson, valoarea asteptata pentru (x ) este 0, astfel incat corectia de oblicitate a lungimii masurate include numai primul ter-men din ec. (26). Trotusi desi termenul al doilea al ec. (26) este 0, incertitudinea atribuita alinie-rii va fi diferita de zero, cum indica componenta incertitudinii de ordin mai inalt.

Incertitudinea atribuita dimensiunilor sursei

Incertitudinea standard compusa se evalueaza aplicand ec. (2) la (26):

uc,1 2 ( lW) = (27)

Substituind valorile diametrului fibrei a = 600 nm cu u (a) = 5 mm, si pentru lungimea focala a lentilei egala cu f = 463 mm, u (f) = 0,15 mm, contributia termenului variantei la incertitudinea standard compusa a lungimii va fi

uc, 1( lW) = 0,002 (L /mm) nm. Termenul al doilea al ec. (27) este neglijabil.

Termenii de ordin mai inalt ai incertitudinii de aliniere.

Pentrua evalua coeficientii desensibilitate ai termenilor de ordin mai inalt, este mai convenabil sa se rescrie corectia de oblicitate sub forma:

lW = (28)

si sa se foloseasca un tabel format contabilitate ai termenilor. Utilizand derivatele partiale date in tabelul 5, se evalueaza urmatorii coeficienti:

c2xx = (29)

c2aa = (30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

Incertitudinea de aliniere laterala a fibrei optice terminale si apertura de iesire a axei optice a in-terferometrului este u (x) = 0,05 mm. Valorile pentru alte cantitati sunt mentionate mai sus. Performantele de multiplicare pentru toti termenii de ordin mai inalt sunt fie foarte mici sau zero cu exceptia termenilor i = j = x. Incertitudinea dependenta de lungime va fi deci



u2c 2 (lW c xx u4 (x)

uc 2 (lW u (x) = 0,008 (L /mm) nm (36)

Coeficientii de sensibilitate ai incertitudinii corectiei de oblicitate Tabelul 5

Termenii variantei

Termeni de ordin mai inalt

xi

ci =

ci, j =

xj = x a f

cI,j,j =

xj = x a f

x

a

f

xL/ f2

a.L/ (8f2

-L (x2 + a2/8)/f3

L/ f2 0 -2xL/f3

0 L/(8f 2) -aL / (4f3)

2xL/f3 -aL / (4f3) 3L(x2+ a /8)/f4

0 6xL/ f4

0 0 3aL/ (4f4)

2.L/f3 -L/(4 f3) -12.L(x2+ a /8)/f5

Indicele de refractie al aerului

Calele se masoara in laborator in conditiile mediului ambiant; totusi metrul este definit in termeni de distanta parcursa de lumina in vid. Indicele de refractie n al aerului modifica lungimile de unda conform relatiei:

lv = n. laer

In multe laboratoare inclusiv INM, indicele de refractie al aerului se determina prin masurarea proprietatilor ce afecteaza densitatea aerului, deci se calculeaza indicele utilizand o versiune modificata a ecuatieii Edlen [7,8].

Ecuatia modificata Edlen

Ecuatia modificata Edlen utilizata la NRC in masurarea interferentiala a calelor este

(n-1) =

(37)

unde p reprezinta presiunea aerului, t reprezinta temperatura aerului, R% reprezinta umiditatea relativa (v. mai jos) si g l reprezinta numarul de unde in vid. Incertitudinea atribuita deter-minarii empirice a coeficientului modificat al ecuatiei Edlen este 1 x 10-8 pentru un nivel de incre-dere 1s

Incertitudinea standard compusa si coeficientii de sensibilitate

Incertitudinea standard compusa uc(ln ) a corectiei de lungime ln = (n-1 ) L se determina aplicand ec. [ 2 ] la ln considerand ca (n-1) este exprimat in (37), astfel:

u2c(ln ) = (38)

Coeficientii de sensibilitate se evalueaza prin efectuarea derivatelor partiale de ordin I din ec. (38) utilizand (37), facand substituirea conditiilor de mediu ambiant din laboratorul NRC: t = 20 0C, l mm, p = 101 325 Pa si umiditatea relativa 44 %. Rezulta ec.

5.5.3 Evaluarea presiunii partiale a vaporilor de apa:

Ecuatia Edlen considera ca presiunea partiala a vaporilor de apa r. Presiunea partiala a vaporilor de apa este data prin raportul presiunii vaporilor saturanti r s si umiditatea relativa prin :

R % º

Conform conventiei ISO % = 1/ 100. Calculul r s se face din functia patratica de temperatura corespunzator valorii presiunii vaporilor saturanti la temperatura camerei, conform tabelelor de umiditate NBS/ NRC din 1984, astfel:

r /Pa = R [ 8,753 + 0,036 588 (t/ 0C)]  (44)

Incertitudinea relativa atribuita (44) bazata pe presiunea partiala a vaporilor este aproximata ca fiind 1 din 103. Se cunoaste ca o modificare a umiditatii relative de - 1% corespunde unei modificari a indicelui de refractie de 1 x 108 [ 12 ], si incertitudinea atribuita corectiei empirice a ec. Edlen este deasemenea 1 x 108 (conform celor de mai sus), deci impactul evaluarii incertitu-dinii din aplicarea ec. (44) la indicele de refractie al aerului pare neglijabila.

Parametrii de masurare care influenteaza indicele de refractie al aerului

Incertitudinea compusa atribuita influentei masurarii temperaturii aerului, presiunii barometrice si umiditatii relative include urmatoarele 3 componente ale incertitudinii: exactitaqtea si calibrarea senzorului, capabilitatea de citire a senzorului, si deriva sensorului intre calibrari. Fiecare tip de senzor este discutat mai jos dupa aceste criterii. Incertitudinea standard compusa a senzorului are deci urmatoarea formula:

u2c(x ) = u2(xcal ) + u2(xcitit ) + u2(xderiva) (45)

Temperatura aerului

Incertitudinea standard compusa a termometrelor cu termistori din sticla calibrati la NRC utilizati pentru masurarea interferentiala a calelor este 2,5 mK. Multiplicand cu valoarea coeficientului de sensibilitate din ec. (41),

u(tcal) = (0,002 5 K) [-9,5 .10-7 (L/ K)] = - 0,002 ( L/mm ) nm

Rezolutia digitala de citire a termistorului este 0,4 mK, deci incertitudinea sociata cu capabilitatea dispozitivului de citire este:

u(tcitire) = [-9,5 .10-7 (L/ K)] = (- 0,0001 L/mm ) nm (46)

Deriva de timp intre calibrari este aproximativ 3 mK, presupunand o distributie dreptunghiulara, deci:

u(t deriva) = [-9,5 .10-7 (L/ K)] = (- 0,002 L/mm ) nm (47)

Presiunea aerului

Incertitudinea standard a etalonarii presiunii este de 0,05 % din presiunea citita. Citirile presiuii barometrice sunt apropiate de 100 kPa, deci o incertitudine de s a dispozitivului de calibrare va fi de 50 Pa. Multiplicand cu coeficientul de sensibilitate de 2,7 . 10-9 L/Pa din (40), incertitudinea dependenta de lungime devine:

u(pcal) = (50 Pa) (2,7 . 10-9 L/ Pa) = 0,135 (L / mm) nm.

Capabilitatea dispozitivului de citire a aparatului digital este 13 Pa , deci:

u (pcitire) = [ 2,7 . 10-9 L/ Pa) ] = ( 0,011 L / mm) nm (48)

Incertitudinea standard atribuita derivei medii timp de 1 an este 54 Pa deci:

u(p deriva) = (54 Pa) . ( 2,7 . 10-9 L/ Pa) = ( 0,146 L / mm) nm

Umiditate

Exactitatea data de producator pentru sensorul de umiditate este 2 % din domeniul de functio-nare. Aceasta limita este presupusa ca are o distributie dreptunghiulara. Utilizand coeficientul de sensibilitate de - 8,5 .10-7 .L din (39) , contributia la incertitudinea compusa a lungimii masurate este deci:

u(Rcal) = (- 8,5 .10-7 .L) = - 0,010 (L/ mm) nm (49)

Capabilitatea dipozitivului de citire este 0,1 % pentru aparatul digital, deci:

u (R citire) = (- 8,5 .10-7 .L) = - 0,001 (L/ mm) nm (50)

Incertitudinea atribuita derivei in timp de 1 an intre calibrari este de 1 % sau:

u(R deriva) = (0,01) (- 8,5 .10-7 .L) = - 0,009 (L/ mm) nm

Lungimea de unda in vid

Incertitudinea compusa atribuita lungimii de unda in vid datorita contributiei indicelui de refractie al aerului este foarte mica. Utilizand valorile din tabelul 2 si (42),

uc(ln, l mm) (-1,2 . 10-5.L/ mm) care este neglijabila.

5.5.6 Continutul de CO2

In versiunea revizuita a ecuatiei Edlen [ 8 ], Birch si Downes presupun fractiunea medie molara a continutului de CO2 in aer de 450 . 10-6 si presupusa cu o incertitudine de 1s de 57 parti din 106. Nici o corectie ulterioara nu s-a facut asupra continutului de CO2 din aer in aplicatiile ecuatiei modificate Edlen.

Se presupune ca incertitudinea atribuita continutului de CO2 in aer este incorporata in incertitu-dinea ecuatiei Edlen.

Abaterile de la planitate si paralelism ale calei

dlG se presupune a fi zero, deoarece tehnica interferometriei optice impune o calitate superioara a calelor. Pentru a evalua incertitudinea rezultata din micile abateri de la geometria calei datorita imperfectiunilor de planitate sau de paralelism a suprafetelor de masurare, geome-tria produce variatii pronuntate ale lungimii la centru a calei considerate. Conform fig. 2 non-paralelismul are un impact mare asupra lungimii centrale masurate, decat abaterea de la planitate similara ca marime. De asemenea aceeasi marime a abaterii de la paralelism va avea un efect mai pronuntat pe directie transversala, decat pe lungimea calei. Se va lua in considerar valoarea maxima a abaterii de la paralelism pe directie transversala, sau de la planitate, pentru estimarea incertitudinii datorita abaterilor de geometrie a calei.


Fig.2

Efectul abaterilor de la planitate si de la paralelism asupra lungimii pe centru a calei . In caz ideal, se observa mai mare variatie prin luarea in considerarea ca referinta a abaterilor de la paralelism decit a celor de la planitate a calei. Variabila y pe desen reprezinta incertitudinea lungimii masurate la centru datorita abaterii de la paralelism.

Capacitatea de vizare pe centrul sectiunii rectangulare a calei este tipic de 1/20 din latimea de 9 mm a calei. Incertitudinea 2 s de vizare pe zona centrala a suprafetei calei este de 0,5 mm.

Incertitudinea in lungime se ia ca diferenta de inaltime a muchiilor, intre lungimea masurata fata de punctul de referinta si lungimea in punctul cu abaterea maxima datorita unei vizari mai slabe, asa cum s-a demonstrat in fig. 2.

Folosind triunghiuri asemenea, rezultatul lungimii la centru data de o diferenta de 50 nm abatere

de la paralelism in lungul directiei firelor reticulare ale calei este:

tan e = (51)

si deci u (lG) = 2 nm pentru s. Coeficientul de sensibilitate:

cl G = = 1 (52)

Corectia de schimbare de faza

Corectia de schimbare de faza se masoara experimental si efectul este evaluarea pentru un set de cale a calitatii materialului si a finisarii suprafetei, prin metoda experimentala pachet. Experimentul pachet (stack) consta din masurarea a 4 cale mici, individual, si apoi aderarea lor intr-un pachet si masurarea lor in acelasi fel ca a celorlalte cale individuale. Diferenta intre lungi-mea masurata a pachetului si suma lungimii masurate a calelor, ca diferenta de lungime indica atributul efectelor de reflexie a blocului de cale pachet. Expresia matematica a corectiei de schimbare de faza este:

(53)

unde lp reprezinta lungimea masurata a pachetului si li reprezinta lungimea masurata a a celor m cale individuale ce formeaza pachetul.

Evaluarea corectiei schimbarii de faza prin metoda experimentala pachet este masura diferentelor unor masurari similare. Deoarece este o masurare relativa, componentele incertitudinii corelate perfect vor da suma zero, pe langa componentele incertitudinii standard compuse ale pachetului experimental. Componentele remanente ale incertitudinii sunt caracterizate ca un proces stocas-tic. Acestea includ in special efectele de capete si incertitudinile individuale instrumentale de citire.

Atributul incertitudinii standard compuse asupra corectiei schimbarii de faza este deci suma componentelor necorelate a masurarii lungimii. Aplicand ec. (2) la (53) incertitudinea corectiei de schimbare de faza va fi:

u2c(lf (54)

unde suma celor m+1 cale inclde fiecare din cele m cale ce constituie pachetul si u2c(lf ) sunt componentele incertitudinilor necorelate (marcate cu semn dublu in tabelul 1). Calele folosite in experimentul pachet sunt cale mici, astfel incat dependenta de lungime a incertitudinilor necorela-te sunt mici. Componentele ce au o contributie semnificativa asupra incertitudinii efectelor de capat sunt:

u2c(lf (55)

Pentru cele 4 cale folosite in experimentul pachet substituind valorile incertitudinilor lor din tabelul 1, avem uc(lf ) = 6 nm.

Incertitudinea atribuita diferentelor intre rugozitatea suprafetelor placilor plane si a suprafetelor calelor nu s-a luat in considerare separat. Efectele diferentelor intre propritatile de reflexie ale materialelor, cum ar fi rugozitatea suprafetelor sunt considerate integrate in rezultatul experimen-tului pachet.

6 Concluzii

S-a evaluat incertitudinea extinsa a abaterii de la lungimea nominala a calei pentru o singura masurare a unei cale. Incertuitudinea standard compusa se obtine prin insumare conform tabelului 1. Realizand suma patratelor lungimii si separat efectele de capat, incertitudinea extinsa va fi:

U = 2 nm (56)

Trebuie sa ne gandim ca expresia finala este incertitudinea incertitudinii si sa nu acordam prea mare semnificatie cifrelor din expresia finala. Incertitudinea extinsa U reprezinta nivelul de incredere de aproximativ 95 % ca valoarea masurata se gaseste in intervalul de valori U ale masurandului. Incertitudinea extinsa se obtine prin multiplicarea incertitudinii standard uc a masurarilor de lungime (presupuse normal distribuite) prin factorul de acoperire k =2.

Ecuatia (56) de mai sus da valoarea estimata a incertitudinii extinse. Unii clienti prefera o simpla aproximatie lineara U = (19 + 0,28 .L/ mm) nm, determinata ca o ecuatie lineara y = a + bL ce leaga punctele reprezentate de L = 0 mm si L = 100 mm. Domeniul restrans de lungimi nominale pentru care e valabila aproximatia lineara trebuie sa fie specificat.

Pentru cale mici acest domeniu este de la 0 la 100 mm. Aproximatia lineara va diferi neglijabil de suma patratelor in cazul in care bL este mic in comparatie cu a, sau invers daca a este mic in comparatie cu bL. Ultimul caz este mai verosimil in cazul calibrarii in conditii de atelier (shop floor) daca efectul temperaturii este dominant la evaluarea incertitudinii. Cea mai mare diferenta intre aproximatia lineara si suma patratelor va fi in cazul in care a si bL sunt comparabile ca mari-me. Acesta este cazul pentru calibrari cu cea mai mica incertitudine realizat de laboratoarele n-tionale, unde sistemele au fost optimizate special pentru a se reduce cele mai mari componente ale incertitudinii. In exemplul nostru, diferenta maxima intre aproximatia lineara si suma patra-telor au fost pentru L = 38 mm, unde Ulinear = 30 nm si Upatrate= 25 nm. De notat ca aproximatia lineara da o valoare mai conservatoare (adica mai mare) decat cea data de suma patratelor.

ANEXA A

Componentele corelate in experimentul pachet

Pentru a demonstra ca suma zero a componentelor corelate ale incertitudinii in experimentul pa-chet, se considera ca incertitudinea standard compusa a lungimii masurate uc( l ) este formata din componente corelate si independente ale incertitudinii. Aceste doua aspecte sunt reprezentate prin suma patratelor

uc2( l ) = u2( l0 ) + u2( lt ) (57)

unde u( l0 ) repreyinta suma patratelor a incertitudinilor corelate si u( l ) cea a componentelor necorelate. Pentru simplitate notatia sus se elimina si ne vom concentra interesul asupra sumei patratelor componentelor incertitudinilor corelate u( li ) pentru cala i cu lungimea masurata li .

Tipic, incertitudinile corelate sunt dependente de lungime, iar suma lor are forma simpla :

u( li ) = b . li unde b este constanta.

Este util sa se scrie corectia schimbarii de faza de forma:

lF = sI = + 1 daca i = 1

- 1 altfel

Expresia generala a incertitudinii standard compuse din pachetul experimental incluzand

componentele incertitudinilor corelate (v. 5.2.2 Ghid) este :

uc2(lF ) = ) + (60)

Incertitudinea compusa este suma pentru N parametri de influenta, in care coeficientul de corelare r (li, lj ) este 1 pentru componente corelate si zero pentru cele necorelate. Se considera ca incertitudinile corelate la masurari repetate de lungime pentru determinarea corectiei schim-barii de faza, coeficientul de corelatie este 1. Numarul de parametrii ai sumei ec. (60) al pachetului experimental este N = m +1. Inlocuind (58) si (59) in (60):

uc (lF ) = (61)

Scotand termenii i =1, care in expresia (59) este indicele ce reprezinta pachetul,

uc (lF ) (62)

Termenii combinatiei ulterioare se determina din (59) si din conditiile impuse sk deoarece ex-presia lungimii nominale a pachetului este suma lungimilor nominale a calelor componente:

LP= (63)

Si deasemenea:

LP 2 = (64)

Suma componentelor corelate devine:

uc (lF ).

= LP2 - 2 LP2 + LP2= 0 (65)

Suma componentelor perfect corelate ale incertitudinii standard compuse asociata cu pachetul experimental este zero.






Politica de confidentialitate







creeaza logo.com Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Comentarii literare

ALEXANDRU LAPUSNEANUL COMENTARIUL NUVELEI
Amintiri din copilarie de Ion Creanga comentariu
Baltagul - Mihail Sadoveanu - comentariu
BASMUL POPULAR PRASLEA CEL VOINIC SI MERELE DE AUR - comentariu

Personaje din literatura

Baltagul caracterizarea personajelor
Caracterizare Alexandru Lapusneanul
Caracterizarea lui Gavilescu
Caracterizarea personajelor negative din basmul

Tehnica si mecanica

Cuplaje - definitii. notatii. exemple. repere istorice.
Actionare macara
Reprezentarea si cotarea filetelor

Economie

Criza financiara forteaza grupurile din industria siderurgica sa-si reduca productia si sa amane investitii
Metode de evaluare bazate pe venituri (metode de evaluare financiare)
Indicatori Macroeconomici

Geografie

Turismul pe terra
Vulcanii Și mediul
Padurile pe terra si industrializarea lemnului



Inductivitatea proprie
MASURATORI DIRECTE DE ACEEASI PRECIZIE
Structura materialelor - Starea fizica a materialelor
Aplicatii ale ecuatiei conservarii energiei mecanice (ecuatia lui BERNOULLI)
NIVELELE ENERGETICE ALE ATOMILOR
Otelurile aliate cu destinatie speciala
Transferul caldurii prin convectie
STRUCTURA BIOMACROMOLECULELOR



Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu