Exemple de aplicare ale teoremelor de variatie sau conservare a energiei

Exemple de aplicare ale teoremelor de variatie sau conservare a energiei

Sa consideram cazul unui corp de masa care este tras in jos pe un plan inclinat de unghi α si lungime ℓ de o forta externa paralela cu planul. Figura 1.11 ilustreaza fenomenul ce urmeaza a fi analizat si fortele care actioneaza. Se cere sa se determine viteza la baza planului, considerand un coeficient de frecare pe plan diferit de zero si egal cu m. Vom considera ca viteza initiala in varful planului este zero.

Figura 1.11 Miscarea unui corp pe un plan inclinat

Inaltimea planului este:

(1.49)

In varful planului energia mecanica a corpului este:

(1.50)

iar la baza planului

(1.51)

Aplicand teorema variatiei energiei mecanice avem ca:

Aici W_Ff este lucrul mecanic al fortei de frecare iar W_F este lucrul mecanic al fortei externe care trage corpul pe plan.

(1.54)

Aplicand (1.52) vom avea deci

si deci

(1.55)

Putem aborda aceeasi problema folosind de exemplu teorema variatiei energiei cinetice. Conform cu acesta :

(1.56)

Aici:

W_F - lucrul mecanic al fortei externe

W_Ff - lucrul mecanic al fortei de frecare

W_N - lucrul mecanic al reactiunii planului

W_G - lucrul mecanic al greutatii

Se vede ca:

si deci

de unde se observa ca se va obtinre acelasi rezultat ca si cel din (1.55).

Putem trata miscarea aceasta folosind legea fundamntala a dinamicii, care ne spune ca

de unde

(1.57)

Aplicand ecuatia lui Galilei:

se obtine:

rezultatul identic din nou cu cel din (1.55).

Din cele discutate mai sus se poate vedea ca indiferent de modul  de abordare a unei probleme, rezultatele sunt aceleasi daca se aplica corect teoremele de variatie si conservare a energiei. Abordarea din punct de vedere energetic a problemelor din mecanica este recomandata mai ales atunci cand avem de-a face cu forte care nu sunt constante (depind de distanta, de timp, de viteza, etc).