Reducerea sistemelor de forte oarecare

Reducerea sistemelor de forte oarecare

1   Reducerea unei forte intr-un punct. Torsor.

Intr-un punct A al unui corp (fig. 3.16, a) se aplica o forta . Pentru evaluarea efectului acestei forte intr-un punct oarecare O se procedeaza dupa cum urmeaza. In punctul O se introduc doua forte egale si direct opuse, si , al caror efect asupra corpului este nul. Forta din A si din O alcatuiesc un cuplu al carui efect asupra corpului se masoara, conform cap 3.1.6, prin momentul (fig. 3.16, b). Dupa inlocuirea cuplului prin acest moment, in O au ramas forta si momentul (fig. 3.16, c). Ansamblul acestor doua marimi alcatuieste torsorul de reducere al fortei in raport cu punctul O. Torsorul se noteaza

(3.29)

Se spune ca efectul fortei aplicata corpului in A se masoara in punctul O prin torsorul de reducere compus din forta data , mutata din A in O, si din momentul acesteia in raport cu punctul O. Cele doua componente ale torsorului exprima totodata tendinta de translatare a corpului dupa directia de actiune a fortei precum si tendinta simultana de a-l roti in jurul punctului O.

Daca se schimba punctul de reducere, de exemplu in O₁ (fig. 3.17), procedand in acelasi mod ca mai sus, se gaseste un nou torsor, respectiv:

(3.30)

Forta este evident aceeasi in O si in O₁ dar momentul este diferit. Observand ca ,

(3.31)

cu exceptia situatiei in care ar fi coliniare sau paralele.

2   Torsorul unui sistem de forte oarecare

Operatiunea de reducere descrisa in paragraful precedent poate fi efectuata pentru fiecare dintre fortele unui sistem oarecare (fig. 3.18):

(3.32)

Dupa reducere, in punctul O actioneaza doua sisteme de vectori concurenti. Prin insuma-rea acestora rezulta torsorul general de reducere al sistemului de forte dat:

(3.33)

Torsorul va consta din rezultanta si momentul rezultant in raport cu punctul de reducere.

Intr-un sistem de referinta cartezian cu originea in punctul O elementele torsorului de reducere se pot calcula distinct.:

(3.34)

Pentru o forta oarecare se poate scrie:

(3.35)

Ca si la fortele concurente, proiectiile pe axe ale rezultantei sunt:

(3.36)

Momentul fortei fata de punctul O este:

(3.37)

unde proiectiile pe axe ale momentului sunt minorii determinantului prin care se calculeaza produsul vectorial de definitie. Astfel,

(3.38)

Proiectiile pe axe ale momentului rezultant sunt:

(3.39)

3  Variatia torsorului la schimbarea punctului de reducere. Invarianti.

Daca se repeta operatiunea de reducere pentru un punct O₁ (fig. 3.19), se va gasi torsorul:

(3.40)

Fortele sistemului, reduse in punctul O₁ vor avea aceeasi rezultanta. In calculul momentului rezultant vor intra insa vectorii de pozitie astfel ca acesta va avea o valoare diferita de .

Observand ca rezulta:

(3.41)

Egalitatea este posibila daca vectorii si sunt coliniari, respectiv atunci cand noul punct de reducere se afla chiar pe directia rezultantei. Marimile care nu se modifica la schimbarea punctului de reducere se numesc invarianti ai sistemului de forte. Acestia sunt:

a) Rezultanta . Ca urmare a modului in care se face reducerea vor fi invariabile atat directia cat si modulul rezultantei:

(3.42)

b) Produsul scalar  . Apeland la relatia (3.41) se evidentiaza ca, oricare ar fi punctul O₁,

, (3.43)

produsul mixt din relatie fiind nul. Daca sunt cunoscute prin dezvolta-rile lor analitice (3.34), produsul scalar mentionat ia forma:

(3.44)

care este numita si trinomul invariant.

c) Proiectia a momentului rezultant  pe directia rezultantei . Se descompune momentul rezultant in componentele pe directia rezul-tantei si perpendicular pe aceasta (fig. 3.20).

Versorul directiei rezultantei se exprima prin relatia:

(3.45)

Tinand cont de (2.1), proiectia lui pe directia va fi:

(3.46)

Rezulta ca proiectia , determinata ca raport al unor invarianti definiti mai sus, este si ea un invariant. Intre componenta si proiectia exista, evident, relatia .