Creeaza.com - informatii profesionale despre


Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Algebre libere

Algebre libere



Algebre libere

Fie K o clasa de algebre de acelasi tip t

Definitia 1. O algebra A de acelasi tip t se zice libera pentru K daca exista o multime X A astfel incat

i) [X] = A.

ii) Daca B I K si f : X B este o functie, atunci exista un morfism  f : A B astfel incat f este restrictia lui f la X ( adica f X = f ).



In acest caz vom spune ca multimea X genereaza liber pe A (sau ca A este libera pentru K peste X) iar elementele lui X se vor zice generatori liberi ai lui A.

Sa notam faptul ca morfismul fdin ii) daca exista el este unic cu proprietatea respectiva astfel ca pentru orice B I K avem:

Lema 2. Exista o corespondenta bijectiva intre Hom (A, B) si B

Lema 3. Daca A este libera pentru K, atunci A este libera si pentru HSP(K).

Demonstratie: Este suficient sa demonstram ca daca A este libera pentru K, atunci A este libera pentru H(K), S(K) si P(K). Sa probam lucrul acesta de exemplu pentru H(K) (pentru celelalte facandu-se analog).

Fie deci B I H (K) si f : X B o aplicatie. Cum BIH(K) exista C I K si un morfism surjectiv s C B (exista deci si o aplicatie s : B C astfel incat ss = 1B).

X A

f f f′

s

B C

s

Cum A este libera pentru K, [X]=A si exista un unic morfism f′:A C a.i f′ x = s′f. Atunci notand f = sf′, f x = f (deoarece pentru xIX, f(x) = s(f′(x))= =s(s′(f (x))) = ss′(f (x)) = f(x)).g

Lema 4. Daca Ai   este libera pentru K peste Xi (i=1,2)si X1 X2 , atunci A1 A2.

Demonstratie: Fie f : X1 X2 o bijectie. Exista atunci morfismele  f: A1 A2 si f:A2 A1 astfel incat f = f si f = f.Observam ca f f extinde pe f f =1 si cum si 1A extinde pe 1 deducem ca f f =1A .

Analog f f=1A, adica A1 A2 . g

O algebra A libera pentru K este determinata pana la un izomorfism de cardinalul oricarei multimi de generatori liberi. De aceea, pentru un cardinal a, vom nota prin FK(a) una din algebrele izomorfe din K ce are o multime de generatori liberi de cardinal a (sau prin FK (X) daca multimea X cu X a este specificata).

Propozitia 5. Fie K o clasa de algebre de acelasi tip t, A o algebra de acelasi tip t si congruenta Q (K) definita prin Q(K) =

Daca A este libera pentru K peste X, atunci = A Q ( K ) este libera pentru K peste = iar I SP (K).

Demonstratie: I SP (K).

Daca p : A A Q(K) = este morfismul bijectiv canonic, atunci p(X) = este in mod evident o multime de generatori pentru .

Pentru a verifica proprietatea de prelungire, fie B I K si f : B o aplicatie. Vom nota cu singurul morfism de la A la B ce extinde aplicatia f p : X B

Atunci A Ker ( ) ( A ) B, adica Q ( K ) Ker . Conform celei de a doua teoreme de izomorfism, exista un morfism : B astfel incat p = . Acesta este morfismul cautat (adica = f) deoarece pentru x = x Q (K) I ( cu x I X ) avem () =( p(x ) ) == f ( p(x ) ) =f (). g

Fie A o algebra de tip t iar a un ordinal.

Definitia

i) Proiectiile pg : Aa A sunt polinoame de grad a peste A pentru orice g < a

ii) Daca q1, q2, , qnsunt polinoame de grad a peste A, atunci si  fi(q1, , qn) : Aa A, fi (q1, , qn) (a) = fi (q1 (a), , qn(a)) pentru a I Aa este polinom de grad a peste A (1 i t

iii) Polinoamele de grad a peste A sunt numai acelea ce se obtin printr-un numar finit de aplicari a lui i) sau ii).

Definitia 7.

i) Simbolurile (xg g<a sunt simboluri polinomiale de grad a si pentru orice algebra A de tip t acestea induc polinoame de grad a g<a

ii) Daca q1, , qn sunt simboluri polinomiale care induc polinoame de grad a q1, , qn pe A, atunci fi (q1, , qn) este un simbol polinomial de grad a si induce polinomul de grad a fi (q1, , qn) pe A.

iii) Simbolurile polinomiale de grad a pe A sunt numai acelea ce se obtin printr-un numar finit de aplicari ale lui i) si ii).

In practica se inlocuiesc x0, x1, x2   prin x, y, z si se omite ' . ' de la polinoame sau de la simbolurile polinomiale ori de cate ori este posibil.

Polinomul p de pe o algebra A indus de un simbol polinomial p este unic determinat.

Definitia 8. Pentru oricare doua simboluri polinomiale q si r de grad a (peste algebre de tip t) simbolul q = r se zice identitate care este satisfacuta in clasa K (de algebre de tip t) daca pentru orice algebra A I K polinoamele induse q si r de pe A sunt identice.

In particular daca K = vom zice ca A satisface identitatea q = r.

Teorema 9. Fie A, B algebre de tip t, q un simbol polinomial de grad a iar f : A B un morfism de algebre de tip t

Atunci pentru orice u I Aa, f u I Ba iar f (q (u)) = q (f u).

Demonstratie: La inceput sa presupunem ca q = . Atunci xg induce proiectia de ordin g de pe A si B si avem: f (pg(u) = f (u (g)) = (f u) (g =pg (f u).

Fie acum a i t) si q1, , qn simboluri polinomiale pentru care enuntul este adevarat.

Atunci pentru u I Aa : f (fi(q1, , qn(u)) = f (fi (q1(u), , qn(u))) = = fi(f (q1(u), , f (qn(u))) = fi (qi (f u), , qn(u))) = fi (q1, , qn) (f u). g



Lema 10. Fie (Ai)iII o familie de algebre de tip t si q un simbol polinomial ce induce qi pe Ai pentru fiecare i I I. Atunci polinomul indus pe Ai de q este functia q : (Ai)a Ai astfel incat pentru a I (Ai)a si ai I (Ai)a definit de  ai(g) = (a(g)) (i) avem (q (a)) (i) = qi (ai) pentru orice i I I.

Demonstratie: xg induce ( pg ) Ai pe Ai deci (q (a)) (i) = (pg)Ai (ai) = ai (g) = (a (g)) (i), adica q (a) = a (g), deci q = pg

Presupunem ca pentru j = 1, 2, , ni, qi induce qjk pe Ak pentru fiecare k I I si induce qj peAk definit pe qj : (Ak)a Ak, unde pentru fiecare a I (Ak)a si ak I (Ak)a este definit pe ak (g) = (a (g)) (k), (qj (a)) (k) = qjk (ak). Atunci polinomul de pe Ak indus de fi (q1, , qn) este definit prin ((fi (q1, , qn)) (a)) (k) = (fi (q1(a),, qn (a))) (k) = fi q1k (ak), , qnk (ak)) = (fi (q1k, , qnk)) (ak), unde ak I (Ak)a ak(g) = (a(g) (k)).g

Corolar 11. Daca orice algebra dintr-o clasa K satisface o identitate va fi satisfacuta de orice algebra din varietatea generata de K.

Demonstratie: Daca (Ai)iII este o familie de algebre din K iar q1 = q2 este o identitate astfel incat pentru orice i I I, Ai satisface identitatea q1 = q2 atunci tinand cont de cele stabilite in lema precedenta, deducem ca Ai satisface q1 = q2 astfel ca orice algebra din P (K) va satisface identitatea q1 = q2. Analog se demonstreaza ca orice algebra din H(S(P(K))) satisface identitatea q1 = q2.g

Corolar 12. Daca toate algebrele subdirect-ireductibile ale unei varietati K satisfac o identitate, atunci acea identitate este satisfacuta de orice algebra din K. g

Fie acum t un tip de similitudine si a > 0 un ordinal.

Prin algebra Pa t) a simbolurilor polinomiale de grad a si tip t intelegem algebra ce are ca multime subiacenta multimea tuturor simbolurilor polinomiale de grad a si tip t pe care definim operatiile fundamentale fi prin : fi (q1, , qn) = =fi (q1, , qn ) pentru orice 1 i t

Lema 13. Fie A o algebra de tip t si i I Aa. Atunci [] = =.

Demonstratie: Fie T = .

Atunci, pentru orice g < a, s (g) = Pg (s), deci T.

De asemenea, daca 1 i t) si q1, , qn sunt simboluri polinomiale de grad a si tip t, atunci fi (q1 (s), , qn (s)) = fi (q1, , qn) (s) I T astfel ca T este o subalgebra a lui A ce contine si cum orice algebra a lui A ce contine contine de asemenea si pe T, deducem ca [ = t.g

Lema 14. Daca A este o algebra de tip t si A = [] unde a I Aa, atunci exista qa I Con (Pa t)) astfel incat Pa t qa A.

Demonstratie: Definim f: Pa t A prin f(q) = q(a). Deoarece pentru orice 1 i t), f (fi (q1, , qn)) = f (fi (q1, , qn)) = fi (q1, , qn)) (a) = fi (qi (a), , qn (a)) =fi (f (q1), , f (qm)) deducem ca f este morfism de algebre de tip t

Pentru u I A exista q astfel incat q (a) = u si astfel f (q) = q (a) = u.

Pa t Ker f A ( deci vom considera qa = Ker f I Con (Pa t g

Lema 15. Fie A si B algebre de tip t, a I Aa, b I Ba

Atunci exista un morfism f : [] B astfel incat f a = b daca si numai daca pentru oricare doua simboluri polinomiale q1, q2, q1 (a) = q2(a) T q1(b) = =q2(b).

Demonstratie: T' . Deoarece a I a, atunci avem q1 (b) = =q1 (f a) = f(q1 (a)) = f (q2 (a)) = q2 (f a) = q2 (b).

' '. Definim f : [] B prin f (q (a)) = q (b) pentru orice  q I Pa t). f este corect definita.

De asemenea, (f a) = f (a (g)) = f (Pg (a)) = Pg (b) = b (g), deci f a = b. Deoarece pentru orice 1 i t), f (fi (q1 (a), , qn(a))) = f (fi (q1, , qn) (a)) = =(fi (q1, , qn)) (b) = fi (q1 (b), , qn (b)) = fi(f (q1 (a), , f (qn(a)) pentru oricare q1, , qn I Pa t) deducem ca f este si morfism.g

Teorema 1 Daca K este o varietate netriviala, atunci FK (a) exista pentru orice cardinal a > 0.

Demonstratie: Fie S = {a I Aa A I K, A = []} si pentru fiecare a I S, qa I Con (Pa t

Cum K este varietate, deducem ca B = (Pa t qa I K.

Pentru fiecare g < a fie xg I B definit prin xg (a) = xg qa

Atunci subalgebra C a lui B generata de apartine lui K si aratam ca (xg g<a sunt distincte. Sa presupunem prin absurd ca exista g g < a g g astfel incat xg= xg. Cum K este netriviala, exista o algebra in K ce contine elementele distincte u1 si u2. Astfel, exista a0 I a astfel incat a0 (g )= u1 si a0 (g ) = u2. Insa  [] I K si [] = [], adica a0 I S. xg = xg T xg (a0) = xg(a0) T xg qa = xg qa T (xg, xg I qa T Pg(a0) = Pg(a0) T u1 = a0 (g )= = Pg(a0) = Pg(a0) = a0 (g ) = u2 – absurd, deci a


Sa aratam acum ca genereaza liber pe C pentru orice g < a

Pentru AIK si aIAa este suficient sa aratam ca exista un morfism g : C A astfel incat g (xg) = a (g) pentru orice g < a

Daca definim x I a definit prin x (g) = xg pentru g < a atunci avem x I a definit prin x (g) = xg pentru g < a si ya I a definit prin ya(g ) = xg (a) pentru orice g < a.

Daca q1 si q2 I Pa t) si q1 (x) = q2 (x), atunci q1 (a) = q2 (a). Intr-adevar, pentru fiecare g < a, ya (g) = xg (a) = xg qa pq(xg) = (pq x) (g), adica ya=pq x.  (qi (x)) (a) = qi (ya) pentru i = 1, 2, deci q1 (x) = q2 (x) T q1 (ya) = q2 (ya) T q1 (pq x) = q2 (pq x). Atunci avem pq(q1 (x)) = p q(q2 (x)).

Dar q1 (a) = q2 (a). Atunci deducem existenta unui morfism f : [] = =C A astfel incat f x = a, adica f (xg) = a (g) pentru fiecare g < a g

Teorema 17. (Birkhoff). O clasa de algebre K este varietate daca si numai daca exista o multime W de identitati astfel incat K este exact clasa algebrelor ce satisfac toate identitatile din W

Demonstratie: '. Totul rezulta din aceea ca identitatile sunt pastrate atunci cand trecem la imagini homomorfice, subalgebre si produse directe.

Astfel, algebrele formate in acest mod plecand de la algebre din K trebuie sa satisfaca toate identitatile din W si conform ipotezei trebuie sa faca parte din K.

' T '. Fie W multimea tuturor identitatilor ce sunt satisfacute de orice algebra din K.

Deoarece orice algebra din K satisface toate identitatile din W, mai avem de aratat ca daca algebra A verifica toate identitatile din W, atunci A I K.

Pentru aceasta sa presupun ca A a si sa consideram algebra libera FK (a) Daca a = 0, atunci in mod evident A I K.

Pentru o multime de generatori liberi ai lui FK(a) si =A.

Daca q1 q2 sunt din Pa t) si q1 (x) = q2 (x) pentru x I (FK (a a cu x ( g ) = xg , atunci (deoarece genereaza liber pe FK (a)) polinoamele induse de q1 si q2 sunt identice pentru orice algebra din K, deci q1 = q2 I W

Astfel A satisface identitatea q1 = q2. Atunci exista un morfism surjectiv de la FK(a) la A.

Insa H (K) K si FK a I K, deci A I K g

Corolar 18. Fie K o clasa de algebre de acelasi tip t si W o multime de identitati care sunt satisfacute de orice algebra din K.

Atunci o algebra A face parte din varietatea generata de K dacaa si numai daca A satisface orice identitate din W

Demonstratie: Fie K1 varietatea generata de K si W multimea identitatilor ce sunt satisfacute de orice algebra din K1.

Cum K K T W W

T '. Fie A I K1; A satisface orice identitate din W

'. Fie A K1; exista o identitate p = q in W ce nu este satisfacuta de A. Insa W W deci p = q I W si A nu satisface p = q – absurd!g








Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE Clasa: I Matematica - Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 30, fara trecere peste ordin
 Proiect didactic Grupa: mijlocie - Consolidarea mersului in echilibru pe o linie trasata pe sol (30 cm)
 Redresor electronic automat pentru incarcarea bateriilor auto - proiect atestat
 Proiectarea instalatiilor de alimentare ale motoarelor cu aprindere prin scanteie cu carburator

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 Proiect diploma Finante Banci - REALIZAREA INSPECTIEI FISCALE LA O SOCIETATE COMERCIALA
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 CONTABILITATEA FINANCIARA TESTE GRILA LICENTA
 LUCRARE DE LICENTA - FACULTATEA DE EDUCATIE FIZICA SI SPORT
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 Proiect atestat informatica- Tehnician operator tehnica de calcul - Unitati de Stocare
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia




Procese stochastice
MATRICE
Masuratori directe - evaluarea preciziei rezultatului masuratorii
Ecuatiile lui Maxwell
Regula lui Cramer
Descrierea matematica a semnalelor continue deterministe
Adunarea cu 1 - Test de evaluare
ASUPRA UNUI CRITERIU DE IREDUCTIBILITATE IN INELUL POLINOAMELOR


Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu