Reprezentarea secventelor de cod binar

REPREZENTAREA SECVENTELOR DE COD BINAR

Cele mai utilizate reprezentari pentru secvente de cod binar sint matriciala, vectoriala, polinomiala si geometrica.

Reprezentarea matriceala consta in scrierea intr-o matrice a tuturor cuvintelor de cod, cu exceptia aceluia cu toate componentele nule. Daca M este numarul secventelor de cod de lungime n, atunci matricea in care este cuprins intreg codul va fi:

unde pentru codurile binare .

Reprezentarea matriceala a unui cod permite o scriere compacta prin desemnarea liniilor (cuvinte de cod ) liniar independente ale codului, toate celelalte cuvinte v_i putindu-se obtine din combinatii liniare ale liniilor liniar independente .

Reprezentarea vectoriala a unui cod porneste de la faptul ca multimea tuturor cuvintelor de cod de lungime n formeaza un spatiu vectorial V_n. Fiecare secventa de cod de lungime n se reprezinta printr-un vector :

, unde pentru codurile binare

Spatiul vectorial V_n, pentru codurile binare are 2ⁿ vectori de cod formati din succesiuni de 0 si 1. O multime de vectori care au o proprietate comuna formeaza un subspatiu vectorial V_m cu m<n. O asemenea modelare matematica a unui cod permite utilizarea in studiul codurilor a proprietatilor spatiilor vectoriale numite si spatii liniare. Reamintim citeva notiuni fundamentale din teoria spatiilor vectoriale folosite in studiul codurilor liniare, ce  constituie cea mai importanta clasa de coduri utilizata in sisteme de comunicatii.

Dimensiunea spatiului vectorial este data de numarul vectorilor liniar independenti ; acestia formeaza o baza a spatiului vectorial, daca orice vector apartinind spatiului poate fi exprimat ca o combinatie liniara a vectorilor liniar independenti. Dimensiunea spatiului este determinata de numarul vectorilor liniar independenti.

Intre reprezentarea matriciala si cea vectoriala exista o strinsa legatura, liniile unei matrici putind fi vectori dintr-un spatiu vectorial.

Reprezentarea polinomiala :un cuvint de cod de lungime n : a₀,a₁,,a_n-1, poate fi reprezentat ca un polinom de grad n-1 sau mai mic, in necunoscuta x:

unde in cazul codurilor binare, iar puterea necunoscutei x are rolul de a pozitiona simbolul a_i in secventa de cod.

Reprezentarea polinomiala permite folosirea in studiul codurilor a proprietatilor structurilor algebrice construite pe multimea polinoamelor.

Reprezentarea geometrica : fiecare cuvint de cod de lungime n poate fi considerat ca un punct ce defineste virfurile unei figuri geometrice in spatiul n- dimensional. In acest caz, pentru realizarea codurilor pot fi utilizate o serie de proprietati cunoscute ale figurilor geometrice.