Transformari de axe ale sistemului trifazat

Transformari de axe ale sistemului trifazat

Consideram doua sisteme de axe trifazate, conform fig. 1.9, unul definit de unghiul ₁ si celalalt definit de unghiul ₂. La sistemele trifazate se ia unghiul primei faze egal cu unghiul dintre sistemul trifazat si axa de referinta. Un fazor oarecare, x, va avea, conform relatiei (1.13), in sistemul trifazat ₁ expresia:

, (1.50)

in care fazorii 1, a, a² sunt orientati dupa axele a_1, b_1, c_1. Acelasi fazor in sistemul trifazat ₂ va fi:

, (1.51)

in care fazorii 1, a, a² sunt orientati dupa axele a_2, b_2, c_2.

Acesti fazori pot fi scrisi matriceal (rel. 1.19) astfel:

; (1.52)

Deoarece s-a dedus relatia matriceala pentru transformari de axe ale sistemului bifazat, trecerea de la sistemul trifazat [x]_1 la [x]_ se face mai simplu, nu direct, ci prin intermediul matricei [D].

Transformam sistemul trifazat in sistem bifazat _. Axa reala d₁ a sistemului bifazat, d₁ - q₁, se orienteaza dupa axa a₁ a sistemului trifazat ₁. Aplicand relatia (1.28) obtinem:

Schimbam sistemul de axe ortogonale, rel. (1.41), obtinand matricea componentelor bifazate rotite cu unghiul (₂ - ₁):

Pentru a obtine matricea marimilor de faza a sistemului trifazat ₂ aplicam transformarea, inversa rel. (1.29):

Prin urmare schimbarea de axe trifazate se efectueaza cu relatia de mai sus in care produsul matriceal:

(1.53)

Deci: 

Tinand cont de faptul ca si efectuand calcule pe baza relatiilor si , rezulta pentru matricea relatiile:

(1.54)

Astfel, schimbarea de axe trifazate de la sistemul ₁ la sistemul ₂ se poate realiza prin:

. (1.55)

iar transformarea inversa prin:

. (1.56)

Matricea T[] are proprietati asemanatoare matricei D[].

. (1.57)

Pentru schimbarea de axe succesive se aplica de doua ori matricea T[] sau o singura data matricea T cu suma unghiurilor celor doua rotiri succesive:

. (1.57.a)

De asemenea

, (1.57.b)

unde este matricea 'unu' (cu toate elementele egale cu unitatea).

Derivata matricei T[] poate fi exprimata cu matricea originala astfel:

, (1.58)

unde matricea [K] este:

. (1.59)

Matricele D[] si T[] care realizeaza schimbarea de sisteme de axe bifazate, respectiv trifazate sunt operatori de rotatie cu unghiul .

Matricea de transformare T[] poate fi descompusa ca suma a doua matrice astfel:

, (1.60)

unde matricea [t()] este:

(1.61)

Matricea [t()] se va utiliza pentru insumarea proiectiilor fazorilor x_a1, x_b1, x_c1, dupa axele a₂, b₂, c₂ [6] din (fig. 1.9). In acest caz,  = ₂ - ₁.