PROPRIETATILE FUNCTIILOR DERIVABILE

I.  1. PUNCTE DE EXTREM ALE UNEI FUNCTII

Definitie: Un punct se numeste punct de maxim local al functiei daca exista o vecinatate a lui , in care functia are valori mai mici decat in , adica ,

Definitie: Un punct se numeste punct de minim local al functiei daca exista o vecinatate a lui , in care functia are valori mai mari decat in , adica , .

Definitie: Un punct de minim local sau maxim local pentru o functie se numeste punct de extrem local al functiei.

I.  2. TEOREMA LUI FERMAT

Fie , interval iar un punct de extrem din interiorul intervalului. Daca functia este derivabila in , atunci

Observatie Teorema lui Fermat afirma ca punctele de extrem local ale unei functii derivabile sunt printre punctele critice, adica punctele de extrem local ale lui sunt printre solutiile ecuatiei

I.  3. TEOREMA LUI ROLLE

Fie o functie . Daca continua pe derivabila pe si atunci exista cel putin un punct in care

Lema: Fie , continua pe derivabila pe si ( si sunt radacini pentru ). Exista cel putin un punct astfel incat

I.  4. SIRUL LUI ROLLE

Lema , o functie derivabila pe un interval . Intre doua radacini   ( zerouri ) consecutive ale derivatei se afla cel mult o radacina a ecuatiei .

Etapele formarii sirului lui Rolle:

Precizam intervalul de studiu al ecuatiei , functia , presupusa derivabila.

Rezolvam ecuatia si aranjam in ordine crescatoare radacinile reale ( din ) ale acestei ecuatii: .

Calculam valoarea functiei in aceste puncte, la care adaugam limitele lui , notate cu si . Obtinem valorile: .

Sirul lui Rolle este sirul semnelor acestor valori.

Concluzii privind numarul de radacini reale ale ecuatiei si intervalele in care sunt plasate.

Cazuri

a)     Daca apar doua semne alaturate identice, adica pentru avem , , fie , , atunci in intervalul nu exista radacini reale ale ecuatiei .

b)     Daca apar doua semne alaturate diferite, de exemplu, atunci conform lemei si proprietatii lui Darboux pe care o au functiile continue, exista cel mult si cel putin o radacina in intervalul , adica are exact o radacina in

I.  4. TEOREMA LUI LAGRANGE

Fie o functie

Daca este continua pe si derivabila pe atunci cel putin un punct , astfel incat: .

Interpretarea geometrica

I.  5. CONSECINTE ALE TEOREMEI LUI LAGRANGE

Daca este derivabila pe si , atunci este constanta pe

Daca functiile sunt derivabile pe si , , atunci si difera printr-o constanta pe

Monotonia functiilor - Fie functia derivabila pe . Daca pe ( respectiv ) atunci functia este monoton crescatoare pe (respectiv monoton descrescatoare).

Observatii

Pentru a determina intervalele de monotonie ale unei functii derivabile se procedeaza astfel:

a)         se calculeaza derivata a functiei ;

b)        se rezolva ( in ) ecuatia , ;

c)         se determina intervalele in care pastreaza acelasi semn

d)        se tine seama de consecinta c) ( mai sus ) si se stabilesc intervalele de monotonie.

I.  6. DERIVATA UNEI FUNCTII INTR-UN PUNCT

Fie , interval si .

Daca: este continua in si este derivabila pe si atunci are derivata in si

Daca , atunci este derivabila in si

I.  7. TEOREMA LUI CAUCHY

Fie doua functii cu proprietatile:

sunt continue pe .

sunt derivabile pe

,

Atunci si cel putin un punct astfel incat sa avem ( formula lui Cauchy ).

I.  8. TEOREMA LUI DARBOUX

Fie . Daca este o functie derivabila pe un interval , atunci derivata are proprietatea lui Darboux pe , adica , si sau , astfel incat .

Corolar

Fie , derivabila. Daca ia valori de semne contrare in doua puncte din , atunci se anuleaza cel putin intr-un punct cuprins intre si

Daca derivata nu se anuleaza pe un interval atunci derivata pastreaza acelasi semn pe

I.  9. FORMULA LUI TAYLOR

Pentru polinoame ( grad si fixat )

, fixat

Pentru functii derivabile de ori intr-o vecinatate

I. 10. REGULA LUI L'HOSPITAL

Calcularea formelor de nedeterminare in cazul limitelor

Observatii: Pentru calculul limitelor de functii se recomanda combinarea metodelor elementelor cu regula lui l'Hospital.

Cazul : Fie doua functii, , , atunci:

Cazul : Fie doua functii derivabile pe , atunci:

Cazul : Fie doua functii derivabile pe , atunci:

Cazul : Fie doua functii derivabile pe , atunci:

Cazul : Fie doua functii derivabile pe atunci:

I.11. ROLUL CELEI DE-A DOUA DERIVATE IN STUDIUL FUNCTIILOR

Recomandam parcurgerea etapelor:

Se calculeaza

Se rezolva ecuatia

Cu ajutorul radacinilor derivatei a doua se determina intervalele pe care derivata a doua pastreaza acelasi semn.

Daca pe un interval, atunci este convexa pe acest interval, iar daca atunci este concava.

" convexa "  " concava "

Conditia suficienta pentru ca un punct al domeniului sa fie punct de

inflexiune:

I.  12. ASIMPTOTE

a)     Asimptotele verticale

Definitie: Fie , , punct de acumulare pentru . Se spune ca este asimptota verticala a lui daca sau cu mai mare sau mai mica ca .

b)     Asimptotele oblice (orizontale)

Fie

Observatii

1. Daca si finit atunci asimptota orizontala la
2. Daca si finit atunci asimptota orizontala la

II.  GRAFICE DE FUNCTII - REPREZENTAREA GRAFICA A

FUNCTIILOR

ETAPE

I.      Stabilim domeniul maxim de definitie

Determinam perioada functiei: , = perioada

Determinam paritatea sau imparitatea functiei:

- este para, simetric in raport cu axa

- este impara, simetric in raport cu prima bisectoare

Determinam intersectiile cu axele de coordonate:

- - Daca atunci calculam unde

- - Rezolvam ecuatia ,

Calculam valorile sau limitele lui la capetele intervalului lui .

II. Derivata intai

Calculam .

Rezolvam ecuatia . Solutiile sunt eventual puncte de maxim sau minim.

Se calculeaza .

Stabilim semnul lui pe intervale.

Stabilim multimea punctelor in care este derivabila si se precizeaza natura punctelor in care nu este derivabila ( unghiulare, de intoarcere ).

III.          Derivata a doua

Calculam

Rezolvam ecuatia Solutiile sunt eventual puncte de maxim sau minim

Calculam

Stabilim semnul lui pe intervale

Stabilim forma graficului pe interval ( convex daca si concav daca )

IV. Asimptote

verticale

oblice

orizontale

Observatie: Asimptotele oblice si orizontale se exclud reciproc.

5. Tabelul de variatie

Prima rubrica are domeniul de definitie in care sunt trecute valorile

A doua rubrica contine semnul primei derivate

In a treia rubrica se trec valorile corespunzatoare ale functiei limitele functiei la capetele intervalului din ; sagetile care marcheaza monotonia functiei.

Rubrica a patra contine semnul celei de-a doua derivate si numarul 0 daca avem sau

Observatie: In cazul dificultatilor de calcul pentru sau in rezolvarea ecuatiei aceasta rubrica se omite.

6. Trasarea graficului

Intr-un sistem cartezian se marcheaza prin linii punctate asimptotele dupa care se vor trece toate punctele Aceste puncte se unesc printr-o curba continua, tinand seama de asimptote, monotonie, convexitate concavitate, etc.