Relatii intre deplasari si deformatii

Relatii intre deplasari si deformatii

Se considera mai intai o stare liniara de tensiuni reprezentata printr-o bara dreapta solicitata la intindere, (fig.12), raportata la axa Ox cu originea in sectiunea marginala din stanga. Prin deformarea barei, sectiunea sa transversala l se va deplasa axial cu cantitatea u. Sectiunea 2 aflata la distanta dx de l, va suferi o deplasare u + du. Lungirea specifica pe directia axei barei va fi,

In continuare se considera o placa aflata intr-o stare plana de tensiuni (fig.13). Un punct oarecare M se va deplasa prin deformarea placii atat in directia axei Ox cat si in directia axei Oy. Cele doua deplasari se noteaza prin u = u(x, y) si v = v(x, y).

Intre deplasarile u si v si deplasarile ε_{x si} ε_y, ca si in starea lineara, exista relatiile:

(42)

Din placa considerata se izoleaza elementul MACB (fig.14). Prin deformarea placii elementul se deplaseaza si se deformeaza.

Daca deplasarea punctului M in directia axei Ox este u, atunci deplasarea punctului A in directia aceleiasi axe este . Deplasarea punctului C in directia axei Ox va fi .

Punctul C are si o deplasare in directia axei Oy care va fi:

.

Totodata, in procesul de deformare, unghiul drept dintre laturile MB si MA se modifica cu cantitatea:

care reprezinta de fapt lunecarea specifica.

Diagonala MC are inainte de deformare lungimea: ,

iar dupa deformare:

()²=()² + ()²

adica,

()²=

Se ridica la patrat parantezele, se neglijeaza infinitii mici de ordin superior si apoi prin impartire cu ds² va rezulta expresia lungirii specifice in lungul diagonalei MC:

Inlocuid,

, va rezulta :

sau in functie de unghiul dublu:

(43)

Relatia obtinuta este de aceeasi forma cu relatia (1) a tensiunilor unde locul deformatiilor specifice liniare si unghiulare este luat de tensiunile normale si tangentiale. Prin analogie cu teoria eforturilor, se poate afirma ca exista in plan doua directii principale perpendiculare in lungul carora deformatiile specifice liniare sunt extreme, iar cele unghiulare sunt nule. Aceste directii coincid cu directiile tensiunilor principale, ele determinandu-se cu relatia:

(44)

Deformatiile specifice liniare principale sunt date de relatia:

(45)

Rezultatele obtinute pentru starea plana de deformatii, pot fi extinse si la starea spatiala . Astfel celor trei deplasari u, v si w ale unui punct in directiile axelor de coordonate, le corespund deformatiile specifice liniare:

si lunecarile specifice in trei plane perpendiculare paralele sistemului de referinta:

(47)

Cunoscand cele noua componente ale tensorului deformatiilor

(48)

in care,

; ; ,

se pot determina directiile principale ale deformatiilor liniare specifice precum si valorile , , , ale acestora. Se poate de asemenea arata ca lunecarile specifice au valori extreme in plane inclinate cu 45^o fata de directiile principale ale deformatiilor specifice liniare, acestea fiind:

; ; (49)