Teormele circuitelor de curent continuu

Teormele circuitelor de curent continuu

Principalele teorme ale retelelor de curent continuu: substitutiei, superpozitiei, teorme luiVaschy si generatoarelor echivalente Thevenin si Norton, de conservare a puterii in retele inchise si deschise, a puterilor incrucisate, de reprocitate, teorema lui Millman, transfigurarii stea-poligon si triunghi-stea, se deduc prin particularizare din teoremele generale ale retelelor in regim variabil. In retelele de curent continuu elementele reactive nu intervin in distributia tensiunilor si curentilor in laturi, sursele sunt constituite exclusiv din generatoare de tensiune si de curent continuu, iar operatorii de admitanta si impedanta sunt egali cu conductantele si rezistentele retelei. Astfel:xxxxxx

1. Teoremele generale Thevenin si Norton

Enunt: O retea de curent continuu intre doua noduri oarecare este echivalenta, fie cu un generator (Thevenin), fie cu un generator de curent (Norton).

Teorema Thevenin (17)

Teorema Norton (18)

Unde si sunt rezistentele retelelor, respectiv conductanta echivalenta a retelei intre bornele a si b cand reteaua functioneaza in gol (fara latura ab).

U_ab0 = tensiunea retelei intre punctele a si b la functionare in gol

I_abs = curentul de scurtcircuit al retelei intre a si b, cand bornele a si b se leaga in scurtcircuit

2. Teorema de conservare a puterilor

Bilantul puterilor produse si consumate

Enunt: Puterea totala P dezvoltata in elementele unei retele de curent continuu cu l laturi, din care l_u generatoare de tensine, l_i generatoare de curent si l_R rezistoare este nula.

(19)

a) daca i_g se transforma in u_g

l_g=l_u+l_i  (20)

sau (21) dar U_Rj=R_jI_Rj (22) l_g=l_u+l_i

Matricial: (23)

Unde E si I_u sunt matricele coloana cu l_g termeni ale tensiunilor si curentilor generatoarelor, iar R este matricea diagonala cu l_R termeni ai rezistentelor.

Enunt: Ecuatiile (22) si (23) : Suma puterilor produse de generatoare este egala cu suma puterilor absorbite de rezistoare

iar E_pI_up>0 daca sens(E_p)=sens(I_p)

<0 daca sens(E_p)=invers sens(I_p)

Cand E_pI_up>0 generatorul transfera putere pe la borne in retea

<0 generatorul primeste putere pe la borne din retea

b) daca se transforma u_g in i_g avem

(24)

Sau folosind I_Rj=G_jU_Rj (25)

Matricial (26)

In care I_g si U sunt matricele colana cu l_g termeni ale injectiilor si tensiunilor generatoare de curent, G matricea diagonala cu l_R termeni ai conductantelor.

Enunt: Suma puterilor produse de i_g = suma puterilor absorbite de rezistoare ; daca sens(I_gs)=invers sens(U_is) generatorul transfera putere retelei pe la borne si in caz contrar xxxxxxx primeste putere de la retea xxxxxxxx[A1] 

3. Conservarea puterii in sistemele ochiurilor si nodurilor independente

Pentru ochiuri independente (R'I'=E')

In relatia I'=R^-1E^' se inmulteste cu si se obtine dar ceea ce trebuia demonstrat

Enunt: Suma puterilor produse de generatoarele de tensiune apartinand ochiurilor este egala cu suma puterilor absorbite de rezistoarele ochiurilor.

(27)

Matricial: (28)

Pentru noduri independente relatia se inmulteste cu , (29)

respectiv (30)

Relatia (29) devine (31)

Inlocuind in relatia (31) se obtine ceea ce trebuia demonstrat.

Enunt: Suma puterilor produse de generatoarele de curent in nodurile independente este egala cu suma puterilor absorbite de rezistoarele conectate la noduri.

4. Teorema transferului maxim de putere

Fie un generator de tensiune Thevenin avand t.e.m. E si rezistenta R_g ce transfera puterea P rezistorului de sarcina R_s.

(32) EI = puterea debitata de generator I2Rg = puterea pierduta pe rezistenta interna I2Rs = P = puterea transferata rezistorului Problema care se pune este: care este Pmax ce poate fi transferata rezistentei Rs,de generator si in ce conditii?

(33)

Valoarea maxima se determina prin anularea derivatei:

(34)

(35)

Puterea absorbita de un rezistor, de la un generator de tensiune electromotoare, este maxima daca rezistenta sa (R_s=R_g) este egala cu rezistenta retelei pasivizate (rezistenta interna generatorului).

Puterea transferata de un generator este cu atat mai mare cu cat rezistenta sa interna este mai mica.

Daca

5. Teorema puterii minime in rezistoarele retelei de curent continuu

Repartitia tensiunilor si curentilor in laturile unei retele de curent continuu corespunde puterii minime dezvoltate in rezistoare.

Demonstratie: Fie o retea de curent continuu cu u_g si i_g. Se aleg astfel buclele independente incat sa existe cel putin una care sa nu contina generatoare.

Relatia curentilor independenti (matriciala) este: (36)

Ecuatia (36) se poate pune sub forma: (37)

Sistemul (37) devine: (38)

Puterea dezvoltata in rezistoare:

Consideram acum un alt sistem de curenti ciclici ce poate corespunde acelorasi tensiuni . Matricea va fi diferita de numai prin componentele care corespund buclelor fara surse, adica: (40)

Puterea:

(41)

In baza relatiei (41) se conchide: Orice putere ce corespunde curentilor care nu verifica relatia (36) este mai mare decat puterea P care corespunde curentilor I^'.