COMPENSAREA UNEI RETELE CONSTRANSE DE NIVELMENT GEOMETRIC-GEODEZIC

COMPENSAREA UNEI RETELE CONSTRANSE DE NIVELMENT GEOMETRIC-GEODEZIC

ANUL UNIVERSITAR:2006-2007

A.TEMA LUCRARII

Pentru realizarea pe teren a unei retele de nivelment geometric de precizie necesara ridicarilor nivelitice ale terenului, s-au efectuat mai multe drumuiri de nivelment geometric, formandu-se trei poligoane nivelitice ingloband 2 repere de cota cunoscuta apartinand retelei de ordin superior.

Se cere compensarea retelei prin metoda masuratorilor conditionate ponderarte si evaluarea preciziei rezulatatelor.

B. DATELE LUCRARII

1. Schita retelei de nivelment geometric-geodezic,cu indicarea sensului pozitiv al diferentelor de nivel pe fiecare sectiune in parte,numerotarea poligoanelor si a sensului direct de parcurgere al traseului in fiecare poligon (fig.10.1).

2. Cotele si erorile medii patratice ale cotelor reperelor de nivelment A si B apartinand retelei de nivelment de ordin superior (tab.10.1,col.5).

3. Diferentele de nivel medii obtinute din masuratori directe pe teren intre reperii retelei de sprijin,exprimate in mm (tab.10.1,col.3).

4. Lungimea sectiunilor (drumuirilor) de nivelment geometric,exprimate in km (tab.10.1,col 4).

Fig.10.1

Tab.10.1

C. CUPRINSUL LUCRARII

1. Stabilirea numarului ecuatiilor de conditie independente necesare si sufuciente pentru copensarea retelei.

2. Scrierea ecuatiilor de conditie initiale

3. Scrierea ecuatiilor de conditie ale corectiilor si calculul neinchiderilor

4. Calculul ponderilor diferentelor de nivel masurate direct

5. Scrierea sistemului de ecuatii de corectii functie de corelate

6. Scrierea sistemului ecuatiilor normale ale coralatelor si calculul coeficientilor

7. Rezolvarea ecuatiilor normle prin metoda matriciala

8. Calculul corectiilor si verificarea ecuatiilor de conditie ale corectiilor

9. Calculul valorilor celor mai probabile (compensate) ale diferentelor de nivel si efectuarea controlului final al compensarii

10. Calculul cotelor reperelor noi ale retelei nivelitice de sprijin

11. Calculul erorii unitatii de pondere

12. Calculul erorilor medii patratice ale diferentelor de nivel masurate :z ^s₁,z^s₂,z^s₃ ale diferentelor de nivel compensate :z₁,z₂,z₃, ca si a sumei diferentelor de nivel :S=z₂+z₅

13. Calculul erorilor medii patratice ale cotelor reperelor noi C,D,E

D. REZOLVAREA LUCRARII

1. Numarul ecuatiilor independente de conditie necesare si suficiente:

R=P+(N - 1)=4

unde : P-numarul poligoanelor retelei=3

N-numarul reperelor din reteaua de sprijin de ordin superior=2

2. Pentru scrierea ecuatiilor de conditie se introduc urmatoarele notatii :

- z_i(x_i) este diferenta de nivel compensata pe sectiunea i=1.n=1.7

- z^s_i(M^s_i) este diferenta de nivel medie masurata direct pe teren pe sectiunea i=1.n,1.7

- v_i este corectia ce se va adauga diferentelor de nivel masurate

- D_i este lungimea in km pe sectiunea i

-p_i este ponderea diferentelor de nivel pe sectiunea i

- _i este inversa ponderii

Pentru scrierea ecuatiilor de conditie avem 3 ecuatii interioare si o ecuatie exterioara :

z₁ - z₂ - z₄ =0

z₂ - z₃ + z₅ =0 ; unde z₈=z_B - z_A

z₄ - z₅ - z₆ - z₇=0

z₁ + z₆ + z₈ =0

3.In ecuatiile de conditie initiale se inlocuiesc diferentele de nivel compensate prin diferente de nivel medii masurate direct pe teren la care se vor adauga corectiile.

z_i=z^s_i+v_i , i=1.n,1.7

Ecuatiile de corectie devin: 1. (z^s₁+v₁) - (z^s₂+v₂) - (z^s₄+v₄) =0

2. (z^s₂ +v₂) - (z^s₃+v₃) + (z^s₅+v₅) =0

3. (z^s₄+v₄) - (z^s₅+v₅) - (z^s₆+v₆) - (z^s₇+v₇)=0

(z^s₁+v₁) + (z^s₆+v₆) + z₈ =0

Pe baza lor se scrie sistemtl ecuatiilor de conditie ale corectiilor,care,in cazul retelei nivelitic, are forma liniara:

v₁ - v₂ - v₄ + w₁ =0

v₂ - v₃ + v₅ + w₂ =0

v₄ - v₅ - v₆ - v₇ + w₃=0

v₁ +v₆ + w₄ =0

Forma generala a acestor ecuatii este:

[av] + w₁=0 a₁v₁ + a₂v₂ +.+ a₇v₇ + w₁=0

[bv] + w₂=0 b₁v₁ + b₂v₂ +.+ b₇v₇ + w₂=0

[cv] + w₃=0 c₁v₁ + c₂v₂ +.+ c₇v₇ + w₃=0

[dv] + w₄=0 d₁v₁ + d₂v₂ +.+d₇v₇ + w₇=0

Coeficientii ecuatiilor de conditie ale corectiilor (a_i,b_i,c_i,d_i) vor avea valorile : -1,0 sau 1.

Termenii liberi ai ecuatiilor de conditie vor fi : w₁=z^s₁-z^s₂ -z^s₄=9376.4mm

w₂=z^s₂-z^s₃+z^s₅= 12388.9mm

w₃=z^s₄-z^s₅ -z^s₆-z^s₇= 5.7mm

w₄=-z^s₁+z^s₆+z^s₇= 15432.5mm

4.Executarea drumuirilor s-a facut prin statiille de mijloc,niveleele fiind de lungime egala.

Eroarea medie patratica de masurare a unei diferente de nivel intr-o statie de mijloc este acceasi

si se noteaza cu s₀.

Pe o sectiune de lungime D_i(km) eroarea de masurare a diferentei de nivel va fi :

s_i=±s₀

Calculul ponderii se face pe baza raportului patratelor erorilor :

In locul ponderilor se vor calcula inversele acestora reprezentand chiar lungimea sectiunii exprimate in km.

5.Se introduce conditia de minim : V^T_1n P_nn V_n1→minim

Se introduce functia echivalenta Lagrange :

F=V^T_1nP_nnV_n1 - 2K^T_1r (A_rnV_n1+W_r1 minim

Astfel rezulta sistemul ecuatiilor de corectie functie de corelate : V_n1=P^-1_nnA^T_nrK_r1

Acest sistem contine n=7 ecuatii si n+r=7+4=11 necunoscute.

6.Se reuneste sistemul ecuatiilor de corectie functie de corelate cu sistemul ecuatiilor de conditie ale corectiilor obtinandu-se un sistem cu n+r=11 ecuatii si n+r=11 necunoscute.

V_n1=P^-1_nnA^T_nrK_r1

A_rnV_n1+W_r1=0

Sistemul ecuatiilor normale ale coralatelor devine: A_rn(P^-1_nnA^T_nrK_r1)+W_r1=0

Se face notatia: ,rezulta ca:

unde

7.Matricea corelatelor este :

8.Calculul corectiilor se face prin introducerea corelatelor in sistemul ecuatiilor de corectie functie de correlate.

V_n1=P^-1_nnA^T_nrK_r1, rezulta ca:

Se face verificarea ecuatiilor de conditie ale corectiilor : A_rnV_n1+W_r1=0_r1

9.Valorile cele mai probabile(compensate) ale diferentelor de nivel :

X_n1=M^s_n1+V_n1, rezulta ca : Z_n1=Zs_n1+V_n1

unde : , rezulta ca :

Controlul final al compensarii se face prin inlocuirea valorilor compensate ale diferentelor de nivel in sistemul initial al ecuatiilor de conditie.

10.Cotele reperelor C,D si E se calculeaza in functie de cota unui reper cunoscut(A) pe traseul unei drumuiri sprijinite A - C - D - E - B.

Calculul se face tabelar(tab.10.2).

Tab.10.2

11.Eroarea unitatii de pondere reprezinta eroarea medie patratica postcompensare a unei singure masuratori directe fictive la care ponderea este egala cu unitatea.

mm

12.Erorile medii patratice ale masuratorilor reale ale diferentelor de nivel zs_i avand ponderile p_i se calculeaza cu relatia:

, rezulata ca:

μ₁=8.76 mm

μ₂= mm

μ₃=7.62 mm

Evaluarea preciziei marimilor compensate ale diferentelor de nivel z_i,se particularizeaza functia generala pentru fiecare marime compensata.

F=f₀+f₁z₁+f₂z₂+.+f₇z₇

a). F=z₁→ f₁=1, f₀=f₂=.=f₇=0

=

f^T_1n=[1 0 0 0 0 0 0]

5.38 mm

b). F=z₂→ f ^'₂=1, f ^'₀=f^'₂=.=f ^'₇=0

=

f^{' T}_1n=[0 1 0 0 0 0 0]

4.91 mm

c). F=z₃→ f ^''₃=1, f ^''₀=f^''₂=f^''₄=.=f ^''₇=0

=

f^{'' T}_1n=[0 0 1 0 0 0 0]

4.78 mm

d). S=z₂+z₅

F=z₃→ f ^'''₂=f^'''₅= 1,   f ^'''₁=f^'''₃=f^''₄=.=f ^'''₇=0

=

f^{'' T}_1n=[0 1 0 0 1 0 0]

4.78 mm

13.Erorile medii patratice ale reperelor noi C,D si E se vor calcula pe baza erorii reperului cunoscut A si a erorilor diferentelor compensate.

z_C=z_A+z₁→6.47 mm

z_D=z_A+z₂→6.09 mm

z_E=z_A+z₃→5.84 mm

Rezultatele obtinute se trec in tabelul 10.3