Creeaza.com - informatii profesionale despre


Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice
Acasa » scoala » matematica
Transformari liniare simetrice

Transformari liniare simetrice


Transformari liniare simetrice

DEFINITIA 1. O transformare liniara F a unui spatiu euclidian in el insusi se numeste simetrica daca satisface conditia



(,F ())=(F (),), I E.

In cele ce urmeaza vom considera dim E = .

TEOREMA 1. Conditia necesara si suficienta ca transformarea liniara F I L (E, E) sa fie simetrica este ca:

i) matricea asociata ei intr-o baza ortonormata data sa fie simetrica ;

ii) produsul scalar (,F ()) sa fie real, I E.

Demonstratie. i) Fie B = (e1, e2, ,en) o baza ortonormata, adica

Consideram doi vectori si I E care, in baza B, se exprima sub forma

si respectiv .

Reamintim expresia produsului scalar

adica

(B[]B, B[]B) = []tB[]B .

Scriind relatia (5) sub forma matriceala avem

(B[]B, B M(F ; B) []B) = (B M(F ; B) []B, B[]B)

si, folosind (6), obtinem urmatoarele forme echivalente

[]tB M (F ; B) []B = (M(F ; B) []B)t[]B

[]tB M (F ; B) []B = []tB Mt (F ; B) []B

M (F ; B) = Mt (F ; B).

ii) Daca F este simetric, atunci (,F ()) = (F (),) = , unde bara orizontala de deasupra perechii de paranteze inseamna conjugatul complex. Deci (,F ()) = si (,F ()) este real, I E.

Reciproc, daca (,F ()) este real, atunci (,F ()) = = = = (F (),) si, prin urmare, F este simetric. □

TEOREMA 1.5.5. Fie E un R - spatiu vectorial, F IL (E, E) si B baza a lui E. Daca M(F ; B) I M(n, R) si M(F ; B) = Mt (F ; B), atunci toate valorile proprii, distincte sau nu, ale endomorfismului F sunt reale.

Demonstratie. Fie M(F ; B) matricea transformarii F fata de o baza ortonormata din E si ecuatia caracteristica asociata ei

det(M (F ; B) - lIn) = 0.

Cum aceasta ecuatie este de gradul n in l, ea are n radacini distincte sau nu in corpul numerelor complexe C. Fie l una din ele si []B o solutie nenula a ecuatiei vectorilor proprii (4) din §1.4.3. Consideram relatia (4) din § 1.4.3 sub forma

  M (F ; B) []B = l []B, care, conjugata complex, da

unde =M(F ; B), deoarece M(F ; B) IM(n; R). Amplificand la stanga pe (7) cu si pe (8) cu []tB , avem

M (F ; B) []B = l []B

[]Bt M (F ; B) = []Bt

Aplicam transpusa relatiei (8 ) si obtinem

M (F ; B) []B = []B ,

care, comparata cu (7 ), da

si, cum 0E , rezulta , deci I R.

TEOREMA 1.5.6. Subspatiul ortogonal unui vector propriu al unei transformari liniare simetrice F , este invariant fata de F

Demonstratie. Fie un vector propriu al lui F corespunzator valori proprii reale l , a carei existenta este asigurata de teorema precedenta si notam cu E0 subspatiul lui E ortogonal pe . Atunci pentru I E0 avem

(,F ()) = (F (),) = (l , ) = l () = 0 ,

adica si F () I E0 si, prin urmare, E0 este invariant fata de F .

TEOREMA 1.5.7. Pentru orice transformare liniara simetrica F exista o baza ortonormata in E fata de care matricea ei sa aiba forma diagonala.

Demonstratie. Fie un vector propriu unitar pentru F si subspatiul cu dimensiuni ortogonal pe , fiind invariant fata de F , restrictia F , a lui F la , este o transformare liniara de asemenea simetrica pe. Considerand un vector propriu unitar pentru F , el este propriu si pentru F si ortogonal pe . Fie apoi subspatiul cu dimensiuni ortogonal pe si . este de asemenea invariant fata de F si fie un vector propriu unitar al restrictiei F a lui F la . Vectorul este propriu si pentru F si ortogonal pe si . Continuand acest proces, dupa pasi obtinem in o baza ortonormata , formata din vectori propii pentru F . Conform T.1.4.4, matricea transformarii M(F ; B) are forma diagonala .

Din aceasta teorema rezulta

Consecinta Subspatiile proprii ale unei transformari liniare simetrice au dimensiunile egale cu ordinele de multiplicitate ale valorilor proprii corespunzatoare si sunt ortogonale doua cate doua.

Practic, pentru a reduce matricea unei transformari liniare simetrice F IL (En, En) la forma diagonala printr-o schimbare ortogonala de baza, procedam astfel:

- Consideram o baza ortonormata , fata de care matricea transformarii este M(F ; B) cu M (F ; B) = Mt (F ; B).

- Scriem ecuatia caracteristica

det (M(F ; B) - In) = 0

si gasim radacinile care, dupa cum am vazut, vor fi toate reale. Forma diagonala a matricei transformarii F va fi

M(F ; B ), cu baza B necunoscuta.

- Daca ne intereseaza si baza ortonormata B fata de care matricea M(F ; B ) are forma diagonala de mai sus, cum aceasta trebuie sa fie formata din vectori proprii, procedam in felul urmator. Consideram ecuatia vectorilor proprii

(M (F ; B) - lIn)[]B = []B

si inlocuind, pe rand, cu fiecare radacina caracteristica , determinam subspatiile proprii . Cu ajutorul procedeului Gram-Schmidt construim, pornind de la un sistem fundamental de solutii ale sistemului (M (F B) - In)[]B = []B, cate o baza ortonormata in fiecare . Cum subspatiile sunt ortogonale cate doua si suma dimensiunilor lor este , rezulta ca aceste baze vor constitui impreuna o baza ortonormata in , fata de care matricea transformarii F are forma diagonala M(F ; B





Politica de confidentialitate


creeaza logo.com Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Comentarii literare

ALEXANDRU LAPUSNEANUL COMENTARIUL NUVELEI
Amintiri din copilarie de Ion Creanga comentariu
Baltagul - Mihail Sadoveanu - comentariu
BASMUL POPULAR PRASLEA CEL VOINIC SI MERELE DE AUR - comentariu

Personaje din literatura

Baltagul – caracterizarea personajelor
Caracterizare Alexandru Lapusneanul
Caracterizarea lui Gavilescu
Caracterizarea personajelor negative din basmul

Tehnica si mecanica

Cuplaje - definitii. notatii. exemple. repere istorice.
Actionare macara
Reprezentarea si cotarea filetelor

Economie

Criza financiara forteaza grupurile din industria siderurgica sa-si reduca productia si sa amane investitii
Metode de evaluare bazate pe venituri (metode de evaluare financiare)
Indicatori Macroeconomici

Geografie

Turismul pe terra
Vulcanii Și mediul
Padurile pe terra si industrializarea lemnului

Sisteme de ecuatii si transformari liniare. (Regula lui Cramer)
Transformari liniare simetrice
MODELAREA COMPORTARII IN FUNCTIONARE A INSTALATIILOR TEHNOLOGICE CU AJUTORUL LANTURILOR MARKOV

Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu