Creeaza.com - informatii profesionale despre


Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Transformari liniare simetrice

Transformari liniare simetrice



Transformari liniare simetrice

DEFINITIA 1. O transformare liniara F a unui spatiu euclidian in el insusi se numeste simetrica daca satisface conditia



(,F ())=(F (),), I E.

In cele ce urmeaza vom considera dim E = .

TEOREMA 1. Conditia necesara si suficienta ca transformarea liniara F I L (E, E) sa fie simetrica este ca:

i) matricea asociata ei intr-o baza ortonormata data sa fie simetrica ;

ii) produsul scalar (,F ()) sa fie real, I E.

Demonstratie. i) Fie B = (e1, e2, ,en) o baza ortonormata, adica

Consideram doi vectori si I E care, in baza B, se exprima sub forma

si respectiv .

Reamintim expresia produsului scalar

adica

(B[]B, B[]B) = []tB[]B .

Scriind relatia (5) sub forma matriceala avem

(B[]B, B M(F ; B) []B) = (B M(F ; B) []B, B[]B)

si, folosind (6), obtinem urmatoarele forme echivalente

[]tB M (F ; B) []B = (M(F ; B) []B)t[]B

[]tB M (F ; B) []B = []tB Mt (F ; B) []B

M (F ; B) = Mt (F ; B).

ii) Daca F este simetric, atunci (,F ()) = (F (),) = , unde bara orizontala de deasupra perechii de paranteze inseamna conjugatul complex. Deci (,F ()) = si (,F ()) este real, I E.

Reciproc, daca (,F ()) este real, atunci (,F ()) = = = = (F (),) si, prin urmare, F este simetric. □

TEOREMA 1.5.5. Fie E un R - spatiu vectorial, F IL (E, E) si B baza a lui E. Daca M(F ; B) I M(n, R) si M(F ; B) = Mt (F ; B), atunci toate valorile proprii, distincte sau nu, ale endomorfismului F sunt reale.

Demonstratie. Fie M(F ; B) matricea transformarii F fata de o baza ortonormata din E si ecuatia caracteristica asociata ei

det(M (F ; B) - lIn) = 0.

Cum aceasta ecuatie este de gradul n in l, ea are n radacini distincte sau nu in corpul numerelor complexe C. Fie l una din ele si []B o solutie nenula a ecuatiei vectorilor proprii (4) din §1.4.3. Consideram relatia (4) din § 1.4.3 sub forma

  M (F ; B) []B = l []B, care, conjugata complex, da

unde =M(F ; B), deoarece M(F ; B) IM(n; R). Amplificand la stanga pe (7) cu si pe (8) cu []tB , avem

M (F ; B) []B = l []B

[]Bt M (F ; B) = []Bt

Aplicam transpusa relatiei (8 ) si obtinem

M (F ; B) []B = []B ,



care, comparata cu (7 ), da

si, cum 0E , rezulta , deci I R.

TEOREMA 1.5.6. Subspatiul ortogonal unui vector propriu al unei transformari liniare simetrice F , este invariant fata de F

Demonstratie. Fie un vector propriu al lui F corespunzator valori proprii reale l , a carei existenta este asigurata de teorema precedenta si notam cu E0 subspatiul lui E ortogonal pe . Atunci pentru I E0 avem

(,F ()) = (F (),) = (l , ) = l () = 0 ,

adica si F () I E0 si, prin urmare, E0 este invariant fata de F .

TEOREMA 1.5.7. Pentru orice transformare liniara simetrica F exista o baza ortonormata in E fata de care matricea ei sa aiba forma diagonala.

Demonstratie. Fie un vector propriu unitar pentru F si subspatiul cu dimensiuni ortogonal pe , fiind invariant fata de F , restrictia F , a lui F la , este o transformare liniara de asemenea simetrica pe. Considerand un vector propriu unitar pentru F , el este propriu si pentru F si ortogonal pe . Fie apoi subspatiul cu dimensiuni ortogonal pe si . este de asemenea invariant fata de F si fie un vector propriu unitar al restrictiei F a lui F la . Vectorul este propriu si pentru F si ortogonal pe si . Continuand acest proces, dupa pasi obtinem in o baza ortonormata , formata din vectori propii pentru F . Conform T.1.4.4, matricea transformarii M(F ; B) are forma diagonala .

Din aceasta teorema rezulta

Consecinta Subspatiile proprii ale unei transformari liniare simetrice au dimensiunile egale cu ordinele de multiplicitate ale valorilor proprii corespunzatoare si sunt ortogonale doua cate doua.

Practic, pentru a reduce matricea unei transformari liniare simetrice F IL (En, En) la forma diagonala printr-o schimbare ortogonala de baza, procedam astfel:

- Consideram o baza ortonormata , fata de care matricea transformarii este M(F ; B) cu M (F ; B) = Mt (F ; B).

- Scriem ecuatia caracteristica

det (M(F ; B) - In) = 0

si gasim radacinile care, dupa cum am vazut, vor fi toate reale. Forma diagonala a matricei transformarii F va fi

M(F ; B ), cu baza B necunoscuta.

- Daca ne intereseaza si baza ortonormata B fata de care matricea M(F ; B ) are forma diagonala de mai sus, cum aceasta trebuie sa fie formata din vectori proprii, procedam in felul urmator. Consideram ecuatia vectorilor proprii

(M (F ; B) - lIn)[]B = []B

si inlocuind, pe rand, cu fiecare radacina caracteristica , determinam subspatiile proprii . Cu ajutorul procedeului Gram-Schmidt construim, pornind de la un sistem fundamental de solutii ale sistemului (M (F B) - In)[]B = []B, cate o baza ortonormata in fiecare . Cum subspatiile sunt ortogonale cate doua si suma dimensiunilor lor este , rezulta ca aceste baze vor constitui impreuna o baza ortonormata in , fata de care matricea transformarii F are forma diagonala M(F ; B





loading...




Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE CLASA: a X a EDUCATIE MUZICALA - OPERA IN GERMANIA SI RUSIA
 PROIECT DIDACTIC 3-5 ani Limba si comunicare - Strugurele, de Maria Gaitan
 Proiect instalatii electrice - Sa se proiecteze instalatia electrica si de forta a unei microintreprinderi la alegerea studentului
 PROIECT - Ingineria reglarii automate - sistemul de reglare automata a unei actionari cu motor electric

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 LUCRARE DE DIPLOMA - Rolul asistentului medical in ingrijirea pacientului cu A.V.C.
 Relatiile diplomatice dintre Romania si Austro- Ungaria din a doua jumatate a secolului al XIX-lea
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”
 Lucrare de diploma tehnologia confectiilor din piele si inlocuitor - proiectarea constructiv tehnologica a unui produs de incaltaminte tip cizma scurt

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 Lucrare de licenta contabilitate si informatica de gestiune - politici si tratamente contabile privind leasingul (ias 17). prevalenta economicului asupra juridicului
 Lucrare de licenta educatie fizica si sport - studiu asupra imbunataȚirii motricitaȚii in lectia de educatie fizica la clasele a v-a de la &
 Lucrare de licenta ecologie si protectia mediului - aspecte ecologice privind fauna de orthoptere si mantide din parcul national muntii macinului
 LUCRARE DE LICENTA - Asigurarea calitatii la firma Trans

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 PROIECT ATESTAT INFORMATICA - GESTIONAREA STOCULUI UNEI FARMACII
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 Evidenta a clientilor dar si a serviciilor in Visual Fox pro 9 - Lucrare de atestat
 Lucrare atestat Tehnician in turism - CALITATEA SERVICIILOR TURISTICE




Sisteme de ecuatii si transformari liniare. (Regula lui Cramer)
Transformari liniare simetrice
MODELAREA COMPORTARII IN FUNCTIONARE A INSTALATIILOR TEHNOLOGICE CU AJUTORUL LANTURILOR MARKOV




Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu