Creeaza.com - informatii profesionale despre


Simplitatea lucrurilor complicate - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
6. Credibilitate pentru prime de asigurare

6. Credibilitate pentru prime de asigurare



Credibilitate pentru prime de asigurare

Acum problema se pune astfel: daca avem o functie de pierdere L si un vector aleator X , interpretata drept istoric al platilor, cum este cel mai bine sa aproximam o variabila aleatoare Y, interpretata drept o plata viitoare? Cu alte cuvinte se pune problema definirii unui L-aproximant conditionat. Definirea lui se bazeaza pe faptul ca o variabila aleatoare reala admite intotdeauna o repartitie conditionata regulata fata de o s-algebra F. Se stie (vezi de exemplu lectia “Conditioning” ca exista o probabilitate de trecere Q de la (W,F) la (A,B(A)) astfel ca egalitatea P(Y I B F w = Q(w,B) sa fie adevarata P-a.s. Atunci definim AL(Y F) astfel:



Sa presupunem ca AL(Y) este definit printr-o functie A(m), unde m este repartitia variabilei aleatoare Y. Avem dreptul sa scriem asa deoarece L-aproximantul nu depinde atat de variabila aleatoare Y cit depinde de repartitia sa , m Ei bine, atunci definim

AL(Y F w) = A(Q(w

Exemplul . Daca L(x,y) = x-y p, p 1 , atunci pentru p > 1 Ap(Y) este solutia unica a ecuatiei E( X-t p- sign(X-t)) = 0. In termeni de repartitie, A(m) este solutia unica a ecuatiei dm(x) = 0.

Atunci Ap(Y F w) este solutia unica a ecuatiei Q(w,dx) = 0. Scrisa ca medie conditionata, este vorba despre solutia t(w) a ecuatiei E( Y-t sign(Y-t) F w

Aici m este repartitia lui Y iar Q(w) este repartitia conditionata a lui Y de F .

Pentru p = 2 obtinem A2(Y) = E(Y F) iar daca p = 1 obtinem mediana lui Y conditionata de F.

Exemplul Daca L(x,y) = ehx-ehy p cu p > 0, h >0 , am vazut ca AL(Y) este . Atunci avem ) AL(Y F) = . Daca p = 2 obtinem prima exponentiala conditionata

Hh(Y F ) = .

Exemplul 3. L(x,y) = (x – y)2ehx cu h > 0, AL(Y) = este premiul Esscher. Sa il notam Esschh(Y) . In acest caz AL(Y F) = = Esschh(Y F) este premiul Esscher conditionat. Din capitolul precedent rezulta inegalitatea E(Y F

PROPOZITIA 6.1. Fie L o functie de pierdere cu proprietatea ca AL(Y) exista pentru orice risc pozitiv marginit Y . Atunci AL(Y F) construit ca mai sus are proprietatea de optim

E(L(Y,AL(Y F F E(L(Y,Z) F Z care este F - masurabila

Demonstratia se bazeaza pe urmatoarea formula de calcul

LEMA 6.2. Fie Y o variabila aleatoare cu valori reale, F o sub-s-algebra a lui K , Q repartitia conditionata regulata a lui Y in raport cu F , L : A ) o functie masurabila si Z o variabila aleatoare care este F - masurabila. Atunci aproape pentru toti w I W are loc egalitatea

E(L(Y,Z) F w) = (w))Q(w,dy)

Demonstratia lemei. Este standard. Din ipoteza si din formula de transport avem

E(h(Y) F w) = Q(w,dy) (P – a.p.t)

Pasul 1. Daca L(y,z) = h(y)g(z) cu f,g masurabile pozitive atunci E(L(Y,Z) F w) = E(h(Y)g(Z) F w) = E(h(Y) F w)g(Z(w)) (variabilele F – masurabile ies din media conditionata!) = g(Z(w)) Q(w,dy) = g(Z(w)) Q(w,dy) = (w))Q(w,dy) deci formula este adevarata in acest caz.

Pasul 2. Drept urmare, daca L(y,z) = 1A B(y,z) cu A,B boreliene, formula (6.3) este adevarata. Fie

C = C I B A E(1C(Y,Z) F ) = (w))Q(w,dy)

Atunci C este un p-sistem care contine dreptunghiurile A B cu A,B boreliene. Cum dreptunghiurile formeaza un sistem de generatori stabil la intersectii finite pentru B(A ), rezulta ca toate multimile boreliene C sunt in C, deci (6.3) este valabila pentru functii de forma L(y,z) = 1C(y,z)

Pasul 3. Fiind valabila pentru indicatori, (6.3) este valabila pentru functii L simple.

Pasul 4. Fie L oarecare. Atunci exista un sir crescator de functii simple si pozitive(Ln)n astfel ca Ln L . Alicind teorema Beppo-Levi conditionata avem E(L(Y,Z) F w) = E(limn Ln(Y,Z) F w) = limn E(Ln(Y,Z) F w) (P – a.s.) = limn (w))Q(w,dy) = ) Q(w,dy) (teorema Beppo-Levi obisnuita) = (w))Q(w,dy).


Acum demonstrarea Propozitiei 6.1 este imediata:

E(L(Y,AL(Y F F w = AL(Y F w))Q(w,dy) (w))Q(w,dy) =E(L(Y,Z) F w) aproape pentru toti w

COROLAR 6.3. Fie L o functie de pierdere cu proprietatea ca AL(Y) exista pentru orice risc pozitiv marginit Y . Atunci

E(L(Y,AL(Y F E(L(Y,Z) ) Z care este F - masurabila

Observatie. Deci L-aproximantii conditionati raspund la intrebarea: dintre toate functiile Z care sunt F – masurabile , cine asigura o pierdere minima medie, daca inlocuim riscul adevarat Y cu Z ?

Raspuns: Z = AL(Y F

Pe noi ne intereseaza un caz particular, anume cind F este generat de un vector aleator, X . Atunci vom nota AL(Y X ) in loc de AL(Y s(X)). Aceasta variabila aleatoare are atunci proprietatea de optim

E(L(Y,AL(Y X X E(L(Y,g(X)) X g:At A masurabila

Cu consecinta

E(L(Y,AL(Y X E(L(Y,g(X))) g:At A masurabila

Revenim acum la intrebarea initiala: cum putem folosi experienta acumulata X pentru a gasi un predictor de pierdere minima pentru Y = Xt+1 ? Raspuns: acesta este AL(Xt+1 X

Aceasta este ideea de credibilitate cand se inlocuieste functia de pierdere patratica cu alt tip de functie de pierdere. Apar diferente insemnate: aproximantii nu mai sunt neaparat proiectori . Totusi, in cele doua cazuri folosite in actuariat (premiul exponential si premiul Esscher) apar formule nu foarte complicate.

COROLAR 6.4. Presupunem ca variabilele aleatoare (Xr)r sunt conditionat i.i.d. daca se da Q q. Fie t un numar natural si X = (Xr)1 r t

Fie h > 0 . Atunci premiul exponential conditionat este

Hh(Xt+1 X) =

unde jh Q) = ( = r caci variabilele aleatoare sunt identic repartizate!) iar premiul Esscher este

Esschh(Xt+1 X =

unde yh Q) =

Demonstratie.  Hh(Xt+1 X) = . Dar = E( X) = E( X) (deoarece variabilele sunt conditionat independente!; vezi lectiile anterioare!) = E(jh Q X) . Apoi premiul Esscher este AL(Xt+1 X) =. Numitorul este deja calculat: este E(jh Q X). In ce priveste numaratorul , folosim aceeasi metoda: Dar = E( X) = E( X ) = E(yh Q X

Pentru primele exponentiale nu se pot calcula estimatori liniari de tip Buhlman. Pentru premiile Esscher, acest lucru se poate face insa. Prezentam fara demonstratie urmatoarea formula (sunt calcule analoge celor din capitolele anterioare).

TEOREMA 6.5. Presupunem ca variabilele aleatoare (Xr)r sunt conditionat i.i.d. daca se da Q q. Fie t un numar natural si X = (Xr)1 r t . Atunci estimatorul optim liniar h(X) pentru Esschh(Xt+1 X ) este

h(X) = z*M + (B – z*)C 

unde M este media de selectie (X1 + … + Xt)/t iar

B =

C =

Esschh(X1 q) = este premiul Esscher calculat in ipoteza ca Q q

jh q) = este functia generatoare de momente a lui Xr calculata in ipoteza ca Q q

z* = unde asteriscul inseamna ca media se calculeayza fata de probabilitatea r U unde r q) = const jh q





loading...





Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE Clasa: I Matematica - Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 30, fara trecere peste ordin
 Proiect didactic Grupa: mijlocie - Consolidarea mersului in echilibru pe o linie trasata pe sol (30 cm)
 Redresor electronic automat pentru incarcarea bateriilor auto - proiect atestat
 Proiectarea instalatiilor de alimentare ale motoarelor cu aprindere prin scanteie cu carburator

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 Proiect diploma Finante Banci - REALIZAREA INSPECTIEI FISCALE LA O SOCIETATE COMERCIALA
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 CONTABILITATEA FINANCIARA TESTE GRILA LICENTA
 LUCRARE DE LICENTA - FACULTATEA DE EDUCATIE FIZICA SI SPORT
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 Proiect atestat informatica- Tehnician operator tehnica de calcul - Unitati de Stocare
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia




Limite remarcabile. Aplicatii
Conditionarea problemei si stabilirea algoritmilor
Tipuri simple de ecuatii diferentiale integrabile prin cuadraturi
Valoarea medie a produsului
Siruri de functii
Transformari sinusoidale – transformata Fourier - Probleme rezolvate
Ecuatii trigonometrice
Ecuatii diferentiale lineare de ordinul intai


loading...

Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu