Metoda nodului de tensiune

Metoda nodului de tensiune

Definitie

Metoda nodului de tensiune pentru analiza circuitelor determina tensiunea nodurilor in functie de ecuatiile legii lui Kirchhoff pentru curent (LKC). Aceasta analiza arata putin ciudat pentru ca necesita inlocuirea surselor de tensiune cu surse echivalente de curent. De asemenea, valorile rezistorilor in ohmi sunt inlocuite prin conductantele echivalente in Siemens, G = 1/R. Unitatea de masura pentru conductanta este Siemens-ul, S=Ω

Alegerea punctului de referinta

Incepem cu un circuit ce contine surse de tensiune conventionale. Un punct comun E₀ este ales ca si punct de referinta. Tensiunile pentru celelalte noduri, E₁ si E₂ sunt calculate in functie de acest punct.

Inlocuirea surselor de tensiune cu surse de curent

O sursa de tensiune in serie cu o rezistenta trebuie sa fie inlocuita de o sursa de curent echivalenta in paralel cu o rezistenta. Circuitul modificat arata astfel.

Scrierea ecuatiilor legii lui Kirchhoff pentru curent

Vom scrie apoi ecuatiile LKC pentru fiecare nod. Partea dreapta a ecuatiei reprezinta valoarea sursei de curent ce alimenteaza nodul respectiv:

Inlocuirea rezistentelor cu conductante

Inlocuim rezistenta rezistorilor in ohmi cu conductanta acestora in Siemens:

Aflarea conductantelor echivalente

Conductantele paralele (rezistorii) pot fi combinati prin adunarea conductantelor. Desi nu vom redesena circuitul, putem deja aplica metoda nodului de tensiune:

Formarea sistemului de ecuatii

Pentru dezvoltarea unei metode generale, vom scrie ecuatiile LKC in functie de tensiunile necunoscute ale nodurilor 1 si 2, V₁ si V₂ de aceasta data.

Pentru figura de mai sus, ecuatiile arata astfel:

Suma conductantelor conectate la primul nod este coeficientul pozitiv al primei tensiuni din ecuatia (1). Suma conductantelor conectate la cel de al doilea nod este coeficientul pozitiv al celei de a doua tensiuni din ecuatia (2). Ceilalti coeficienti sunt negativi, reprezentand conductantele dintre noduri. Pentru ambele ecuatii, partea dreapta a ecuatiei este egala cu sursa de curent respectiva conectata la nod.

Reguli pentru aplicarea metodei nodului de tensiune

Aceasta metoda ne permite sa scriem rapid ecuatiile prin inspectie si duce la urmatoarele reguli pentru aplicarea metodei nodului de tensiune:

• Inlocuirea surselor de tensiune in serie cu un rezistor cu o sursa echivalenta de curent si un rezistor in paralel
• Schimbarea valorilor rezistorilor in conductante
• Selectarea unui nod de referinta (E₀)
• Desemnarea unor tensiuni necunoscute pentru nodurile ramase, (E₁)(E₂) (E_N)
• Scrierea unei ecuatii LKC pentru fiecare nod, 1, 2, N. Coeficientul pozitiv a primei tensiuni din prima ecuatie este suma conductantelor conectate la primul nod. Coeficientul pentru a doua tensiune din a doua ecuatie este suma conductantelor conectate la acel nod. Acelasi lucru este valabil si pentru a treia tensiune in ecuatia a treia si pentru celelalte ecuatii. Acesti coeficienti se gasesc pe o diagonala.
• Toti ceilalti coeficienti ai ecuatiei sunt negativi, reprezentand conductantele dintre noduri. In prima ecuatie, coeficientul al doilea reprezinta conductanta dintre nodul 1 si nodul 2, al treilea coeficient reprezinta conductanta dintre nodul 1 si nodul 3. Acelasi lucru este valabil si pentru celelalte ecuatii
• Partea din dreapta a ecuatiilor reprezinta sursa de curent conectata la nodurile respective
• Rezolvarea sistemului de ecuatii si aflarea tensiunilor nodurilor necunoscute

Analiza unei punti dezechilibrate folosind metoda nodului de tensiune

Circuitul de mai jos are trei noduri. Conductantele nu apar pe desen, dar G₁=1/R₁, etc.

Exista trei noduri pentru care putem scrie ecuatii. Coeficientii sunt pozitivi pentru E₁ (ecuatia 1), E₂ (ecuatia 2) si E₃ (ecuatia 3). Acestea sunt sumele tuturor conductantelor conectate la nodurile respective. Toti ceilalti coeficienti sunt negativi, reprezentand conductanta intre noduri. Partea din dreapta a ecuatiei reprezinta sursa de curent, 0.136092 amperi, singura sursa pentru nodul 1. Celelalte ecuatii au zero in partea dreapta datorita lipsei unei surse de tensiune.

Diagonala matricii formate are coeficienti pozitivi. Toti ceilalti coeficienti sunt negativi.

Solutia sistemului de ecuatii este: