Ecuatiile liniilor de transmisie

Ecuatiile liniilor de transmisie

R - rezistenta lineica (pe unitatea de lungime) [W/m]

L - inductanta lineica [H/m]

C - capacitate lineica [F/m]

G - conductanta lineica [S/m=W^-1/m]

Þ

Definim constanta de propagare g

a: constanta de atenuare [m^-1]

b: constanta de faza [rad/m], [^o/m]

Ecuatia pentru tensiuni devine , cu solutia generala

, A, B: constante complexe.

Consideram primul termen . Unda corespunzatoare din domeniul timp se poate obtine dupa cum urmeaza

.

Aceasta reprezinta o unda sinusoidala atenuata care se propaga in sensul pozitiv al axei x, adica dinspre generator spre sarcina, numita unda directa sau incidenta. Sunt relevante urmatoarele marimi:

Faza . se observa ca, pentru o valoare fixa a lui t, faza descreste cu x. Sensul de propagare al unei unde sinusoidale este inspre descresterea maxima a faxei.

Perioada spatiala a cosnusului fazei este lungimea de unda l. Se observa ca aceasta este in relatie cu constanta de faza prin .

Perioada temporala este .

Viteza de faza c a unei unde este viteza cu care ar trebuie sa se miste un observator in directia de propagare pentru a vedea o valoare constanta a fazei. Avem , sau .

Constanta de atenuare se masoara in [m^-1] sau [Np/m]. În practica se prefera varianta logaritmica [dB/m] .

Similar, al doilea termen al solutiei generale este

, care reprezinta o unda ce se propaga dinspre sarcina spre generator (unda inversa sau reflectata). În domeniul timp, expresia sa este

.

se observa ca amplitudinea descreste in sens opus fata de unda directa.

Atat unda directa cat si cea inversa sunt unde calatoare. Superpozitia lor produce o unda stationara.

Din a doua ecuatie a sistemului obtinem

, unde este impedanta caracteristica a liniei.

Concluzii

Pe liniile de transmisie liniare, operate la o singura frecventa, se manifesta fenomene de propagare ale tensiunii si curentului.

Avem o pereche de unde directe si o pereche de unde inverse, atenuate, de tensiune si de curent.

Raportul amplitudinilor complexe ale undelor directe de tensiune si curent este egal cu impedanta caracteristica, in timp ce raportul amplitudinilor complexe ale undelor inverse este egal cu minus impedanta caracteristica.

Constanta de atenuare si impedanta caracteristica sunt cantitati complexe si functii de frecventa (si parametrii lineici depind in general de frecventa).

Aplicatii

Pe o linie coaxiala, cu pierderi se propaga o unda de tensiune. Într-o anumita sectiune, amplitudinea undei este de 0,5 V, iar dupa 10 m aceasta devine de 0,4 V. Sa se determine constanta de atenuare a liniei in Np/m si dB/m. Cat va fi amplitudinea dupa inca 10 m?

R

sau

sau

2. Într-un cablu coaxial, umplut cu un dielectric avand , se propaga o unda electromagnetica la frecventa de 1 GHz. Sa se determine: viteza de faza, lungimea de unda, constanta de defazare si constanta de propagare stiind ca atenuarea este 0,042 dB/m.

R

Program Matlab

%reprezinta instantanee de

%unde atenuate de tensiune pe o linie de transmisie

clear

A=2; %V amplitudinea undei directe la generator

f=1e9; %Hz - frecventa

c=2e8; %m/s - viteza de faza

lambda=c/f; %lungimea de unda

beta=2*pi/lambda; %constanta de faza

omega=2*pi*f;

T=1/f; %perioada

alpha= %constanta de atenuare

L=3; %m - lungimea liniei

t=1; %s - momentul instantaneului

phi0=pi/7; %faza initiala a undei directe

Zc=50; %ohm - impedanta caracteristica

ZL=75+j*25; %ohm - impedanta de sarcina

N=100000; %nr de puncte pentru reprezentare

Le=L/N; %pasul de esantionare spatiala

n=0:(N-1);

X=n*Le; %grila de esantionare spatiala

Ud=A*exp(-alpha*X).*cos(omega*t-beta*X+phi0);%unda directa de tensiune

gamma=(ZL-Zc)/(ZL+Zc); %coeficientul de reflexie

ag=abs(gamma);

phi=angle(gamma);

Ur=A*exp(alpha*(X-2*L)).*

cos(omega*t+beta*(X-2*L)+phi0+phi);%unda inversa de tensiune

figure(

plot(X,Ud,'b-',X,Ur,'r--'