Filtre de netezire neliniare - Filtrul median, Filtre adaptive,

Filtre de netezire neliniare  

1. Filtrul median

Metodele de netezire liniare functioneaza bine in regiunile de imagine netede, afectate de zgomot cu distributie gaussiana, dar au probleme in prezenta zgomotului in impulsuri, de tipul produs de erorile introduse de canale de comunicatie digitala afectate de perturbatii. Un asemenea zgomot se caracterizeaza prin faptul ca pixelii afectati sunt relativ distantati spatial, dar amplitudinea erorii este mare, valoarea pixelului afectat de zgomot parand sa nu mai aiba vreo legatura cu valoarea corecta. Acest tip de zgomot mai este denumit zgomot de canal sau zgomot de tip sare si piper, de la aspectul produs in imagine (Fig. 6.6 a).

a)

b)

c)

d)

Fig.6. 6. Imagine cu zgomot binar: a) imaginea cu zgomot, b) filtru median 5 5, c) filtru uniform 5 5, d) filtru binomial 5 5

Filtrele liniare cu mediere sau cu mediere ponderata, vezi Fig. 6.6. c) si d), au o eficacitate modesta in prezenta unui asemenea zgomot. Prin mediere, impulsurile scad in intensitate, dar se redistribuie pe suprafata mai mare, vizibilitatea lor fiind putin influentata favorabil de opera'ia de filtrare liniara. Concomitent, se manifesta si efectul nefavorabil al filtrelor liniare, de estompare a contururilor. Atat zgomotul binar cat si contururile violeaza flagrant ipotezele de optimalitate pentru filtrele liniare. Prin comparatie, filtrul median 5 5 (Fig. 6.6 b), elimina aproape integral zgomotul binar si in acelasi timp afecteaza mai putin redarea contururilor.

Filtrul median este un operator neliniar, ce inlocuieste fiecare pixel cu mediana pixelilor aflati intr-o fereastra centrata in jurul acestuia. Mediana unui sir de numere reprezinta elementul aflat la mijlocul sirului, dupa ordonarea lui. Prin ordonare, vom intelege in general ordonarea in sensul crescator, desi acest aspect este neimportant din punctul de vedere al definitiei medianei. Schema bloc a procedeului de prelucrare pentru un pixel de iesire este redata in fig.6.7. Vom nota cu f₁, f₂, , f_N pixelii din fereastra si cu f₍₁₎, f₍₂₎, , f_(N) pixelii din sirul ordonat. Rezultatul prelucrarii este f_(m) , cu proprietatea: m = (N + 1) / 2. De mentionat ca numarul elementelor din fereastra, N, se alege impar, astfel ca m sa fie un numar intreg .

Fig. 6.7 Schema-bloc a filtrului median

Un exemplu de calcul pentru un filtru median cu fereastra patrata de 3 3 pixeli se da in Fig. 6.8.

Fig. 6.8. Exemplu de calcul al medianei intr-o fereastra patrata 3 3

Proprietati ale filtrului median

Neliniaritate

Selectia este o operatie neliniara. Astfel,

mediana mediana + mediana.                   (6.23)

Totusi,

mediana = c mediana, (6.24)

mediana = c + mediana.       (6.25)

Efectul asupra mediei

Mediana modifica media imaginii, daca distributia intensitatii este nesimetrica.

Optimalitate

Asemenea filtrului de mediere aritmetica, filtrul median poseda o anumita proprietate de optimalitate, in sensul ca furnizeaza o estimare de eroare minima a intensitatii dintr-o fereastra cu un nivel constant. In acest caz insa, eroarea minimizata este definita prin suma abaterilor in modul fata de nivelul estimat:

(6.26)

Pentru a demonstra acest fapt, grupam termenii sumei in mod convenabil:

(6.27)

Sa presupunem ca selectam la iesirea filtrului un element diferit de mediana, de exemplu f_{(m 1)}. Eroarea devine:

(6.28)

Continuand rationamentul, obtinem pentru orice selectie a unui rang q mai mic decat m,

(6.29)

deci eroarea este mai mare decat la mediana. Similar se arata ca eroarea este mai mare pentru oricare q>m.

Aceasta proprietate a filtrului median, de a minimiza suma distantelor la restul esantioanelor din ferestra, poate servi si ca definitie mai generala a filtrului median, valabila si pentru date vectoriale, de exemplu imagini color. Prin aplicarea independenta a filtrului median asupra componentelor color (de exemplu R,G,B) nu se mai garanteaza selectia medianei pentru cele trei componente de la acelasi esantion din fereastra, putand rezulta culor false, mai ales la zonele de tranzitie dintre obiecte.

Rejectia zgomotului

Asa cum s-a mentionat deja, filtrul median este deosebit de eficient in rejectia zgomotului binar. Sa presupunem ca intr-o zona cu nivelul de gri constant se injecteaza un zgomot contand in impulsuri, de mare amplitudine. Cat timp proportia pixelilor afectati de zgomot este sub 50% in fereastra de filtrare, filtrul median reconstituie semnalul perfect, ca si cum zgomotul nu ar fi existat! Pe de alta parte, filtrul median are performante mediocre in prezenta zgomotului gaussian, pentru care filtrele liniare sunt mai bine adaptate.

Efectul asupra muchiilor

Filtrul median pastreaza muchiile mult mai bine decit filtrele de netezire liniare. O muchie trepta  este redata perfect, pentru ca filtrul median nu mediaza ci selecteaza un anumit pixel din fereastra. Filtrul median pastreaza rampele de luminanta.

Efectul asupra punctelor, colturilor si a liniilor subtiri

O proprietate uneori mai putin favorabila a filtrului median este aceea ca el sterge punctele izolate, colturile, liniile subtiri, si alte detalii de dimensiuni reduse in comparatie cu fereastra de filtrare. Cateva exemple concludente sunt ilustrate in Fig. 6.9.

Aplicare repetata

Filtrul median poate fi aplicat in mod repetat, rezultand o netezire mai pronuntata. Dupa un numar de iteratii, iesirea tinde sa se stabilizeze, desi acest lucru nu se intimpla in mod necesar.

Filtrul median separabil

Aplicarea succesiva a unui filtru median cu fereastra orizontala si a unuia cu fereastra verticala definesc filtrul median separabil. Filtrul separabil nu este echivalent cu un filtru cu fereastra rectangulara, dar are performante apropiate. Avantajul filtrului separabil consta in reducerea numarului de operatii. Castigul este mai mare decat la filtrele liniare, pentru ca numarul mediu de comparatii creste patratic cu numarul elementelor din fereastra.

Fig.6.9. Efectul filtrului median cu fereastra patrata 3 3 asupra unor imagini-test

Unele din deficientele exemplificate pot fi remediate prin utilizarea unei ferestre in forma de cruce (Fig. 6.10).

Fig. 6.10. Rezultatul prelucrarii imaginilor-test din Fig. 4.10, cu filtrul median cu fereastra in forma de cruce, cu 9 elemente

Variante ale filtrului median

Filtrul median ponderat sau mediana cu repetitii se defineste cu ajutorul unei masti cu ponderi, asemanator filtrelor liniare. Ponderea fiecarui pixel indica de cite ori se repeta acel pixel pentru a fi introdus in sirul ordonat. Procedeul permite sa li se acorde pixelilor o importanta dependenta de pozitia lor in fereastra. In general, pixelii centrali vor fi ponderati mai puternic. De mentionat ca ponderile pot fi si numere neintregi. Mediana se obtine pornind de la o extrema a sirului ordonat si insumand ponderile aferente esantioanelor sirului pana cand se cumuleaza jumatate din suma totala a ponderilor acordate. Un exemplu se da in Fig. 6.12. Filtrul median cu repetitii pastreaza contururile mai bine decat filtrul median conventional. In acelasi timp, eficienta lui in eliminarea zgomotului binar este diminuata.

Fig. 4.15. Filtrul median ponderat

Filtrul median multiplu este conceput in ideea detectiei si pastrarii structurilor locale coerente, de tipul liniilor subtiri sau al curbelor, concomitent cu rejectia energica a zgomotului in impulsuri (Fig.6.13).

Raspunsul filtrului este mediana medianelor celor patru regiuni si a pixelului central.

Filtre L

Filtrul median este un caz particular al filtrelor cu ordonare. Caracteristic acestor filtre este faptul ca opereaza asupra esantioanelor semnalului cuprinse intr-o fereastra, dupa o ordonare prealabila. O clasa generala de filtre cu ordonare o reprezinta filtrele de tip L, denumite astfel dupa estimatorii de tip L, cunoscuti in statistica. Schema-bloc a unui filtru L este redata in Fig.6.14.

Fig. 6.13. Filtru median multiplu

Fig. 6.14. Schema-bloc a filtrelor L, cu ordonare.

Prima etapa de prelucrare realizeaza ordonarea elementelor de imagine din fereastra. In faza urmatoare, fiecare element din sirul ordonat f_(i), este multiplicat cu un coeficient care pondereaza importanta lui, in functie de pozitia in sir. Ne reamintim ca, la filtrul median cu repetitii, ponderile se aloca in functie de pozitia pixelului in fereastra de filtrare, nu in sirul ordonat. Stabilind cate un singur coeficient diferit de zero, obtinem diferite versiuni ale filtrelor procentila. Cateva cazuri particulare importante ale filtrelor de tip L sunt redate sintetic in Fig. 6.15.

Filtrul mid range calculeaza media extremelor. Este interesant sa aratam ca, asemenea filtrului de mediere aritmetica si a filtrului median, media extremelor este un estimator ce aproximeaza cu eroare minima nivelul de gri din fereastra cu un nivel constant. Vom da erorii o definitie mai generala:

Fig. 6.15. Filtre L elementare.

(6.30)

Pentru r = 1, regasim ca estimatorul optimal este mediana.

Pentru r = 2, regasim ca estimatorul optimal este media aritmetica.

Pentru r estimatorul optimal este media extremelor.

Putem demonstra acest lucru, grupand termenii erorii ca la filtrul median:

(6.31)

Cand r , suma este dominata de termenul k =1, care, prin ridicare la o putere infinita face neglijabila contributia celorlalti termeni. Putem aproxima deci

(6.32)

Evident, expresia de mai sus este minimizata de media extremelor,

. (6.33)

Media in jurul medianei este un alt caz particular interesant al filtrului L, la care:

(6.34)

Procentul pixelilor din fereastra ordonata care se utilizeaza, a = (2Q + 1) / N, defineste gradul de mediere. Filtrul prezinta proprietati intermediare intre filtrele cu mediere si filtrul median. Pentru a = 1 se obtine media aritmetica, in timp ce valoarea a = 1 / N corespunde medianei.

3. Filtre adaptive

Filtrele adaptive folosesc coeficienti de ponderare, a_k, variabili. Valorile coeficientilor se aleg "adaptiv", in functie de proprietati locale ale datelor din fereastra, estimate intr-un anumit mod. Media, dispersia sau relatia dintre valorile unor esantioane din setul ordonat pot constitui indicii pentru adaptarea coeficientilor.

Media in jurul medianei devine un filtru adaptiv cu ordonare statistica daca a se alege adaptiv. Daca s are valori reduse, este probabil sa ne gasim pe un platou de gri cu zgomot gaussian. Filtrul optim este cel de mediere, deci a 1. Daca s are valori ridicate, poate fi o zona de muchie sau sa existe zgomot binar. In acest caz, filtrul median este preferabil, cu a = 1 / N. O varianta adaptiva a mediei in jurul medianei defineste coeficientii filtrului in forma:

(6.35)

Practic, putem alege p = 3s in absenta unor criterii de optimizare mai precis enuntate

Media adaptata in functie de modulul diferentelor se defineste cu ajutorul ecuatiei (6.35) unde:

p = mediana,  k = 1,2,,N. (6.36)

Acest filtru calculeaza media esantioanelor ce difera in modul fata de mediana cu o valoare mai mica decat mediana diferentelor in modul. Mediana diferentelor in modul fata de median este un estimator robust al dispersiei, fiind adesea adoptat in aplicatii de vedere artificial.

Mediana kNN (k nearest neighbour) selecteaza in fereastra esantioanele, in numar de k, cele mai apropiate ca valoare de pixelul central al ferestrei (neordonate). Rezultatul este mediana esantioanelor selectate. O varianta apropiata a acestui filtru (filtrul kNN) calculeaza media celor k esantioane selectate.

Filtrul adaptat sigma defineste coeficientii cu ajutorul ecuatiei

(6.37)

unde f₀ este pixelul central al ferestrei. Rezultate ale filtrului adaptat sigma cu fereastra de 7×7 pixeli si prag 32 pentru o imagine monocromatica, sunt prezentate in figura 6.16.

Fig. 6.16. Rezultate ale filtrului adaptat sigma, cu fereastra de 7×7 pixeli si prag 32, asupra unei imagini monocromatice.

Se observa eliminarea detaliilor ce contrasteaza slab, concomitent cu pastrarea celor cu contrast ridicat.

O alta versiune a filtrului adaptat sigma, cu ponderare nuantata, defineste ponderile :

(6.38)

Ideea centrala a ultimelor doua filtre este de a estima valoarea imaginii in centrul ferestrei pe baza unei regiuni omogene careia pixelul central sa-i apartina cu maxima probabilitate. Exista numeroase variante ale acestei idei, de mediere in regiuni selective, ce nu este legata de fapt de operatia de ordonare.

Filtrul propus de Kuwahara si dezvoltat ulterior de [Nagao si Matsuyama  1980] defineste un set de 8 regiuni de 7 pixeli generate prin rotirea unei masti de forma alungita in jurul unui pixel central (Fig.6.17). Pentru fiecare masca, M_i, se calculeaza media, m_i si dispersia  a pixelilor de sub masca. Rezultatul filtrarii la coordonatele pixelului este media m_i a regiunii de dispersie minima.

Medierea dependenta de gradient defineste coeficientii de mediere din fereastra proportionali cu inversul "gradientului", evaluat ca modul al diferentei fata de pixelul central:

(6.39)

Definitia normalizeaza gradientul invers la intervalul (0-2] si acorda jumatate din suma ponderilor pixelului central.

Netezirea cu extrem selecteaza elementul minim sau maxim din fereastra. Decizia se face pentru nivelul maxim daca acesta este mai apropiat de media pixelilor din fereastra decat nivelul minim. In caz contrar, minimul este nivelul selectat. In locul mediei, se poate folosi mediana. Concomitent cu netezirea, filtrul tinde sa accentueze contururile in imagine.